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df
Nivel 9
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Carrera: Civil
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Los generadores del col de A tienen que estar ortonormalizados. Como ![[tex]P^2=P[/tex]](images/latex/134b93e39ddfc7edeff0f8e856d00e3879824fc4_0.png "[tex]P^2=P[/tex]") podés multiplicar ambas igualdades por P y sacás que el núcleo de la TL que proyecta sobre el subespacio generado por esos dos vectores es el generado por ![[tex] (1, -1, 0) [/tex]](images/latex/3e0a5652ce66236db5ea6c455933e36a3f4f5de7_0.png "[tex] (1, -1, 0) [/tex]") . Después podes, o armar la matríz Q como dijiste o definir una TL así:
![[tex]T(-1, 1, 1)=(0, 0, 1)\\T(0, 2, 1)=(1, 1, 1)\\T(-1, 1, 0)=(0, 0, 0)[/tex]](images/latex/0d3a334c8677d0943083b6a0886fc2f396150e23_0.png "[tex]T(-1, 1, 1)=(0, 0, 1)\\T(0, 2, 1)=(1, 1, 1)\\T(-1, 1, 0)=(0, 0, 0)[/tex]")
y P es la matríz de la TL en bases canónicas.
edit:
ese tipo de cosas si te las olvidás, las deducís muy rápido de la definición misma, si te olvidaras de ortonormalizar las columnas de A, planteás esto:
Por ser ![[tex]QQ^T[/tex]](images/latex/a1b84a9b83ff11425a6695ae474605f2f2745d1a_0.png "[tex]QQ^T[/tex]") una matríz de proyección, ![[tex]QQ^T=(QQ^T)^T[/tex]](images/latex/8c1f05a6816b63e41d317622fec6633f2ab60994_0.png "[tex]QQ^T=(QQ^T)^T[/tex]") que se deduce de que ^T=(Q^T)^TQ^T=QQ^T[/tex]](images/latex/f85296af2412d8c643635e895087d23a39ded479_0.png "[tex](QQ^T)^T=(Q^T)^TQ^T=QQ^T[/tex]") , y (QQ^T)=QQ^T[/tex]](images/latex/020d651165abc9fc06164b72c883c97b080ae31f_0.png "[tex](QQ^T)(QQ^T)=QQ^T[/tex]") , si te fijás, eso va a pasar si y solo si ![[tex] Q^T Q [/tex]](images/latex/f2d400fdce9a224e90add0f66e01fc57001458a5_0.png "[tex] Q^T Q [/tex]") es la identidad de ![[tex]nxn[/tex]](images/latex/a4bb73fd24381dc7ddc4d4143a12c5835b03497c_0.png "[tex]nxn[/tex]") suponiendo que ![[tex]Q[/tex]](images/latex/c8eb04937fb64e00e48ea872a5cb960a791fcb3a_0.png "[tex]Q[/tex]") es de ![[tex]mxn[/tex]](images/latex/0b38586d83fa4ba0aa30b7b5f248a10ce0a5f5e9_0.png "[tex]mxn[/tex]") .
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
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Buenísimo, muchas gracias df.
Me había re olvidado que las columnas de Q tienen que ser una base ortonormal  .
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leandrob_90
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leandrob_90
Nivel 9
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Gente, una consulta con respecto a la Matriz de Householder...
Sea ![[tex]B=\{ v_1\, , v_2\, , v_3 \}[/tex]](images/latex/0f45b937510d4ae59378a4fd4dd175d6ffd175af_0.png "[tex]B=\{ v_1\, , v_2\, , v_3 \}[/tex]") una base ortonormal
Si yo tengo el plano generado por ![[tex]v_1[/tex]](images/latex/1d09daaea7af8b91c3ff8eda63dcda6a4a279549_0.png "[tex]v_1[/tex]") y ![[tex]v_2[/tex]](images/latex/ce3626a59ef627fa4fc5682691a164b096553d08_0.png "[tex]v_2[/tex]") , para armar la matriz de reflexión uso el complemento ortogonal ![[tex]w=v_3[/tex]](images/latex/b93b02627b3d0c21e755f4dc757805901364f063_0.png "[tex]w=v_3[/tex]") y me queda:
![[tex]H=I-2\frac{w\,w^T}{w^Tw}[/tex]](images/latex/718f63d17f25decaf30cc75b59afa71966ab84e8_0.png "[tex]H=I-2\frac{w\,w^T}{w^Tw}[/tex]")
Hasta acá todo perfecto, pero si me piden la reflexión respecto de la recta generada por ![[tex]v_3[/tex]](images/latex/16c3febb24ce8d27f84cc4655d745148b107cd74_0.png "[tex]v_3[/tex]") , ¿cómo se arma la matriz?
¿Sería una cosa así o escribí cualquier cosa?
