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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
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Son los ejercicios 8 y 9 de los adicionales de las guias 5 a 7.
1) Encontrar una matriz ![[tex]A \in \Re^{3x3}[/tex]](images/latex/325ae6e8133c4224d935b9248037afac26141f40_0.png "[tex]A \in \Re^{3x3}[/tex]") simétrica e indefinida tal que ![[tex]A^{2}+3A-4I=0[/tex]](images/latex/bf13958d86a32b58e5d22447b0084947fdcad61f_0.png "[tex]A^{2}+3A-4I=0[/tex]") y que ![[tex]v_{1}=(1,1,2)[/tex]](images/latex/2ec339c698b06ea61bbf1e8e1cc404a940bc0a05_0.png "[tex]v_{1}=(1,1,2)[/tex]") sea un autovector de A.
Bueno lo que hice fue plantear esto: si ![[tex]\lambda_{1}[/tex]](images/latex/24484928611783cb669059a796502a4085af3029_0.png "[tex]\lambda_{1}[/tex]") es el autovector asociado a ![[tex]v_{1}[/tex]](images/latex/9475db80aa812fee766a94532507abedb8ec7d2a_0.png "[tex]v_{1}[/tex]") entonces ![[tex]Av_{1}=\lambda_{1}v_{1} \Rightarrow A^{2}v_{1}=\lambda_{1}^2v_{1}[/tex]](images/latex/20be5a9fe9366cf83bd09b18da6afc2471622373_0.png "[tex]Av_{1}=\lambda_{1}v_{1} \Rightarrow A^{2}v_{1}=\lambda_{1}^2v_{1}[/tex]") . Depués hice v_{1}=0v_{1}[/tex]](images/latex/16d4d6d71914bf6aad30e38479a31fc819f38e7f_0.png "[tex](A^{2}+3A-4I)v_{1}=0v_{1}[/tex]") , llegué a ![[tex]\lambda_{1}^{2}v_{1}+3v_{1}-4v_{1}=0[/tex]](images/latex/c5a43c684e4228e3620869618f74c635e37b099a_0.png "[tex]\lambda_{1}^{2}v_{1}+3v_{1}-4v_{1}=0[/tex]") , resolví y me quedo que las raíces son ![[tex]\lambda_1=1, \lambda_2=-4[/tex]](images/latex/9ef3b7b6ed2dbccad02a548cd8e69c7bf607dbb8_0.png "[tex]\lambda_1=1, \lambda_2=-4[/tex]") .
Ahora... que hago con esto? 
2) Considere la ecuación ![[tex]A^2= X= \left[\begin{array}{cc} 1- \frac{\alpha}{6} & 1/3 \\ 1/3 & \frac{1}{2} - \frac{\alpha}{6} \\\end{array}\right] [/tex]](images/latex/0ca7febd44876e93cbd5c2026f30ba2e7d68ad26_0.png "[tex]A^2= X= \left[\begin{array}{cc} 1- \frac{\alpha}{6} & 1/3 \\ 1/3 & \frac{1}{2} - \frac{\alpha}{6} \\\end{array}\right] [/tex]") con ![[tex]\alpha \in \Re[/tex]](images/latex/a072bf2311e354126f069c3794faf398e7b235cf_0.png "[tex]\alpha \in \Re[/tex]") .
a) Pruebe que si A verifica la ecuación, entonces A es diagonalizable.
Lo que yo puse textual: "Como X es simétrica, X es diagonalizable ortogonalmente. Por lo tanto, A se puede descomponer como ![[tex]A=P_{X} \sqrt{D_{X}} P_{X}^{-1}[/tex]](images/latex/67b7802e2ca5e03a637f402881345fc015fcb9c8_0.png "[tex]A=P_{X} \sqrt{D_{X}} P_{X}^{-1}[/tex]") , siendo ![[tex]P_{X}[/tex]](images/latex/963115af3b5a878ce3f0c607258e560ff5def695_0.png "[tex]P_{X}[/tex]") la matriz ortogonal que diagonaliza a X. Entonces A es diagonalizable porque ![[tex] \sqrt{D_{X}}[/tex]](images/latex/56e491441c14892c68e6cfd950055d868976dcb8_0.png "[tex] \sqrt{D_{X}}[/tex]") es diagonal.
¿Esto esta bien?
b) Determine para qué valores de ![[tex]\alpha[/tex]](images/latex/41745e18c1d8f48f052e396eae97bc8db739704f_0.png "[tex]\alpha[/tex]") la ecuación admite una solucion ![[tex]A \in \Re^{2x2}[/tex]](images/latex/5011f736b900b9a2a6eb14aed1ffbe1bc36de6ba_0.png "[tex]A \in \Re^{2x2}[/tex]") simétrica y definida negativa.
