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Mensaje |
koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Problema:
Sea ![[tex]g:\Re^3 \rightarrow P_2[/tex]](images/latex/6eda96e3a16a8bc3f208ee8855470184575629da_0.png "[tex]g:\Re^3 \rightarrow P_2[/tex]") la transformación lineal tal que ![[tex]g(e_1) = 1 + t[/tex]](images/latex/dcdfe6e6201ea072ff2b5f0afa214c50b5786c6d_0.png "[tex]g(e_1) = 1 + t[/tex]") , ![[tex]g(e_2) = 1 + t^2[/tex]](images/latex/957803e94da9644d1f106a581777a8cc0b9951cd_0.png "[tex]g(e_2) = 1 + t^2[/tex]") y ![[tex]g(e_3) = t^2 - t[/tex]](images/latex/57e6416b63008304da65bd9b266a79ed57d7adf0_0.png "[tex]g(e_3) = t^2 - t[/tex]") y sea ![[tex] S = \{ x \in \Re^3 : x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}[/tex]](images/latex/6e33ca5ce166da45aaa91b361956c79ca8975488_0.png "[tex] S = \{ x \in \Re^3 : x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}[/tex]") . Definir, si es posible, una transformación lineal ![[tex]f : P_2 \rightarrow \Re^3[/tex]](images/latex/c529428e6994b2cf2e049272472caabe3e1bb85f_0.png "[tex]f : P_2 \rightarrow \Re^3[/tex]") tal que para todo ![[tex]x \in \Re^3 : (fog)(x) = proy_s(x)[/tex]](images/latex/ac11be61e6f2266220d706744efa3a63e3d2c49a_0.png "[tex]x \in \Re^3 : (fog)(x) = proy_s(x)[/tex]")
Resolución:
Se me ocurrió encarar el problema este del modo menos vueltero. ![[tex]f[/tex]](images/latex/228663427166fa0dd8911ea5e0d4c3ddfd5ded79_0.png "[tex]f[/tex]") tiene que proyectar lo que le dé ![[tex]g[/tex]](images/latex/ec5d8a9a3f42318688bd76c52018a51b90659195_0.png "[tex]g[/tex]") sobre ![[tex]S[/tex]](images/latex/3d152214fba74c1f8a12f3d44452016018239bbf_0.png "[tex]S[/tex]") . Primero nos fijamos si es posible; rápidamente sale que ![[tex]dim(Im(g)) = 2[/tex]](images/latex/089541d11160a89500afe5087e2fb3102a5c2a47_0.png "[tex]dim(Im(g)) = 2[/tex]") entonces es posible. Sacamos una BOG de : sabemos que ![[tex]S^\perp = gen \{ [1 \quad -1 \quad 1]^T \}[/tex]](images/latex/889cb0cc55db5e79398c6c0272654ac96a30b436_0.png "[tex]S^\perp = gen \{ [1 \quad -1 \quad 1]^T \}[/tex]") , un vector "a ojo" de es el ![[tex][1 \quad 1 \quad 0]^T[/tex]](images/latex/9c0f21f84e0ae7bd09507406d0ee6aaa17a60113_0.png "[tex][1 \quad 1 \quad 0]^T[/tex]") . Entonces calculamos ![[tex][1 \quad -1 \quad 1]^T \times [1 \quad 1 \quad 0]^T = [-1 \quad 1 \quad 2]^T[/tex]](images/latex/196dedf965f2163079d2f6019c3f8c83ba70befe_0.png "[tex][1 \quad -1 \quad 1]^T \times [1 \quad 1 \quad 0]^T = [-1 \quad 1 \quad 2]^T[/tex]") .
Resulta que una BOG de es ![[tex]gen \{ [1 \quad 1 \quad 0]^T , [-1 \quad 1 \quad 2]^T \}[/tex]](images/latex/d4926d880505115985b8eac204c805d93ce9b599_0.png "[tex]gen \{ [1 \quad 1 \quad 0]^T , [-1 \quad 1 \quad 2]^T \}[/tex]") .
Entonces agarramos la imagen de y la mandamos a .