Notación: ![[tex]x=v_1[/tex]](images/latex/7bfe3df41899167926d60549dd36e37daaa7bd6a_0.png "[tex]x=v_1[/tex]") y ![[tex]y=v_2[/tex]](images/latex/3064513d7c3022b961f4864c43d7bd977fbd44eb_0.png "[tex]y=v_2[/tex]")
![[tex]H=I-2\left( \frac{x\,x^T}{x^Tx}+\frac{y\,y^T}{y^Ty}\right)[/tex]](images/latex/f2dca3c9ee471baee089c633a6a7fb01998c18cd_0.png "[tex]H=I-2\left( \frac{x\,x^T}{x^Tx}+\frac{y\,y^T}{y^Ty}\right)[/tex]")
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leandrob_90
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
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Carrera: Mecánica
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Vos tenés la base B= {v1, v2 y v3}, ortonormal.
La matriz reflexión con respecto a la recta generada por v3, la podés pensar como una transformación lineal, y sabés que la matriz [T] de la transformación con respecto a una base se obtiene así:
-La primera columna son las coordenadas del transformado de v1 en la base B, esto es (-1 0 0) transpuesto.
-La segunda columna son las coordenadas del transformado de v2 en la base B, esto es, (0 -1 0) transpuesto.
-La segunda columna son las coordenadas del transformado de v2 en la base B, esto es ( 0 0 1) transpuesto.
Espero que te sirva de la forma en que lo pensé.
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
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Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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| Qué pelotudo. En el tercer renglón, donde dice "segunda columna" va "tercer columna", y donde dice "v2", va "v3".
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df
Nivel 9
Edad: 33
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Carrera: Civil
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| leandrob_90 escribió:
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Gente, una consulta con respecto a la Matriz de Householder...
Sea una base ortonormal
Si yo tengo el plano generado por y , para armar la matriz de reflexión uso el complemento ortogonal y me queda:
Hasta acá todo perfecto, pero si me piden la reflexión respecto de la recta generada por , ¿cómo se arma la matriz?
¿Sería una cosa así o escribí cualquier cosa?
Notación: y
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Definí una transformación lineal tal que si ![[tex] (v ; v_3)=0, T(v)=-v[/tex]](images/latex/ba23b6cfb036a6c1bfa43d2763e66d7673a3ae73_0.png "[tex] (v ; v_3)=0, T(v)=-v[/tex]")
y si ![[tex]v=kv_3[/tex]](images/latex/e1e6eee5ef3e63c1a214951a3180a071df258bc1_0.png "[tex]v=kv_3[/tex]") para algún k en K (R o C) ![[tex] T(v)=v [/tex]](images/latex/989d642b397fd7a2223d1ee99f042d52907695b7_0.png "[tex] T(v)=v [/tex]") .
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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giselars7
Nivel 5
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Carrera: Electrónica y Mecánica
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Hola, bueno yo tengo una duda sobre este ejercicio de parcial... en realidad no entiendo nada jaja  leí la explicación de Prelat pero igual no entendí nada. Es el ejercicio 4 del parcial del 6/6/09 tema 2.
Sean: una matriz y dos vectores y que verifican las tres siguientes condiciones (simultáneamente): (1) El sistema Ax = b es incompatible; (2) el conjunto de soluciones del sistema Ax = b por cuadrados mínimos es un subespacio vectorial de dimensión 1 de R^3, y (3) La proyección de b sobre Col(A) es w. Analizar la validez de las siguientes afirmaciones (justificando su respuesta, como se pide para todo el examen):
(a) El rango de A es 1
(b) W=0
(c) (A^t).b= 0
No sé escribir con Latex, sepan disculparme 
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![[tex] ${\Large \definecolor{azul}{rgb}{0,0,0.55} \color{azul}I\definecolor{violeta}{rgb}{0.58,0,0.83} \color{violeta}Wanna\definecolor{rosa}{rgb}{1,0.41,0.71} \color{rosa}Get \definecolor{naranja}{rgb}{1,0.65,0} \color{naranja}In \color{yellow}Trouble \definecolor{verde}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{verde}I Wanna \definecolor{turquesa}{rgb}{0,0.81,0.82} \color{turquesa}Start \definecolor{azul2}{rgb}{0,0,1} \color{azul2}A Fight}$ [/tex]](images/latex/af60243d6e4925a5612ac9bcba143670b8a83b2d_0.png "[tex] ${\Large \definecolor{azul}{rgb}{0,0,0.55} \color{azul}I\definecolor{violeta}{rgb}{0.58,0,0.83} \color{violeta}Wanna\definecolor{rosa}{rgb}{1,0.41,0.71} \color{rosa}Get \definecolor{naranja}{rgb}{1,0.65,0} \color{naranja}In \color{yellow}Trouble \definecolor{verde}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{verde}I Wanna \definecolor{turquesa}{rgb}{0,0.81,0.82} \color{turquesa}Start \definecolor{azul2}{rgb}{0,0,1} \color{azul2}A Fight}$ [/tex]")
