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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Pongo los enunciados porque son de la nueva guia:
a) Una mariposa sin peso está posada en el punto [/tex]](images/latex/4b0cbbce465933db15c490253a3c9aae0d4a33a3_0.png "[tex](\frac{1}{2},0,-\frac{1}{3})[/tex]") (en metros) y se deja llevar por el viento, que pasa por cada punto (x,y) con velocidad [/tex]](images/latex/e0a9743510bd49b3429ace7543763a6f82d8ad9e_0.png "[tex](z,x,0)[/tex]") (en metros sobre segundo). Hallar y dibujar aproximadamente la trayectoria de la mariposa.
Bueno lo que pensé es que lo de hallar la trayectoria se reduce a hallar las lineas de campo del campo ![[tex]v(x,y,z)=(z,x,0)[/tex]](images/latex/1f462c0d7888b4c57502a373a46c99279f5907d9_0.png "[tex]v(x,y,z)=(z,x,0)[/tex]") , osea hallar una función ![[tex]\sigma=\sigma(u,v)[/tex]](images/latex/3d6da287d273ef86502eaa5b22bca32b6f8f4b11_0.png "[tex]\sigma=\sigma(u,v)[/tex]") tal que ![[tex]\sigma'(u,v)=v(x,y,z)[/tex]](images/latex/558df0d28864bb87b0b1f23a431d2edefc413d73_0.png "[tex]\sigma'(u,v)=v(x,y,z)[/tex]") .
Planteando las condiciones queda
![[tex]\frac{dx}{z}=\frac{dy}{x}=\frac{dz}{0}[/tex]](images/latex/78d1d87c8bdb86eea630f1f23caa5afb94f46efb_0.png "[tex]\frac{dx}{z}=\frac{dy}{x}=\frac{dz}{0}[/tex]")
Esto esta bien planteado? La división por cero es lo que me preocupa, yo lo pasé multiplicando para el otro lado pero ni idea si está bien, después de muchas cuentas (y de usar la posición de la mariposa) me quedó la curva descrita por ![[tex]\frac{1}{2}x^{2}-yz=\frac{1}{8}[/tex]](images/latex/7e440721282bf674fe470e5955294eb841c7c78b_0.png "[tex]\frac{1}{2}x^{2}-yz=\frac{1}{8}[/tex]") . Alguien lo tiene hecho como para chequear? La intuición me dice que no está bien esto porque no me quedó muy fácil de dibujar 
b) La corriente en cada punto [/tex]](images/latex/054044cb21957bbf7cfeba616ee7eb642c88616b_0.png "[tex](x,y)[/tex]") de la superficie de un canal descrito por ![[tex]0<y<2[/tex]](images/latex/35c1d758fa94da4e0f9201754f92ea2a99bda140_0.png "[tex]0<y<2[/tex]") (![[tex]y[/tex]](images/latex/9ee4e6ba8781d42ee434379ac570532e425e7b55_0.png "[tex]y[/tex]") en metros) está dada por ![[tex]v(x,y)=(y^{2}+1,2xy)[/tex]](images/latex/df960f1717f7516d569da5fbe706e482059dace4_0.png "[tex]v(x,y)=(y^{2}+1,2xy)[/tex]") . Si un pato nada perpendicularmente a la corriente, y parte del punto [/tex]](images/latex/14fcffae2bc5863e0df878e4ecf39df72b7bfa5d_0.png "[tex](1,2)[/tex]") , ¿en qué punto alcanza la otra orilla?
Acá no intenté nada porqué no sé que hacer, alguna ayuda? Lo único que pensé fue que, si el pato va contra la corriente, la trayectoria descrita por el recorrido del pato tiene vectores tangentes ortogonales al campo. 
Many thanks.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Ejercicios que no van a entrar en los finales si los hay... a ver.
El (a): la división por 0 ahí no está mal porque la manera de plantear las ecuaciones diferenciales es un atajo intermedio para facilitar memorizar las ecuaciones a plantear. Acá te dejo una cita de "Introduction to partial differential equations with applications" de E. C. Zachmanoglou, Dale W. Thoe
Ahora mirando como se debería resolver, llegás a esa ecuación que ni siquiera es una curva, es una superficie. Antes de largarme a hacer cuentas (nunca me salieron las líneas de campo en 3D anyways ¬_¬) lo pensé así. El campo tiene tiene ![[tex]v_z (\bar{x}) = 0[/tex]](images/latex/a51e8d944f90b1a17e0f1d57d8880b00a7bfde6d_0.png "[tex]v_z (\bar{x}) = 0[/tex]") por lo tanto la mariposa se mueve en un plano perpendicular al ![[tex]xy[/tex]](images/latex/7d4ae868a12f79aa3a33a705a2b71ef5e8fae412_0.png "[tex]xy[/tex]") ; cuál? Bueno, empieza en por lo tanto siempre se va a mover en el plano ![[tex]z = -\frac{1}{3}[/tex]](images/latex/a065a48b840888b496e7a2704f6b9d9d4e5d4719_0.png "[tex]z = -\frac{1}{3}[/tex]") .