![[tex]f(1+t) = [1 \quad 1 \quad 0]^T[/tex]](images/latex/2f501ce40b60c790cc9e44deed75a501833ffbe6_0.png "[tex]f(1+t) = [1 \quad 1 \quad 0]^T[/tex]")
![[tex]f(1+t^2) = [-1 \quad 1 \quad 2]^T[/tex]](images/latex/c003bfb752730d7847133cf6209f4b3243846e20_0.png "[tex]f(1+t^2) = [-1 \quad 1 \quad 2]^T[/tex]")
Falta un polinomio para completar la definición de . Como es una proyección y ya tenemos cubierto todo el espacio sobre el que proyecta () entonces tenemos que completar la definición con un tercer polinomio ortogonal a los que ya tenemos que tenga como imagen el vector nulo.
Para eso planteamos un ![[tex]p[/tex]](images/latex/32cadd650d339f29c49609356ba3145894c5aa5d_0.png "[tex]p[/tex]") genérico y pedimos:
 = 0[/tex]](images/latex/8a8b4068af93f4581db32f8374bae3acd43b85fa_0.png "[tex](p; 1+t) = 0[/tex]")
 = 0[/tex]](images/latex/09760a111731d045403138714ff8d53bd9f78439_0.png "[tex](p; 1+t^2) = 0[/tex]")
Haciendo los PIs queda un sistema compatible indeterminado. Una de las posibles soluciones es ![[tex]p(t) = 1 - \frac{16}{5}t + 2t^2[/tex]](images/latex/a8563af87044d5307223f67be4aa77a0c96c5517_0.png "[tex]p(t) = 1 - \frac{16}{5}t + 2t^2[/tex]") .
Resultado:
![[tex]f(1 - \frac{16}{5}t + 2t^2) = [0 \quad 0 \quad 0]^T[/tex]](images/latex/e380fc50c9926e6b2acbbe604b053744ea4cdc43_0.png "[tex]f(1 - \frac{16}{5}t + 2t^2) = [0 \quad 0 \quad 0]^T[/tex]")
Verificación de que ese polinomio es ortogonal a los otros dos con el PIC de ![[tex]P_2[/tex]](images/latex/f64bd631d37ae0936a1a30b51073945f035101a2_0.png "[tex]P_2[/tex]") : http://tinyurl.com/4vvgajy & http://tinyurl.com/4uehosr
Qué opinan?
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Jackson666
Nivel 9
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Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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¿Quienes son ![[tex]\left\{ e_{1}, e_{2}, e_{3} \right\}[/tex]](images/latex/bf1e949cf88142e1c19d3aff05cfd5f4027216d8_0.png "[tex]\left\{ e_{1}, e_{2}, e_{3} \right\}[/tex]") ?
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Marinchun
Nivel 8
Registrado: 07 Feb 2010
Mensajes: 525
Carrera: Mecánica y Naval
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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| koreano escribió:
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Problema:
Sea la transformación lineal tal que , y y sea . Definir, si es posible, una transformación lineal tal que para todo
Resolución:
Se me ocurrió encarar el problema este del modo menos vueltero. tiene que proyectar lo que le dé sobre . Primero nos fijamos si es posible; rápidamente sale que entonces es posible. Sacamos una BOG de : sabemos que , un vector "a ojo" de es el . Entonces calculamos .
Resulta que una BOG de es .
Entonces agarramos la imagen de y la mandamos a .
Falta un polinomio para completar la definición de . Como es una proyección y ya tenemos cubierto todo el espacio sobre el que proyecta () entonces tenemos que completar la definición con un tercer polinomio ortogonal a los que ya tenemos que tenga como imagen el vector nulo.
Para eso planteamos un genérico y pedimos:
Haciendo los PIs queda un sistema compatible indeterminado. Una de las posibles soluciones es .
Resultado:
Verificación de que ese polinomio es ortogonal a los otros dos con el PIC de : http://tinyurl.com/4vvgajy & http://tinyurl.com/4uehosr
Qué opinan?