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giselars7
Nivel 5
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Perdón... el enunciado empieza :
Sean: una matriz A perteneciente R^4x3 y dos vectores b perteneciente R^4 y w pertenenciente R^4.... etc
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leandrob_90
Nivel 9
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Carrera: Mecánica
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| ese ejercicio es horrible, yo también tuve problemas, lo único que te puedo decir (que yo hice) es que lo tomes con calma y te leas varias veces la resolución hasta que más o menos te quede la idea
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leandrob_90
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leandrob_90
Nivel 9
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Gente, necesito ayuda con un ejercicio de parcial:
3. Dada ![[tex]A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 \\ -1 & 0 \\ 2 & -1 \end{array} \right)[/tex]](images/latex/db5b932231db908687d2fd325f98bf9ed21f2f83_0.png "[tex]A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 \\ -1 & 0 \\ 2 & -1 \end{array} \right)[/tex]") , sean ![[tex]b \in R^3[/tex]](images/latex/41655a4db43691ef936e3e2d7a2fa6be6434a56c_0.png "[tex]b \in R^3[/tex]") y ![[tex]v \in R^3[/tex]](images/latex/6528ec4c5d47ab1e091af6ae820df7f1944952c5_0.png "[tex]v \in R^3[/tex]") dos vectores no nulos tales que ![[tex]v \in Nul(A^T)[/tex]](images/latex/826eaebefb9564972164a44a546f22aa768e9cfe_0.png "[tex]v \in Nul(A^T)[/tex]") y ![[tex][col_1(A)-col_2(A)-b].v=0[/tex]](images/latex/fc888d3900f7185545d9246fb801dba453c6c15f_0.png "[tex][col_1(A)-col_2(A)-b].v=0[/tex]") . Resolver ![[tex]Ax=b[/tex]](images/latex/8c716c40121bfa8325370e6d03d4d894adc77a2b_0.png "[tex]Ax=b[/tex]") por cuadrados mínimos.
Bueno, yo para empezar calculo el vector v, traspongo A y resuelvo. Obtengo que ![[tex]v=(1\, 3\, 1)^T[/tex]](images/latex/93a1e8f891d820007e5cc20b829ea0d659aa1ba0_0.png "[tex]v=(1\, 3\, 1)^T[/tex]")
Y después me voy a la condición de las columnas:
Me queda:
![[tex][(0\, -1\, 3)-b].v=0[/tex]](images/latex/f2179aec0b52dbe40d1b47227f1380d34b41da64_0.png "[tex][(0\, -1\, 3)-b].v=0[/tex]") (hasta acá todo hermoso)
acá es donde aparece mi problema, viendo la resolución de Prelat, dice que el vector -b[/tex]](images/latex/ed5f42b2f443b0aed876239ebba5da1627d694f9_0.png "[tex](0\, -1\, 3)-b[/tex]") es paralelo a ![[tex]v[/tex]](images/latex/b81f3f1c5372939b80b003266b8b6059980ece93_0.png "[tex]v[/tex]") , pero ¿no deberían ser ortogonales si es que el producto interno entre ellos es nulo?
No sé, capaz estoy diciendo cualquiera pero
, que es lo mismo que decir que ![[tex]v \in col(A)^{\perp}[/tex]](images/latex/850c3df3e1c00725eb9f7f739750ceef176edb69_0.png "[tex]v \in col(A)^{\perp}[/tex]")
Si el producto interno ![[tex]w.v=0[/tex]](images/latex/8831abfd376a36a1eebce0a44009e97e92d5b2e4_0.png "[tex]w.v=0[/tex]") entonces ![[tex]w \in col(A)[/tex]](images/latex/b4643f44d1c43290f1d54906d120bb9668b47efb_0.png "[tex]w \in col(A)[/tex]")
y si digo que ![[tex]w=[(0\, -1\, 3)-b][/tex]](images/latex/5b35467ecedfe49ee3b06c8da65efe1f41f792a2_0.png "[tex]w=[(0\, -1\, 3)-b][/tex]") , por la ley de cierre no queda otra que ![[tex]b \in col(A)[/tex]](images/latex/4d332c3b835439e04b0f493e3642bd1f6105ae44_0.png "[tex]b \in col(A)[/tex]") y si pasa eso no tiene sentido resolver por cuadrados mínimos ya que el sistema sí tiene solución
Bueno, esa es la duda que tengo, ahí donde dice paralelo, no entiendo por qué. Si alguien me puede orientar un poco se lo voy a agradecer.
Saludos.
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leandrob_90
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Basterman
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Creo q leiste mal el enunciado, si no me equivoco habla de un producto vectorial entre [(---)-b]x v, ahi deberias pedir q sean paralelos, o sea, uno multiplo del otro, por lo q el producto vectorial te daria 0.
Releelo q estoy haciendo memoria y me parece q es como te digo, no lo tengo ahora en la pc, pero se q lo hice.
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leandrob_90
Nivel 9
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Acabo de fijarme de nuevo y aparece el punto de producto escalar en vez de la cruz, pero eso que decís suena lógico así que debe ser un error en el enunciado, ni se me cruzó por la cabeza que fuera otro producto jaja. Gracias Baster!
Edit: aparentemente me salió mal la impresión 
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leandrob_90
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