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manu12
Nivel 3
Edad: 33
Registrado: 05 May 2010
Mensajes: 25
Carrera: Industrial
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Sea f: R^2 a R, una funcion de C^3(R^2) tal que su polinomio de Taylor de orden 2 en (2,7) es P(x,y)=x^2-(1/2)xy+(1/2)x+4.
Sea g:R^3 a R definida por g(x,y,z)= f (x^2+y-z^3, 3x+2yz)-2z^2.
Verifique que el punto P=(1,2,1) pertenece a la superficie de nivel 0 de g(x,y,z), y halle el plano tangente dicha superficie en P.
I need help! 
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Fabricio
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
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Yo personalmente lo primero que hago ahi, es buscar lo que vale la funcion f evaluada en el punto, sabiendo que:
![[tex]P(2, 7)=f(2,7)[/tex]](images/latex/defc86d7d2256f4deb193a22913c5b0da570402f_0.png "[tex]P(2, 7)=f(2,7)[/tex]")
![[tex]f(2,7)=2^2- \frac{1}{2} (2).(7)+\frac{1}{2}.(2)+4=2[/tex]](images/latex/6704b07bb85435de07c0b8bc63079b0d0f3f369c_0.png "[tex]f(2,7)=2^2- \frac{1}{2} (2).(7)+\frac{1}{2}.(2)+4=2[/tex]")
![[tex]P'{_x}(2,7)=f'{_x}(2,7)[/tex]](images/latex/ffe20b6768efd09414f0aa23c2be5da6b7508b0a_0.png "[tex]P'{_x}(2,7)=f'{_x}(2,7)[/tex]")
![[tex]f'{_x}(2,7)=2(2)-\frac{1}{2}(7)+\frac{1}{2}=1[/tex]](images/latex/a0ebd0a70a07d06372afb26ffc3caaf5847a6395_0.png "[tex]f'{_x}(2,7)=2(2)-\frac{1}{2}(7)+\frac{1}{2}=1[/tex]")
![[tex]P'{_y}(2,7)=f'{_y}(2,7)[/tex]](images/latex/c340dee7ad3a452e22e50ad0405eef7b40cabad0_0.png "[tex]P'{_y}(2,7)=f'{_y}(2,7)[/tex]")
![[tex]f'{_y}(2,7)=-\frac{1}{2}(2)=-1[/tex]](images/latex/c18124f5b500f38b9117f99e517de6e81410fc7f_0.png "[tex]f'{_y}(2,7)=-\frac{1}{2}(2)=-1[/tex]")
Para verificar si el punto P=(1,2,1) pertenece a la superficie de nivel 0 de g(x, y, z), esto es que, la funcion evaluada en ese punto de 0, tenes que
![[tex]g(1,2,1)=0=f((1)^2+(2)-(1)^3, 3(1)+2(2)(1))-2(1)^2[/tex]](images/latex/9f647ba2f2fc2184983d6b427039e5c8de901014_0.png "[tex]g(1,2,1)=0=f((1)^2+(2)-(1)^3, 3(1)+2(2)(1))-2(1)^2[/tex]")
![[tex]g(1,2,1)=0=f(2,7)-2(1)^2[/tex]](images/latex/09ee72198e515fee1389bd364b181b20493e0d69_0.png "[tex]g(1,2,1)=0=f(2,7)-2(1)^2[/tex]")
f(2,7) lo calculaste anteriormente y da 2
tonces
![[tex]g(1,2,1)=0=2-2(1)^2[/tex]](images/latex/4c4e41f55d13b77f954923632e4e38983593c82b_0.png "[tex]g(1,2,1)=0=2-2(1)^2[/tex]")
![[tex]0=0[/tex]](images/latex/ed53da893e98001e3a165c9bd6015b50b10c51ac_0.png "[tex]0=0[/tex]") y ahi te verifica
edito:
para sacar el plano tangente, tomas g y le sacas el gradiente (porque [tex]g:\mathbb{R}^3 \rightarrow\mathbb{R}[/tex]), entonces:
![[tex] \nabla g(x,y,z)=(f'{_x}(x^2+y-z^3,3x+2yz),f'{_y}(x^2+y- z^3,3x+2yz), f'{_z}(x^2+y-z^3,3x+2yz)-4z)[/tex]](images/latex/c20d4f150d2fcdd885e07a3fd2e98c1d5f1befbf_0.png "[tex] \nabla g(x,y,z)=(f'{_x}(x^2+y-z^3,3x+2yz),f'{_y}(x^2+y- z^3,3x+2yz), f'{_z}(x^2+y-z^3,3x+2yz)-4z)[/tex]")
![[tex] \nabla g(1,2,1)=(f'{_x}(2,7),f'{_y}(2,7), f'{_z}(2,7)-4z)[/tex]](images/latex/3077ecce7922ba7be1b1511c39c1de896a408b6c_0.png "[tex] \nabla g(1,2,1)=(f'{_x}(2,7),f'{_y}(2,7), f'{_z}(2,7)-4z)[/tex]")
ahora hago una consulta dentro de tu consulta, no se si meti la gamba en algo, pero f'z tendria que aparecer? porque f depende de x e y nomas, o por no aparecer en f, la derivada de f'z la tomo como 0, y en el gradiente queda solo -4z??
si seria asi, entonces
![[tex] \nabla g(1,2,1)=(f'{_x}(2,7),f'{_y}(2,7), -4z)[/tex]](images/latex/79b7385d614ba34903da5209469606f8f1b0b936_0.png "[tex] \nabla g(1,2,1)=(f'{_x}(2,7),f'{_y}(2,7), -4z)[/tex]")
![[tex] \nabla g(1,2,1)=(1, -1,-4)[/tex]](images/latex/7ea04001210ea60c08bb0243a6f914f196e648e7_0.png "[tex] \nabla g(1,2,1)=(1, -1,-4)[/tex]")
.(x,y,z)=(1, -1,-4).(1,2,1)[/tex]](images/latex/1490be9814c8428672e5c49832cfc00aabf77d79_0.png "[tex](1, -1,-4).(x,y,z)=(1, -1,-4).(1,2,1)[/tex]")
![[tex]x-y-4z=-5[/tex]](images/latex/8479ef2ef55baf2dfc7584ea0fe74f0b3c2cd52f_0.png "[tex]x-y-4z=-5[/tex]") plano tangente en [/tex]](images/latex/8dafc05bf54afb1611495f4e022b6740b77ecd60_0.png "[tex](1,2,1)[/tex]")
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![[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]](images/latex/48cd3513e832f53547d671e0162ba3adbacdea7a_0.png "[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]")
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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2 cosas para remarcarte Fabricio, q me da la impresion de q serian mas si me sentara a hacer el ejercicio.
Primero: ![[tex]f(x^{2}+y-z^{3}, 3x+2yz)=f(u,v)[/tex]](images/latex/0d55721d7457731ebd283dd2696df0f1af22db38_0.png "[tex]f(x^{2}+y-z^{3}, 3x+2yz)=f(u,v)[/tex]")
Por lo q la derivada q hallaste sea en ![[tex]x[/tex]](images/latex/30b5a07f2a22fcb2626031da734012c71b549782_0.png "[tex]x[/tex]") o ![[tex]y[/tex]](images/latex/9ee4e6ba8781d42ee434379ac570532e425e7b55_0.png "[tex]y[/tex]") estan mal, tendria q ponerme a hacerlo, pero mejor q lo hagas vos y te des cuenta. Fijate como era con cambio de variables el asunto.
