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Sebacuervo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 23 Oct 2006
Mensajes: 107
Carrera: Informática
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Buenas!
Este es el enunciado (Primer parcial 61.09 23/05/2007)
1. En un contenedor hay 6 naranjas y 4 limones. Estas frutas fueron adquiridas a un productor que especifica que el peso de las mismas (en gr.) sigue una distribución Normal(110,10), para las naranjas, y Normal(100,11), para los limones. Se extraen del contenedor 2 frutas al azarsin reposición y se las coloca en una bolsa (cuyo peso al estar vacía es despreciable).
a) Calcular la probabilidad de que el peso de la bolsa llena sea mayor a 210 gr.
b) Sabiendo que el peso de la bolsa llena es exactamente 200 gr.,hallar la probabilidad de que se hallan colocado 2 limones en la bolsa
a)
Sea X el peso de la primer fruta extraída.
Sea Y el peso de la segunda fruta extraída.
Sea Z=X+Y el peso total de la bolsa.
Mediante un diagrama de árbol, podemos concluir las siguientes probabilidades:
![[tex] P(X=Naranja \cap Y=Naranja) = 1/3 [/tex]](images/latex/fd0533636053d31b413d052c20971dd61922b0e2_0.png "[tex] P(X=Naranja \cap Y=Naranja) = 1/3 [/tex]") (Caso 1)
![[tex] P(X=Naranja \cap Y=Limon) = 4/15 [/tex]](images/latex/2955f73b8fa5b3d32497f9db88227b96e71a3d8d_0.png "[tex] P(X=Naranja \cap Y=Limon) = 4/15 [/tex]") (Caso 2)
![[tex] P(X=Limon\cap Y=Naranja) = 4/15 [/tex]](images/latex/9aeda730a10ccb811ed6e5428f9788a17b07111f_0.png "[tex] P(X=Limon\cap Y=Naranja) = 4/15 [/tex]") (Caso 3)
![[tex] P(X=Limon\cap Y=Limon) = 2/15 [/tex]](images/latex/a157537c41511ee13c8ee94a9f6c8d42882ad906_0.png "[tex] P(X=Limon\cap Y=Limon) = 2/15 [/tex]") (Caso 4)
Entonces:
![[tex] P(Z>210) = P(Z>210 \cap Caso1) \cup (Z>210 \cap Caso2) \cup (Z>210 \cap Caso3) \cup (Z>210 \cap Caso4) [/tex]](images/latex/f9b06507d06d9381fdd4bfb083314bdb55d7cee5_0.png "[tex] P(Z>210) = P(Z>210 \cap Caso1) \cup (Z>210 \cap Caso2) \cup (Z>210 \cap Caso3) \cup (Z>210 \cap Caso4) [/tex]")
Como los 4 casos son disjuntos (no pueden darse en forma simultánea) las uniones son sumas.
Además, aplicamos la definición de probabilidad condicional
![[tex] P(Z>210) = \sum _{i=1}^{4} P(Z>210|Caso_i)P(Caso_i) [/tex]](images/latex/2b830d2395e2298087fe2f0e6b3e697dbca3d34d_0.png "[tex] P(Z>210) = \sum _{i=1}^{4} P(Z>210|Caso_i)P(Caso_i) [/tex]")
Finalmente, las probabilidades P(Z>210|Caso i) nos indican que Z se distribuye como una V.A. Normal cuya media es la suma de las medias de X e Y (según corresponda) y desvío es la raíz cuadrada de la suma de los desvíos al cuadrado, también según corresponda el caso.
El resultado que obtuve fue: P(Z>210) ~0,56
b)
Acá está mi duda... sé que no tiene sentido la probabilidad de que Z=200 dado que sería cero... pero bueno, la verdad que no sé como encararlo.
Se agradece cualquier pista...
Saludos!!
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Seba.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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No se si te sirve, pero las constantes siempre tienen probabilidad uno. Siguen la distribución de una delta de Dirac.
No entiendo bien que es lo que te complica de que 200gr sea dato.
