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Yankey
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
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4) Sea ![[tex]A \in \Re^{3x2}[/tex]](images/latex/431571f9286ae572a058634681770cf98f3d91c0_0.png "[tex]A \in \Re^{3x2}[/tex]") no nula, tal que ![[tex]Det(A^{t}A)=0[/tex]](images/latex/e88d204001d63dc1d945d046c6e40dd33395495f_0.png "[tex]Det(A^{t}A)=0[/tex]") y  \in Nul(AA^{t})[/tex]](images/latex/4e262184f76955fdac741a0cb9c3d40c1a82f38a_0.png "[tex](1,-1,1) \in Nul(AA^{t})[/tex]") . Determinar todos los ![[tex]b \in \Re^3[/tex]](images/latex/cb1cf5905c75d5ec391cbe3c4c5dee6042f6b7bb_0.png "[tex]b \in \Re^3[/tex]") para los cuales las soluciones ![[tex]Ax=b[/tex]](images/latex/8c716c40121bfa8325370e6d03d4d894adc77a2b_0.png "[tex]Ax=b[/tex]") por cuadrados mínimos son soluciones exactas.
Por propiedad, ![[tex]Nul(AA^T)\subseteq Nul(A^T)=[Col(A)]^{\bot}[/tex]](images/latex/8655abc4f7af9e6ecf0c4e523aa0e190f4c6281e_0.png "[tex]Nul(AA^T)\subseteq Nul(A^T)=[Col(A)]^{\bot}[/tex]") .
Ahora, como sabemos que ![[tex]rg(A)=rg(A^{T}A)[/tex]](images/latex/2c916ca6ea2c61861a7d24c39b4addd866a87e2f_0.png "[tex]rg(A)=rg(A^{T}A)[/tex]") , se deduce que A es inversible sí y solo si ![[tex]A^{T}A[/tex]](images/latex/40a11d82c16dc037962b62f04f27f126db39807e_0.png "[tex]A^{T}A[/tex]") es inversible. Como nos dicen que ![[tex]det(A^{T}A)=0[/tex]](images/latex/c6020b65584673491fbfd662d7bb27a3a872d85d_0.png "[tex]det(A^{T}A)=0[/tex]") , no es inversible, entonces A tampoco lo es. Entonces, el rango de A no es máximo, osea que (como A tiene 2 columnas) es o bien 1 o bien 0.
Peeeero el enunciado dice que A es NO NULA, así que por descarte, ![[tex]rg(A)=1[/tex]](images/latex/5865910872407e40abf33909c1f6ca7f4b2c21b9_0.png "[tex]rg(A)=1[/tex]") . Entonces, por teorema de la dimensión, ![[tex]dim [Col(A)]^{\bot}=1[/tex]](images/latex/4da66fe76a91490feb546ea2e4084d9a59c57a78_0.png "[tex]dim [Col(A)]^{\bot}=1[/tex]") .
Entonces, volviendo a lo que dije al principio, el signo ![[tex]\subseteq[/tex]](images/latex/82d28cace31dd38b3ee14f876196c902c645044e_0.png "[tex]\subseteq[/tex]") cambia por un ![[tex]=[/tex]](images/latex/37c27cb4d5146885fd2ae84b9f9bd971ab7d4994_0.png "[tex]=[/tex]") , porque conocemos un elemento de ![[tex]Nul(AA^T)[/tex]](images/latex/112f7646778d5174f6a1ff59e4a701835e35d0cb_0.png "[tex]Nul(AA^T)[/tex]") y sabemos que . Por lo tanto, ![[tex][Col(A)]^{\bot}=gen{(1,-1,1)}[/tex]](images/latex/e579a37184590d8f37b71d6c21a98a2cda00ddff_0.png "[tex][Col(A)]^{\bot}=gen{(1,-1,1)}[/tex]")
Para que las soluciones de por CM sean exactas, debe ser que ![[tex]b\in Col(A)[/tex]](images/latex/d084f3cdf55bc46e0ebceba48dc63bedbc6a1b6d_0.png "[tex]b\in Col(A)[/tex]") o, en otras palabras, ![[tex]b \bot [Col(A)]^{\bot}[/tex]](images/latex/fcfe8c8ebaec00fd4509f92d6d23107942947c40_0.png "[tex]b \bot [Col(A)]^{\bot}[/tex]") . Pero tenemos un generador (el único) de ![[tex][Col(A)]^{\bot}[/tex]](images/latex/abd1ef65f41c38a1ca760913b2d50aab0fdbf2c7_0.png "[tex][Col(A)]^{\bot}[/tex]") . Así que la respuesta es:
"son los ![[tex]b\in \Re^3 : b \bot (1,-1,1)[/tex]](images/latex/be31e520e06de7abebcf39a6dbcecac241e9b235_0.png "[tex]b\in \Re^3 : b \bot (1,-1,1)[/tex]") "
PD: La primera propiedad, supuestamente, es una igualdad. No lo puse así porque no encuentro la demostración jaja
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Ojo!! A no puede ser inversible por el simple hecho de que A es una matriz 3x2. Lo que se obtiene con el dato es información sobre el rango tal que sustente la respuesta que da al final eze. [/tex]](images/latex/19de249a222fcee0264436582fc60640ba48a16c_0.png "[tex](A^{t}A)[/tex]") es 2x2 y claramente su rango debe ser 1 si su determinante es nulo.
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Mira la fecha del posteo de Loonatic, no creo q tenga esa duda.
Y si no me equivoco ya aprobo el final, aunque no tendrias pq saberlo. Me reporto.
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Jajajaja tenés razón, ni mire eso, estaba dos mensajes arriba del último mensaje y supuse que habia sido hace poquito.
De todos modos quedar para que tenga una duda similar jajaja
Gracias igual.
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