Entonces si nos paramos en ese plano y miramos "desde arriba", las únicas direcciones en las que se va a mover la mariposa están dadas por ![[tex]v(x,y) = (-\frac{1}{3}, y)[/tex]](images/latex/434039b0a90dc0ec92cee5a2bbf619a5eedae114_0.png "[tex]v(x,y) = (-\frac{1}{3}, y)[/tex]") . Ahora sí, planteamos la ED para sacar las curvas integrales:
![[tex]\frac{dy}{dx} = -3y[/tex]](images/latex/70b72c5e5d2e4c921d135079ec85e422123bf6d9_0.png "[tex]\frac{dy}{dx} = -3y[/tex]")
![[tex]\frac{dy}{y} = -3dx[/tex]](images/latex/638035ab6a008b54fc672f0cd6869b272e234a35_0.png "[tex]\frac{dy}{y} = -3dx[/tex]")
![[tex]\ln{y} = -3x + C[/tex]](images/latex/48d3770db42e52361e7e556a6ce89ad57e5057e0_0.png "[tex]\ln{y} = -3x + C[/tex]")
![[tex]e^{\ln{y}} = e^{-3x + C}[/tex]](images/latex/e77ccaedfaf5bc54fd4aba254dbadae530ae354a_0.png "[tex]e^{\ln{y}} = e^{-3x + C}[/tex]")
![[tex]y = e^{-3x}e^{C}[/tex]](images/latex/459b5e5c3458e3a66e2254c466de00cbd892e8ab_0.png "[tex]y = e^{-3x}e^{C}[/tex]")
![[tex]y = Ce^{-3x}[/tex]](images/latex/8775910d0194059ae7db558b512428a166a53d93_0.png "[tex]y = Ce^{-3x}[/tex]")
Sabemos que pasa por [/tex]](images/latex/470cb03a2770b5fae7387dd1b8afcdc4b337a9d6_0.png "[tex](\frac{1}{2},0)[/tex]") entonces despejamos el valor de ![[tex]C = 0[/tex]](images/latex/ca5c283fef04f5cc962d8c9dd9191581ff2bef70_0.png "[tex]C = 0[/tex]") . Entonces la trayectoria de la mariposa es ![[tex]y = 0[/tex]](images/latex/d68991924c3bad48dae1e3c5234dbf78980a2b36_0.png "[tex]y = 0[/tex]") . Fijate que concuerda con los cálculos que mostraste, tendrías que llegar a que . Gráfico:
Con respecto al (b)... el gráfico es algo así.
Fijate que en el punto donde empieza el pato (en la orilla ![[tex]y=2[/tex]](images/latex/d4ec7d158c3f12301c9e8b07c13c1e3fbb0e277e_0.png "[tex]y=2[/tex]") ) el campo de velocidades le juega siempre en contra. Si nada siempre perpendicular a la corriente (a las líneas de campo, por la familia de curvas ortogonales) para llegar a la otra orilla (![[tex]y=0[/tex]](images/latex/9671b51013841d9048e911bf02bf1ae6b965a342_0.png "[tex]y=0[/tex]") ), se abre por la asíntota ![[tex] x \rightarrow + \infty [/tex]](images/latex/c9d54c75954d666a6b8416ce2364937446405cfb_0.png "[tex] x \rightarrow + \infty [/tex]") y no llega nunca!
Bueno, espero que ayude en algo.. y para el ánimo una foto de la heladera.
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| koreano escribió:
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Entonces si nos paramos en ese plano y miramos "desde arriba", las únicas direcciones en las que se va a mover la mariposa están dadas por . Ahora sí, planteamos la ED para sacar las curvas integrales:
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Entendi todo menos esto, no sería el campo ![[tex]v(x,y)=(-\frac{1}{3},x)[/tex]](images/latex/f18407c96cc2db7a6a32b0b9a6fdb4747d1aa8cf_0.png "[tex]v(x,y)=(-\frac{1}{3},x)[/tex]") ? Entonces resolviendo:
![[tex]xdx=-\frac{1}{3}dy[/tex]](images/latex/98bf5258b00b93c9698ddabeee1f456921be42db_0.png "[tex]xdx=-\frac{1}{3}dy[/tex]")
![[tex]y=C-\frac{3}{2}x^2[/tex]](images/latex/0142ba1a4657104379cf25f7de19ebdcd071dd47_0.png "[tex]y=C-\frac{3}{2}x^2[/tex]")
Y reemplazando el dato me quedó ![[tex]C=-\frac{3}{8}[/tex]](images/latex/bcafc22537040806e360c3c4fe740bb0efa88b1e_0.png "[tex]C=-\frac{3}{8}[/tex]")
| koreano escribió:
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Con respecto al (b)
Fijate que en el punto donde empieza el pato (en la orilla ) el campo de velocidades le juega siempre en contra. Si nada siempre perpendicular a la corriente (a las líneas de campo, por la familia de curvas ortogonales) para llegar a la otra orilla (), se abre por la asíntota y no llega nunca!
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Tenés razón, no llega nunca, pobre pato. Lo que hice al final fue hallar las líneas de campo de , que me dieron ![[tex]x^2-\frac{1}{2}y^{2}-ln(y)=c[/tex]](images/latex/9b0c0436f923ac6fb27fe8f8a35aa6382f961ac0_0.png "[tex]x^2-\frac{1}{2}y^{2}-ln(y)=c[/tex]") . Luego hallé la familia de curvas ortogonales a ésta, que me dio ![[tex]xy=c[/tex]](images/latex/e39c4c98c3ea38c7b231cad49a07d9c72f48edf0_0.png "[tex]xy=c[/tex]") , y dado que el pato sale de (1,2) resulta la curva ![[tex]xy=2[/tex]](images/latex/ed7f915d3f06943d5868b7b18f4dafd1b3d0308c_0.png "[tex]xy=2[/tex]") . Esa es la trayectoria del patito, y resulta que no existe ![[tex]x[/tex]](images/latex/30b5a07f2a22fcb2626031da734012c71b549782_0.png "[tex]x[/tex]") tal que
Gracias por la ayuda 
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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