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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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La verdad que es un tema que no le dan mucha bola, pero de lo que se hace poco lo tomaron en un parcial. Estuve buscando teoria y eso, pero no encontre mucho del tema. Si alguno me puede ilustrar lo basico que habria que saber y ayudarme con el ejercicio 30 de la practica dos, estaria re agradecido.
Se los copio para el que no lo tiene a mano.
Encuentre una matriz de Householder H tal que
H[1 1 -1]^T=[3^(1/2) 0 0]^T
En las sugerencias de TP, dice que w (con el que calculo H) seria igual al segundo vector menos el primero, pero ni idea porque.
Saludos y gracias de antemano!
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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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Como H*H=I, H(3^(1/2),0,0)=(1,1,-1) y H(1,1,-1)=(3^(1/2),0,0)
entonces H(1-3^(1/2),1,-1)=(3^(1/2)-1,-1,1), o sea H(x)=-x, entonces ese vector x es normal al plano respecto del cual reflejás, y como H=I-2(ww^t)/(w^tw), de ahí sacas H.
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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La matriz H de Householder hace que a cada vector x de un espacio vectorial lo refleje con respecto a un hiperplano (que llamo S, ya que es un subespacio) que tiene como normal a un w. Esto es, a cada vector, le resta dos veces su proyección sobre el vector normal al hiperplano S, de ahí viene la fórmula
H= I - 2(ww^t)/(w^tw).
O sea, que si multiplicás por x de los dos lados, te queda
Hx=x-2Ps(x), pues justamente, todo ese choclo de dobleves que tenés ahí es la matriz de proyección sobre el subespacio generado por w, y entonces I-2(esa matriz) te da la matriz de reflexión con respecto al complemento ortogonal del generado por w, que es ese hiperplano.
Si querés, muy a lo bestia, podés pensar que la primera, se la resta para que quede aplastado contra el hiperplano, y la otra para que quede "del lado de abajo". La idea es abstraerse más que el dibujito en 3D pero bueh...
Este ejercicio te da toda la info en un renglón, en la práctica en la que estoy tiraron la pista de cómo hacerlo.
Cuando te dicen que H(1 1 -1)t=(3^0.5 0 0)t te dicen entonces que H(1 1 -1)= (1 1 -1)t - 2Ps(1 1 -1)t
De acá despejás la proyección de 81 1 -1)t sobre el subespacio generado por w, que como tiene dimensión 1, puede estar tranquilamente generado por ese vector que hallás. Entonces, sólo te queda hacer H= I-2(ww^t)/(w^tw) y listo, tenés tu matriz.
Espero que te haya servido, saludos
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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zlatan
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 02 Feb 2009
Mensajes: 1180
Carrera: No especificada
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| en que parcial viste eso? nunca vi algo de eso en los ultimos parciales..
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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En el último final del último llamado me la mandaron a guardar con ese tema 
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leandrob_90
Revivamos el Chat-FIUBA
¿Qué te pasó foro? Antes eras chévere.
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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El otro día vi un parcial del cuatrimestre anterior, 1ro de 2010 que decía "encuentre todas las matrices simétricas tales que M*M=Id y el subespacio S={x pertenecientes a R3 /Mx+x=0} está generado por el (1 1 -1)t
Las matrices de reflexión, oh casualidad, tienen la propiedad M*M=Id, y es bastante lógico, porque la reflexión del reflejado de un vector, te devuelve el mismo vector. Y la información que te da el subespacio es que Mx=-x, o sea que la matriz efectivamente es de reflexión con respecto al subespacio que tiene como normal al (1 1 -1), que va a ser tu w. Con eso, usás la fórmula de Householder y listo. Y ayer pregunté en la práctica y me dijeron que, efectivamente, la matriz de Householder que refleja con respecto a un subespacio es única. Así que es esa sola.
Pero, hasta que te das cuenta de todo esto...
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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| Genial. Muchas gracias por las respuestas
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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La forma mas facil de ver householder no es acordandote de la formula.
Vos sabes que es una matriz de Reflexion, entonces supongamos que te piden la matriz que refleje, como pidieron en el parcial , respecto a la recta (1,1,-1).