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eche1984
Nivel 3
Edad: 39
Registrado: 23 Feb 2010
Mensajes: 34
Carrera: Sistemas
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Yo lo pensaria en forma similar al punto a), pero en lugar de Z>210 con Z>200 pensando que como minimo la bolsa va a pesar 200 grs.
(Caso 4)
![[tex] P(Caso4|Z>200) = \frac{ P(Caso4 \cap Z>200) }{ P(Z>200) } [/tex]](images/latex/04865682c28712a757800ba15babb07115af82cd_0.png "[tex] P(Caso4|Z>200) = \frac{ P(Caso4 \cap Z>200) }{ P(Z>200) } [/tex]") ![[tex] = \frac{ P(Z>200|Caso4)*P(Caso4) }{ P(Z>200) } [/tex]](images/latex/ade2b698154033cdd8afadf389f9ce388c3fa842_0.png "[tex] = \frac{ P(Z>200|Caso4)*P(Caso4) }{ P(Z>200) } [/tex]")
Con P(Caso4) obtenida en (a) y la P(Z>200) se puede obtener de manera similar a la P(Z>210) requerida para (a).
Por lo menos, asi lo veo yo...
saludossss
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fratellis
Nivel 3
Registrado: 11 Mar 2010
Mensajes: 29
Carrera: Industrial
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Tendrias que calcular la probabilidad de que Z=200, considerando que 200-epsilon < Z < 200+epsilon. Y finalmente haces tender epsilon a 0.
P(Caso 4 | Z=200) = P ( Caso 4 ^ Z=200) / P(Z=200)
P(Z=200) = P( 200-ε < Z < 200+ε)= P(200-ε < Z < 200+ε | Caso 1) . P(Caso 1) +P(200-ε < Z < 200+ε | Caso 2) . P(Caso 2) + ...
P(Caso 4 | Z=200)= lim P( 200-ε < Z <200>0
Yo creo q sale asi.
Espero q sirva perdon pro no usar Latex
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fratellis
Nivel 3
Registrado: 11 Mar 2010
Mensajes: 29
Carrera: Industrial
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| P(Caso 4|Z=200)= P( 200-ε < Z <200>0
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fratellis
Nivel 3
Registrado: 11 Mar 2010
Mensajes: 29
Carrera: Industrial
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| bueno no me deja escribirlo el tema es q calcules el limite cuadno epsilon tiende a 0 de P(Caso 4 | Z=200)
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Sebacuervo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 23 Oct 2006
Mensajes: 107
Carrera: Informática
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Gracias por las respuestas!
sabian_reloaded, lo que me confunde del punto b, es que el peso de la bolsa es una V.A. Normal pues es la suma del peso de 2 frutas, que tienen distribución Normal y si seguimos la definición, P(Z=200) no abarca área bajo la curva de la función densidad de probabilidad (La probabilidad daría cero)
eche1984 no estoy seguro que lo que decís esté bien, pues no es lo mismo que te digan "Como mínimo pesa 200 gr" que "el peso es exactamente 200 gr"
Voy a intentar con lo que me dice fratellis que sería la técnica de "engordar" que explica Sebastián Grynberg si no me equivoco...
Si llego a algo coherente lo muestro...gracias de nuevo
Saludos!
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Seba.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Es que creo que estamos entendiendo la consigna muy distinto.
Sabés que el peso de la bolsa es de 200gr. Tenés que calcular la probabilidad de que haya 2 limones en la bolsa. O sea, el peso está fijo, es dato del problema.
Si el peso de los limones no tuviera dispersión, el único caso favorable, sería sacar dos limones de 100gr. Como si la hay, si tenés uno de 97 gr y otro de 103 gramos, también suman 200. Me explico? Sería tipo una serie aritmética. Obviamente que los casos en que sacas un limón de 94gr y una naranja de 106gr son casos NO favorables.
El problema que se presenta es que no podes encontrar un limón conjugado porque la distribución no es discreta. Tendría que pensarlo un rato.