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Mmm, no sé bien pero fijate, porque vos decís "agarramos la imagen de g y la mandamos a S"
Calculo que lo que pusisite acá es que como fog es proyección la imagen de un elemento de s va a s
ahora vos dijiste ![[tex] f(1+t^2)= [/tex]](images/latex/6b6c09a1b80b6b00e25df08de15ebda7ef639588_0.png "[tex] f(1+t^2)= [/tex]") UN VECTOR DE S
el tema es que como fog es matriz de proyección
(s)=s [/tex]](images/latex/b23ba0dd9cb4044b9a6c9be30fc37014e8f3b5ec_0.png "[tex](fog)(s)=s [/tex]")
o sea ![[tex] f(g(s)) =s [/tex]](images/latex/102169fcfae0ada5d5a4b9476376b81b8dce29f3_0.png "[tex] f(g(s)) =s [/tex]")
¿Qué te garantiza que existe un vector ![[tex] s [/tex]](images/latex/a2ceb98c0c1f3c0f8d5810c2c11aad01dc9d2461_0.png "[tex] s [/tex]") en ![[tex] S [/tex]](images/latex/1423a909ec5fde2f9c178a45cc81b99a29378ef3_0.png "[tex] S [/tex]") tal que ![[tex]g(s)=1+t [/tex]](images/latex/45be72a4005b5bf5ec55b53adf83e6ce11b25c1b_0.png "[tex]g(s)=1+t [/tex]") y ![[tex]f(1+t) [/tex]](images/latex/55c6e0ff886d08d8e534eafb646cc59147f327ce_0.png "[tex]f(1+t) [/tex]") =vaya a ?
Lo que deberías hacer para garantizar eso, creo, es
o sea
O sea tenes agarrar vectores de ![[tex] S [/tex]](images/latex/40a5d8207ba7a7fd8fb8317ebd2c8c60afa5dc4a_0.png "[tex] S [/tex]") , sacar ![[tex] g(s) [/tex]](images/latex/54f5d405ee0c23ff033e050562517d8324551f01_0.png "[tex] g(s) [/tex]") y encontrar ![[tex] f(g(s))=S [/tex]](images/latex/7dc5a39e678b9c18625ad03aa40e63faed198dc0_0.png "[tex] f(g(s))=S [/tex]") ,
sino, no se si va a proyectar.
Yo acá (http://www.megaupload.com/?d=COA6RB3X) lo hice. Capaz lo encarás de otra manera. Pero acordate que la matriz de la tl es única, (como la de proyección) así que te sirve para verificar en el caso que esté bien.
Saludos, disculpá si me confundí o algo. Hace muuuuuucho que no toco nada.
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koreano
Nivel 9
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Carrera: No especificada
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| Pensándolo de vuelta, el tercer vector para definir a podría haber sido cualquiera LI porque la imagen de siempre va a ser una combinación lineal de los primeros entonces nunca se va a "usar" el 3er vector. Está mal esto?
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Jackson666
Nivel 9
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Registrado: 01 Feb 2009
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| Marinchun escribió:
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La base canónica de R3
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Lo sospeché desde un principio!
| koreano escribió:
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Pensándolo de vuelta, el tercer vector para definir a podría haber sido cualquiera LI porque la imagen de siempre va a ser una combinación lineal de los primeros entonces nunca se va a "usar" el 3er vector. Está mal esto?
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Lo que está mal de la 1er resolución (y la del pdf de Ttincho también) es que sabiendo que
![[tex]Nu(g) \subseteq Nu(fog)[/tex]](images/latex/aed2fe10b142888013225ee26fc405009620f9f3_0.png "[tex]Nu(g) \subseteq Nu(fog)[/tex]")
La TL es la proyección sobre
![[tex]dim(S) = 2[/tex]](images/latex/ce7e4c280c701cb96d642caa3b9f664356244fae_0.png "[tex]dim(S) = 2[/tex]") , esto implica ![[tex]dim(Nu(fog)) = dim(S^{\perp}) = 1 \Longrightarrow Nu(fog) = Nu(g)[/tex]](images/latex/7fd9dc8035eeceea404e5008d7c4bbdebe59d669_0.png "[tex]dim(Nu(fog)) = dim(S^{\perp}) = 1 \Longrightarrow Nu(fog) = Nu(g)[/tex]")
Nunca puede ser ![[tex]dim(Nu(f)) = 1[/tex]](images/latex/e2518ddd40787efff6facbdff714f82304dbe8dd_0.png "[tex]dim(Nu(f)) = 1[/tex]") . El único vector del núcleo de f tiene que ser el nulo, no puede ser otro. Entonces ![[tex]dim(Im(f)) = 3[/tex]](images/latex/21aaa62a4578b66d7ec0964b748a613e354fcf8d_0.png "[tex]dim(Im(f)) = 3[/tex]") .
Entonces, tenés que definirla TL con un poco de cuidado.
