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martin_ush
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 21 Jul 2010
Mensajes: 10
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No puedo resolver esta ecuación por ninguno de los dos métodos, por favor ayuda, o al menos alguna pista:
y'' + y = 1/cos x
perdón por no usar látex. pero no entiendo como ponerlo acá.
Gracias de antemano!
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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Simple (el uso de [tex]\LaTeX[/tex]): encerrar la expresión entre el código de "tex".
Citá este mensaje para ver cómo...
Así: ![[tex]y'' + y = \frac{1}{\cos x}[/tex]](images/latex/21134dd651bd91086dbdd8d221968b667e9199a4_0.png "[tex]y'' + y = \frac{1}{\cos x}[/tex]")
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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Así lo pude resolver yo, no sé si es "la forma comunmente aceptada" de hacerlo en la materia  Multiplicando por ![[tex]\textstyle \cos x[/tex]](images/latex/a74e01dc107a9dc60cc62f02d7c88e8d5403f529_0.png "[tex]\textstyle \cos x[/tex]") :
![[tex]y''\cos x + y\cos x = 1[/tex]](images/latex/415ed55478b71b10100b78eeccec3ff3c093dfa9_0.png "[tex]y''\cos x + y\cos x = 1[/tex]")
Pero sumando y restando ![[tex]\textstyle y'\sen x[/tex]](images/latex/b7fed0b289fff438cb3373e78d394177d4c4aae0_0.png "[tex]\textstyle y'\sen x[/tex]") :
![[tex]y''\cos x + y\cos x = y''\cos x - y'\sen x + y'\sen x + y\cos x = \frac{d(y'\cos x + y\sen x)}{dx}[/tex]](images/latex/8f802ec268cd236d1a7268091b3c8ecd77a3a3e1_0.png "[tex]y''\cos x + y\cos x = y''\cos x - y'\sen x + y'\sen x + y\cos x = \frac{d(y'\cos x + y\sen x)}{dx}[/tex]")
Entonces la ecuación diferencial se transforma en:
![[tex]\frac{d(y'\cos x + y\sen x)}{dx} = 1[/tex]](images/latex/0725eecfe56207820ceebadfe7e100c0dbabafcd_0.png "[tex]\frac{d(y'\cos x + y\sen x)}{dx} = 1[/tex]")
![[tex]y'\cos x + y\sen x = x + C_2[/tex]](images/latex/2cab884793d38d2eba9799fcc395859515ee52ff_0.png "[tex]y'\cos x + y\sen x = x + C_2[/tex]")
Y ahora, ¡¡el gran pase de magia!!  Multiplicamos miembro a miembro por el factor integrante ![[tex]\frac{1}{\\cos^2 x}[/tex]](images/latex/a7474403c1b9d6687c454156fa5a87ebdbc92df5_0.png "[tex]\frac{1}{\\cos^2 x}[/tex]") : 
![[tex]\frac{y'}{\cos x} + \frac{y\sen x}{\cos^2 x} = \frac{x + C_2}{\cos^2 x}[/tex]](images/latex/0b67b2557c617addb185439ed9ae6a703a888310_0.png "[tex]\frac{y'}{\cos x} + \frac{y\sen x}{\cos^2 x} = \frac{x + C_2}{\cos^2 x}[/tex]")
Pero como:
![[tex]\frac{d}{dx} \left ( \frac{1}{\cos x} \right ) = \frac{\sen x}{\cos^2 x}[/tex]](images/latex/a8da7101083607563a4c9cde1e26e070b25eebd6_0.png "[tex]\frac{d}{dx} \left ( \frac{1}{\cos x} \right ) = \frac{\sen x}{\cos^2 x}[/tex]")
Entonces:
![[tex]\frac{y'}{\cos x} + \frac{y\sen x}{\cos^2 x} = y' \frac{1}{\cos x} + y \frac{d}{dx} \left ( \frac{1}{\cos x} \right ) = \frac{d}{dx} \left ( \frac{y}{\cos x} \right )[/tex]](images/latex/ab1accc518368ff7e12727d5f76e84d2cfdeb29d_0.png "[tex]\frac{y'}{\cos x} + \frac{y\sen x}{\cos^2 x} = y' \frac{1}{\cos x} + y \frac{d}{dx} \left ( \frac{1}{\cos x} \right ) = \frac{d}{dx} \left ( \frac{y}{\cos x} \right )[/tex]")
Así que la ecuación con el factor integrante queda:
![[tex]\frac{d}{dx} \left ( \frac{y}{\cos x} \right ) = \frac{x + C_2}{\cos^2 x}[/tex]](images/latex/84733b1c0db3a45386d580fa783bf50a87a25647_0.png "[tex]\frac{d}{dx} \left ( \frac{y}{\cos x} \right ) = \frac{x + C_2}{\cos^2 x}[/tex]")
![[tex]\frac{y}{\cos x} = \int \frac{x + C_2}{\cos^2 x}dx = \int \frac{x}{\cos^2 x}dx + \int \frac{C_2}{\cos^2 x}dx[/tex]](images/latex/14dc47217e2f0f64212ad3501c66c40487badbae_0.png "[tex]\frac{y}{\cos x} = \int \frac{x + C_2}{\cos^2 x}dx = \int \frac{x}{\cos^2 x}dx + \int \frac{C_2}{\cos^2 x}dx[/tex]")
Puesto que todos sabemos que:
![[tex]\int \frac{1}{\cos^2 x}dx = \tg x[/tex]](images/latex/1cb231c58b6f9a456c0a31486e7d3824535b2a24_0.png "[tex]\int \frac{1}{\cos^2 x}dx = \tg x[/tex]")
Y la otra integral sale por partes primero (usando la integral anterior), y con la sustitución ![[tex]\textstyle u = \cos x[/tex]](images/latex/43bb9ed74b9f553f20ec383482f67ed061012271_0.png "[tex]\textstyle u = \cos x[/tex]") después:
![[tex]\int \frac{x}{\cos^2 x}dx = x\tg x - \int \tg x dx = x\tg x - \int \frac{\sen x}{\cos x}dx =[/tex]](images/latex/862be4f52f7b442f60c7c3c3dd78638f00b4ed25_0.png "[tex]\int \frac{x}{\cos^2 x}dx = x\tg x - \int \tg x dx = x\tg x - \int \frac{\sen x}{\cos x}dx =[/tex]")
![[tex]= x\tg x + \int \frac{1}{u}du = x\tg x + \ln(\cos x)[/tex]](images/latex/3717e5ab6310e692833ccf8a0c283cf1ca47cd97_0.png "[tex]= x\tg x + \int \frac{1}{u}du = x\tg x + \ln(\cos x)[/tex]")
Entonces:
![[tex]\frac{y}{\cos x} = ln(\cos x) + (x + C_2)\tg x + C_1[/tex]](images/latex/4a34adf7d46ae4a8706dc7dc3ae5000ecec79565_0.png "[tex]\frac{y}{\cos x} = ln(\cos x) + (x + C_2)\tg x + C_1[/tex]")
![[tex]y = \cos x\ln(\cos x) + (x + C_2)\sen x + C_1\cos x[/tex]](images/latex/12fe5f3fb608788cfd584b81442ce034bff7af2f_0.png "[tex]y = \cos x\ln(\cos x) + (x + C_2)\sen x + C_1\cos x[/tex]")
Que es el resultado del sitio de Koreano con la calculadora mágica.
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| martin_ush escribió:
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No puedo resolver esta ecuación por ninguno de los dos métodos, por favor ayuda, o al menos alguna pista:
y'' + y = 1/cos x
perdón por no usar látex. pero no entiendo como ponerlo acá.
Gracias de antemano!
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¿Ese ejercicio es de la guia? ¿De donde lo sacaste?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Sabés que el conjunto solución siempre se puede escribir como ![[tex]y_{G} = y_{P} + y_{H}[/tex]](images/latex/4477e127e7d21277f9c36bc8b5f756bca331cdad_0.png "[tex]y_{G} = y_{P} + y_{H}[/tex]") .