La idea, es formar una BON con ese vector que te den, en este caso BON= ![[tex]{ (1/ \sqrt{3},1/ \sqrt{3},-1/ \sqrt{3}) (1/ \sqrt{6}, 1/ \sqrt{6}, 2/ \sqrt {6}) (1/ \sqrt {2},-1/\sqrt{2}, 0)}[/tex]](images/latex/7bec1c0fb466822efaedaa6984f1dad564591898_0.png "[tex]{ (1/ \sqrt{3},1/ \sqrt{3},-1/ \sqrt{3}) (1/ \sqrt{6}, 1/ \sqrt{6}, 2/ \sqrt {6}) (1/ \sqrt {2},-1/\sqrt{2}, 0)}[/tex]")
Y REFLEJAR esa BON con respecto a tu eje (que seria la recta (1,1,-1)=v1)
Entonces si R es el reflejado:
R(v1)=v1 (se refleja sobre si mismo)
R(v2)=-v2
R(v3)=-v3
Donde los reflejados, son las coordenadas en base B, son las columnas de tu matriz de reflexion con respecto a la recta 
(de la misma manera se puede hacer respecto a un plano, donde los vectores del plano van a ellos mismos y el restante va a su negativo)
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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GUARDA:
(1)En el ejercicio no pide que reflejes con respecto a una recta. Te dicen que los x generados por el (1 1 -1) cumplen que Mx=-x. Entonces, la matriz refleja con respecto al hiperplano que tiene como normal a (1 1 -1). Después podés usar el recurso de la matriz de Householder como una facilidad para calcular esa matriz que te piden que halles.
Si querés pensar la reflexión como una transformación lineal, podés armarte una BON, con, ponele, un v1 y v2 pertenecientes a ese plano, y v3 igual a la normal. Pero la transformación te va a dejar iguales a v1 y a v2, y te va a dar el reflejado de v3.
(2) La matriz de Householder sólo se puede usar para reflejar con respecto a un hiperplano cuya normal es el vector w que usas en la fórmula. Se puede usar sólo para ese caso especial de reflexión. No se usa nunca la matriz de Householder para reflejar con respecto a algo que no sea un hiperplano.
(3) Concuerdo con vos Matthaus, no sirve de nada acordarse de la fórmula si no se sabe cuándo es propicia usarla, si no se sabe cómo justificar su uso ni qué propiedades tiene. Yo puse el ejemplo del parcial del cuatrimestre pasado porque, una vez que ves que la matriz es de reflexión con respecto a ese plano, vos sabés que la matriz de Householder es única, entonces podés justificarlo por ese lado.
Saludos
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Yankey
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
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| Elmo Lesto escribió:
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GUARDA:
(2) La matriz de Householder sólo se puede usar para reflejar con respecto a un hiperplano cuya normal es el vector w que usas en la fórmula. Se puede usar sólo para ese caso especial de reflexión. No se usa nunca la matriz de Householder para reflejar con respecto a algo que no sea un hiperplano.
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Ojo, como hiperplano se debe comprender que estamos incluyendo el plano! Es un comentario trivial, pero se podría leer mal tu mensaje.
Una transformación de Householder o reflector elemental describe una reflexión respecto de un hiperplano o un plano que contenga al origen!
Saludos!!
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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Un hiperplano se define como ![[tex]S=\{x \in R^n / w^Tx=0\}[/tex]](images/latex/24dec3de121b9b96f4ca3ff8b3d8d2b66182c1ca_0.png "[tex]S=\{x \in R^n / w^Tx=0\}[/tex]") donde w es la "normal".
Osea que es un subespacio de dimensión n-1, donde n es la dimensión del espacio vectorial.
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leandrob_90
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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| Gracias a los dos por complementar (¿ortogonalmente?) mis comentarios.
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Eyetz
Nivel 5
Edad: 35
Registrado: 11 May 2009
Mensajes: 164
Ubicación: San Cristobal
Carrera: Informática
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| ese ejercicio estuvo en el primer recuperatorio, el cual fue particularmente horrendo.
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