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s4nti4go
Nivel 4
Edad: 33
Registrado: 04 Oct 2007
Mensajes: 94
Carrera: Química
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Para mí, la posta es que la probabilidad de obtener una bolsa que pese exactamente 200 gr. se lo puede expresar (a grosso modo) como la función densidad multiplicado por un diferencial. De esta manera, lo que tenés es un diferencial de probabilidad.
Para resolverlo, básicamente es plantear la probabilidad condicional como un cociente, donde el denominador sale como piña con la expresión para probablidad total, y el numerador sale explicitando la densidad multiplicada por un diferencial. Luego (a modo MUCHISIMO MÁS GROSERO), tachás los diferenciales, y simplemente es un cociente de combinaciones lineales de densidades.
En la práctica es casi imposible obtener un peso EXACTO, peeeero, en el caso de que eso ocurra, existe cierta probabilidad de que sean o 2 limones, o 2 naranjas, o lo que venga. No dejes que el hecho de que el espacio muestral sea de la misma magnitud que un diferencial te asuste!
P.D: "¡Yo tacho diferenciales! ¡Rockanrollnenenn!", Justo Acetona dixit.
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Joaco.
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 25 Jul 2006
Mensajes: 1041
Carrera: Industrial
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Grynbeeeeeeeeeeerg!
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Sebacuervo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 23 Oct 2006
Mensajes: 107
Carrera: Informática
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Mastricando un poco más...
Según la definición de función de distribución, tenemos que:
(Prop 2): ![[tex] F_X(x) [/tex]](images/latex/987202d3f309a1f926f18b3aad2b2741c381cfcf_0.png "[tex] F_X(x) [/tex]") es continua a derecha: ![[tex] \forall x_0 \in \Re [/tex]](images/latex/8ad9325d9800d85599ea5207fc62c27b0892937f_0.png "[tex] \forall x_0 \in \Re [/tex]") vale que ![[tex] \lim_{x \uparrow x0} F_X(x) = F_X(x_0) [/tex]](images/latex/99b9b5ef3e0a8821c5594f7a9df0448d3a90a6db_0.png "[tex] \lim_{x \uparrow x0} F_X(x) = F_X(x_0) [/tex]")
Por otra parte, se define un "átomo" o "punto pesado":
Decimos que ![[tex] a \in \Re [/tex]](images/latex/286462d4b5d925cfa67306436bb1e72ca356c203_0.png "[tex] a \in \Re [/tex]") es un átomo de si su peso es positivo: ![[tex] P(X=a) = F_X(a) - F_X(a-) > 0 [/tex]](images/latex/bc55400ca98d069288ab3fd21c5ee1e0dc5009d8_0.png "[tex] P(X=a) = F_X(a) - F_X(a-) > 0 [/tex]")
Y además, el conjunto de todos los átomos son los puntos de discontinuidad de cuyos pesos están dados por la longitud del salto en cada uno de ellos.
Entonces, el dato "El peso de la bolsa llena es exactamente 200 gr" me hace pensar que 200 sería un "punto pesado", para que su probabilidad no sea nula... pero al distribuirse dicho peso en forma Normal, ese punto no puede ser pesado!
Una brújula por favor...
Saludos.
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Seba.
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df
Nivel 9
Edad: 32
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Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| La probabilidad de que pese 200 g es 0, pero estás condicionando el problema a que el peso efectivamente es 200 g.
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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Sebacuervo
Nivel 4
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Carrera: Informática
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| df escribió:
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La probabilidad de que pese 200 g es 0, pero estás condicionando el problema a que el peso efectivamente es 200 g.
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Si, entiendo que estoy condicionando, pero ¿dónde está el error en esto?:
P(Caso 4|Z=200) = P(Z=200|Caso4).P(Caso4) / P(Z=200)
Vos decís que tengo que pensar en una distribución conjunta, donde Z=200 me dá un plano de corte?
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Seba.
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df
Nivel 9
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Carrera: Civil
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| La verdad que no lo pensé el ejercicio, pero dado que P(Z=200), deberías hallar la distribución de "Caso 4" condicionada a Z=200.
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