Si resolves primero el homogéneo asociado, mediante la ecuación caracterísitica: ![[tex]r^{2} + 1 = 0 \Longleftrightarrow r = i \quad \vee \quad r = -i[/tex]](images/latex/5339f67747312f7fda74c6e6a1044feb112da0c7_0.png "[tex]r^{2} + 1 = 0 \Longleftrightarrow r = i \quad \vee \quad r = -i[/tex]")
Entonces el homogéneo está generado por ![[tex]y_{H} = \left\{ e^{it}, e^{-it} \right\} = \left\{cos(t) + i \cdot sen(t), cos(-t) + i \cdot sen(-t) \right\} = \left\{cos(t), sen(t) \right\}[/tex]](images/latex/7c4d34854242cdc4d5c2e930514e39e426af4ebe_0.png "[tex]y_{H} = \left\{ e^{it}, e^{-it} \right\} = \left\{cos(t) + i \cdot sen(t), cos(-t) + i \cdot sen(-t) \right\} = \left\{cos(t), sen(t) \right\}[/tex]") .
Para la solución particular podés usar, por ejemplo, el método de variación de parámetros: ![[tex]y_{p} = f_{1}(t) \cdot cos(t) + f_{2}(t) \cdot sen(t)[/tex]](images/latex/7b1e95a9ef5212bd69e80538ced43b6f5654ac7f_0.png "[tex]y_{p} = f_{1}(t) \cdot cos(t) + f_{2}(t) \cdot sen(t)[/tex]") . De donde (obviando la explicación):
![[tex]\left[ \begin{array}{cc} cos(t) & sen(t) \\ -sen(t) & cos(t) \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} f^{'}_{1}(t) \\ f^{'}_{2}(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ cos^{-1}(t) \end{array} \right][/tex]](images/latex/c8c564357c82fd628a56c0188c5b2d4b88545ec5_0.png "[tex]\left[ \begin{array}{cc} cos(t) & sen(t) \\ -sen(t) & cos(t) \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} f^{'}_{1}(t) \\ f^{'}_{2}(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ cos^{-1}(t) \end{array} \right][/tex]")
Como la primer matriz es inversible (es de rotación), podemos resolver con la regla de Cramer:
![[tex]f^{'}_{1}(t) = - cos^{-1}(t) \cdot sen(t) = -tan(t)[/tex]](images/latex/e1e05ef353ecc5a9a67617767f48b0f7ec588136_0.png "[tex]f^{'}_{1}(t) = - cos^{-1}(t) \cdot sen(t) = -tan(t)[/tex]") ![[tex] \Longleftrightarrow f_{1}(t) = - \int{tan(t) \quad dt} = ln \left( cos(t) \right) + K[/tex]](images/latex/23b3c05ad1a89560da126cd5cc60322a972c7d88_0.png "[tex] \Longleftrightarrow f_{1}(t) = - \int{tan(t) \quad dt} = ln \left( cos(t) \right) + K[/tex]") . Elijo ![[tex]K = 0[/tex]](images/latex/6e6c328e695726f6166e2a120fd83c96adaf8f7e_0.png "[tex]K = 0[/tex]") .
![[tex]f^{'}_{2}(t) = 1 \Longleftrightarrow f_{2}(t) = t + C[/tex]](images/latex/f9950e154da03540279133c133062d095e2e00b1_0.png "[tex]f^{'}_{2}(t) = 1 \Longleftrightarrow f_{2}(t) = t + C[/tex]") . Elijo ![[tex]C = 0[/tex]](images/latex/ca5c283fef04f5cc962d8c9dd9191581ff2bef70_0.png "[tex]C = 0[/tex]") .
Entonces ![[tex]y_{P} = ln \left( cos(t) \right) \cdot cos(t) + t \cdot sen(t)[/tex]](images/latex/32e4ff98e63cfc73f83a977f8a165e1bb6144e4a_0.png "[tex]y_{P} = ln \left( cos(t) \right) \cdot cos(t) + t \cdot sen(t)[/tex]") . Y finalmente ![[tex]y_{G} = ln \left( cos(t) \right) \cdot cos(t) + t \cdot sen(t) + C_{1} \cdot cos(t) + C_{2} \cdot sen(t)[/tex]](images/latex/8a9eb34fbef8cc09c1f34f96b529ab7e9eb6fb8d_0.png "[tex]y_{G} = ln \left( cos(t) \right) \cdot cos(t) + t \cdot sen(t) + C_{1} \cdot cos(t) + C_{2} \cdot sen(t)[/tex]")
Saludos
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