Si te fijas, resumiendo cuentas y explicaciones, eligiendo la base (*) ![[tex]B = \left\{ 2 + 2t^{2}, 3t^{2} - 3t, pepe \right\}[/tex]](images/latex/3f212970bd0833b886cc06ae55446bd2cccab6ce_0.png "[tex]B = \left\{ 2 + 2t^{2}, 3t^{2} - 3t, pepe \right\}[/tex]") de ![[tex]P_{2}[/tex]](images/latex/dc0a32fd02e71ded06c1c9b76ebb35c82a9afe8b_0.png "[tex]P_{2}[/tex]") , por ejemplo, una TL que cumpliría (en parte) es:
![[tex]f(2 + 2t^{2}) = [1 \quad 1 \quad 0]^{T} \quad \in S[/tex]](images/latex/422431c2351764dea01d27534eadbae06b776a62_0.png "[tex]f(2 + 2t^{2}) = [1 \quad 1 \quad 0]^{T} \quad \in S[/tex]")
![[tex]f(3t^{2} - 3t) = [-1 \quad 1 \quad 2]^{T} \quad \in S[/tex]](images/latex/dc94214766a68e27e0c080a1ebf2ed2a2f5b5590_0.png "[tex]f(3t^{2} - 3t) = [-1 \quad 1 \quad 2]^{T} \quad \in S[/tex]")
![[tex]f(pepe) = [1 \quad -1 \quad 1]^{T} \quad \in S^{\perp}[/tex]](images/latex/a35d80f82f2c40cbdca90ab022eac4e5ec17df4a_0.png "[tex]f(pepe) = [1 \quad -1 \quad 1]^{T} \quad \in S^{\perp}[/tex]")
Porque si te fijas
![[tex]g \left([1 \quad 1 \quad 0]^{T} \right) = 2 + 2t^{2}[/tex]](images/latex/7a6f986c77a926b68969ae5b3e84b5a3d6dda572_0.png "[tex]g \left([1 \quad 1 \quad 0]^{T} \right) = 2 + 2t^{2}[/tex]")
![[tex]g \left([-1 \quad 1 \quad 2]^{T} \right) = 3t^{2} - 3t[/tex]](images/latex/959ec2f178800b438127ae07ea6119bc078948d1_0.png "[tex]g \left([-1 \quad 1 \quad 2]^{T} \right) = 3t^{2} - 3t[/tex]")
![[tex]g \left([1 \quad -1 \quad 1]^{T} \right) = 0[/tex]](images/latex/3760ca2f31565c64e0d9e5ccc6d5f2a4ca31afa6_0.png "[tex]g \left([1 \quad -1 \quad 1]^{T} \right) = 0[/tex]")
La última condición no quiere decir que ![[tex]pepe = 0[/tex]](images/latex/d09faf9f064579dcedf303f30a718901363eb9bc_0.png "[tex]pepe = 0[/tex]") , pobre pepe che!
Ahora necesitas que pepe sea LI a los demás vectores. ¿Necesita ser ortogonal? ¿Para qué?
(*) La base que elegí acá podría estar formada por ![[tex]Im(g) \cup \left( Im(g) \right)^{\perp}[/tex]](images/latex/238c7eb39edd4faf103507d1ab899885bfa2a645_0.png "[tex]Im(g) \cup \left( Im(g) \right)^{\perp}[/tex]") . Pero es todo un cuenterio innecesario! ¿O no? Sólo necesitas que pepe sea LI con los otros 2.
Eligiendo ![[tex]pepe = 1[/tex]](images/latex/e60497a44f1da8c3b3f85a30e5e67d27f703a2da_0.png "[tex]pepe = 1[/tex]") (el más sencillo) se ve que ![[tex]B = \left\{ 2 + 2t^{2}, 3t^{2} - 3t, 1 \right\}[/tex]](images/latex/991de749c59dd15ca5214448fc9aab7db293cd0a_0.png "[tex]B = \left\{ 2 + 2t^{2}, 3t^{2} - 3t, 1 \right\}[/tex]") es base de (sus coordenadas en canónica son LI).
EDIT: agregado 1 comentario al principio.
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Última edición por Jackson666 el Jue Ene 27, 2011 10:26 pm, editado 1 vez
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koreano
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Ah, ya entendí. Me saltié un paso cuando definí el último vector. El tercer vector tiene que ir al nulo de , no al vector nulo 
Mandé cualquiera ahí, haha. Y es verdad lo de que sea ortogonal o solo LI. Muchas gracias!