Segundo: ![[tex]f[/tex]](images/latex/228663427166fa0dd8911ea5e0d4c3ddfd5ded79_0.png "[tex]f[/tex]") va de ![[tex]R^{2}[/tex]](images/latex/6c36ae73a34406b8d2da25f6738fd443fffa0e3d_0.png "[tex]R^{2}[/tex]") --->![[tex]R[/tex]](images/latex/06bb2956f6ba6274346e5b9e386e2e81f25a8632_0.png "[tex]R[/tex]")
Por lo tanto ![[tex]z= f(x,y)[/tex]](images/latex/a84549d480764b6b211420213b3c983ccb4c3dec_0.png "[tex]z= f(x,y)[/tex]") por lo q te armas una nueva funcion ![[tex]w(x,y,z)= f(x,y)-z[/tex]](images/latex/bdcb0d9ddd7a47fc355df42dfb65d722daaf3d6a_0.png "[tex]w(x,y,z)= f(x,y)-z[/tex]") y ![[tex]\nabla w(x,y,z) = (f'x,f'y, -1)[/tex]](images/latex/154058edf8f31cbffe5a58ff6f932b62b5faa6ec_0.png "[tex]\nabla w(x,y,z) = (f'x,f'y, -1)[/tex]") .
Creo q corrigiendo esas cosas saldria bien el ejercicio, si me dan ganas lo hago.
Como siempre, el equivocado puedo ser yo, no se queden con sola una opinion.
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Fabricio
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
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| Basterman escribió:
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2 cosas para remarcarte Fabricio, q me da la impresion de q serian mas si me sentara a hacer el ejercicio.
Primero:
Por lo q la derivada q hallaste sea en o estan mal, tendria q ponerme a hacerlo, pero mejor q lo hagas vos y te des cuenta. Fijate como era con cambio de variables el asunto.
Segundo: va de --->
Por lo tanto por lo q te armas una nueva funcion y .
Creo q corrigiendo esas cosas saldria bien el ejercicio, si me dan ganas lo hago.
Como siempre, el equivocado puedo ser yo, no se queden con sola una opinion.
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si tenes razon si definis f(u, v)
para u tenes que ![[tex]u=x^2+y-z^3[/tex]](images/latex/ab5d506dcac6863a96f62946392815e56f6fa7f8_0.png "[tex]u=x^2+y-z^3[/tex]") y ![[tex]v=3x+2yz[/tex]](images/latex/dc33dec5467ab3d655dcb58ee40bede3078cdd06_0.png "[tex]v=3x+2yz[/tex]")
pero si evaluas en (1,2,1) te queda f(2,7), y el polinomio comparado con la funcion f esta bien hecho, lo que si capaz hice mal fue de la verificacion para delante (estoy medio flojo con composiciones)
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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No me entendiste, hacer la derivada del choclo q aparece en f, es mas q solo reemplazar y ver q te haya dado lindo, es una composicion.
![[tex] \frac {dg}{dx} =\frac {dw}{dx} = \frac {df}{du}* \frac {du}{dx} + \frac {df}{dv}* \frac {dv}{dx}[/tex]](images/latex/1bb4140e3f3fd920d00714e774bf7b04635bc91c_0.png "[tex] \frac {dg}{dx} =\frac {dw}{dx} = \frac {df}{du}* \frac {du}{dx} + \frac {df}{dv}* \frac {dv}{dx}[/tex]") con ![[tex] (u,v) = (2,7) [/tex]](images/latex/ba6306f875d718c933724d628861d1032cb5d1e2_0.png "[tex] (u,v) = (2,7) [/tex]") Y ahi es donde entra lo q encontraste en ![[tex] P (x,y) [/tex]](images/latex/97a915a09c144a9d4683a6abe7215a8ad489ec4c_0.png "[tex] P (x,y) [/tex]")
Edito: notacion coherente con lo q puse antes
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Nicolas ii
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 05 Jul 2009
Mensajes: 102
Ubicación: Pque chacabuco
Carrera: Civil y Industrial
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| Y el z que esta al lado de la funcion? como lo agregas?
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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| Calculo q hablaras del z q esta fuera de f, bueno, ese corresponde a g q va de R^3 a R, por lo q no genera ningun inconveniente, lo derivas normalmente cuando te toca derivar respecto de z y haras lo q tengas q hacer con la derivada en z del w defini mas arriba (sumar, restar, lo q sea).
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