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koreano
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Me di cuenta de un error en al resolución, como está definida está proyectando sobre pero haciendo cambio de coordenadas y no se cumple el requisito original de que (x) = P_S (x)[/tex]](images/latex/dde7d1c0fb706853671de473c5de22ed252a99b8_0.png "[tex](f \circ g)(x) = P_S (x)[/tex]") .
La manera en la que lo resolví al final fue encontrando las proyecciones de ![[tex]e_1,e_2,e_3[/tex]](images/latex/aefd7d421a5d16804591789380517296874b6519_0.png "[tex]e_1,e_2,e_3[/tex]") sobre y después asignandole a la imagen de los generadores de que eran los proyecciones de la base canónica.
Resultado final:
![[tex]f(1+t) = \frac{1}{3} [2 \quad 1 \quad -1]^T[/tex]](images/latex/b0ee196e11d0454edf8e75898baf04ba6cce2ae2_0.png "[tex]f(1+t) = \frac{1}{3} [2 \quad 1 \quad -1]^T[/tex]")
![[tex]f(1+t^2) = \frac{1}{3} [1 \quad 2 \quad 1]^T[/tex]](images/latex/a1514826b58543eaac7b74b55a69dfa20ecf0644_0.png "[tex]f(1+t^2) = \frac{1}{3} [1 \quad 2 \quad 1]^T[/tex]")
![[tex]f(1) = [0 \quad 0 \quad 0]^T[/tex]](images/latex/31951860d2f34942751a3692e9bee9eb81bd3b93_0.png "[tex]f(1) = [0 \quad 0 \quad 0]^T[/tex]")
La ultimate verification es que ![[tex]P_S(e_3) = \frac{1}{3} [-1 \quad 1 \quad 2]^T[/tex]](images/latex/98ec68a5c51dd0b0420bde859820f21261008723_0.png "[tex]P_S(e_3) = \frac{1}{3} [-1 \quad 1 \quad 2]^T[/tex]") y si hacemos:
vemos que es ![[tex]g(e_2) - g(e_1)[/tex]](images/latex/0a9b953ddfee42fcd859c6cd3e1e51506a96da48_0.png "[tex]g(e_2) - g(e_1)[/tex]") y aplicando a los transformados queda:
![[tex]\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}^T - \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{bmatrix}^T[/tex]](images/latex/b3e7b473c374e5e73cd01c6852f521acf3458dd4_0.png "[tex]\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}^T - \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{bmatrix}^T[/tex]")
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Jackson666
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| koreano escribió:
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Me di cuenta de un error en al resolución, como está definida está proyectando sobre pero haciendo cambio de coordenadas y no se cumple el requisito original de que .
La manera en la que lo resolví al final fue encontrando las proyecciones de sobre y después asignandole a la imagen de los generadores de que eran los proyecciones de la base canónica.
Resultado final:
La ultimate verification es que y si hacemos:
vemos que es y aplicando a los transformados queda:
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El núcleo de f no puede tener dimensión 1.
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koreano
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Y si no afecta a los vectores de la imagen de por qué no? No me termina de cerrar esto.
Aparte verificando sobre la base canónica de ![[tex]\Re^3[/tex]](images/latex/298498b68fd9854c467eca47d13c4217a2edb639_0.png "[tex]\Re^3[/tex]") queda:
![[tex]P_S(e_1) = \frac{1}{3} [2 \quad 1 \quad -1]^T = (f \circ g)(e_1)[/tex]](images/latex/a2453adc195019dba754dfd63a66c85d12e2b3a2_0.png "[tex]P_S(e_1) = \frac{1}{3} [2 \quad 1 \quad -1]^T = (f \circ g)(e_1)[/tex]")
![[tex]P_S(e_2) = \frac{1}{3} [1 \quad 2 \quad 1]^T = (f \circ g)(e_2)[/tex]](images/latex/8729cfe1c465b3b2972b9b0018638cf5daffc20a_0.png "[tex]P_S(e_2) = \frac{1}{3} [1 \quad 2 \quad 1]^T = (f \circ g)(e_2)[/tex]")
![[tex]P_S(e_3) = \frac{1}{3} [-1 \quad 1 \quad 2]^T = (f \circ g)(e_3)[/tex]](images/latex/9f9ddda4d9511da4de6b7f2d86dfa8812b6ee3b6_0.png "[tex]P_S(e_3) = \frac{1}{3} [-1 \quad 1 \quad 2]^T = (f \circ g)(e_3)[/tex]")
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