Puse esto: si A es real y es simétrica, entonces es diagonalizable ortogonalmente, y sus autovalores son reales. Si es definida negativa, sus autovalores son todos negativos. Pero si , no tendrá nunca numeros reales negativos. Asi que no existe tal .
Esto otro tambien esta bien?
Gracias.
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Última edición por loonatic el Jue Jul 08, 2010 7:46 pm, editado 1 vez
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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
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Carrera: Civil
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| loonatic escribió:
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Son los ejercicios 8 y 9 de los adicionales de las guias 5 a 7.
1) Encontrar una matriz simétrica e indefinida tal que y que sea un autovector de A.
Bueno lo que hice fue plantear esto: si es el autovector asociado a entonces . Depués hice , llegué a , resolví y me quedo que las raíces son .
Ahora... que hago con esto?
2) Considere la ecuación con .
a) Pruebe que si A verifica la ecuación, entonces A es diagonalizable.
Lo que yo puse textual: "Como X es simétrica, X es diagonalizable ortogonalmente. Por lo tanto, A se puede descomponer como , siendo la matriz ortogonal que diagonaliza a X. Entonces A es diagonalizable porque es diagonal.
¿Esto esta bien?
b) Determine para qué valores de la ecuación admite una solucion simétrica y definida negativa.
Puse esto: si A es real y es simétrica, entonces es diagonalizable ortogonalmente, y sus autovalores son reales. Si es definida negativa, sus autovalores son todos negativos. Pero si , no tendrá nunca numeros reales negativos. Asi que no existe tal .
Esto otro tambien esta bien?
Gracias.
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Para el primero, elegí alguno de esos autovalores, v1 va a ser el autovector de A asociado a ese autovalor. El otro autovalor que sacaste de la ecuación va a ser de multiplicidad geométrica 2 y los autovectores asociados a ese autovalor son ortogonales a v1 porque A es simétrica y ya podés definir A a partir de una diagonalización.
Y para el 2b, buscá un alfa tal que los autovalores de X sean todos positivos, entonces puede existir una matríz A con todos sus autovalores negativos, las matrices P y P^t van a ser las mismas y la matriz diagonal de autovalores de X tiene números positivos en la diagonal, entonces la matríz de autovalores de A tiene o bien números positivos o negativos en la diagonal, entonces admite una solución definida negativa.
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pepitoo
Nivel 5
Edad: 73
Registrado: 31 Oct 2008
Mensajes: 163
Ubicación: a raiz(25) Km de Paseo Colon
Carrera: Alimentos
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en el primero A es de 3x3, y lo q podes hacer es como A es simetrica y real se puede diagonalizar ortogonalmente, es decir haces
A= PDP^t. Como bien dijiste los autovalores de A son 1 y -4. No sabes con que multiplicidad geometrica tiene pero podes asignarle por ejemplo al autovalor 1 mult 2 y al -4 mult 1. Entonces te armas la P con la primer columna ese autovector q te dan normalizado y las otras 2 columnas pones dos autovector ortogonales a este. Una vez que tenes la P ya podes hallar A ya que A=PDP^t con D =diag(1,1,-4)
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Uno entiende un tema no cuando lo sabe resolver, sino cuando sabe hacerlo para que otro lo resuelva y le de un resultado lindo.
Le dijo Einstein a Chaplin. Lo que he admirado siempre de usted es que su arte es universal, todo el mundo le comprende y lo admira'. A lo que Chaplin respondió: -'Lo suyo es mucho más digno de respeto: todo el mundo lo admira y prácticamente nadie lo comprende'.
La Fiuba es como la jungla, se cruza a machetazos!!!
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
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Carrera: Sistemas
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la matriz diagonal de autovalores de X tiene números positivos en la diagonal, entonces la matríz de autovalores de A tiene o bien números positivos o negativos en la diagonal
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Pero si los autovalores de A tienen que ser negativos, y la matrix diagonal de X tiene numeros positivos, no hay forma de que la raiz de esa matriz diagonal me de negativo  Nose si me explico?
El primero ya lo entendí, gracias 
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df
Nivel 9
Edad: 33
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Carrera: Civil
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| df escribió:
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la matriz diagonal de autovalores de X tiene números positivos en la diagonal, entonces la matríz de autovalores de A tiene o bien números positivos o negativos en la diagonal
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Pero si los autovalores de A tienen que ser negativos, y la matrix diagonal de X tiene numeros positivos, no hay forma de que la raiz de esa matriz diagonal me de negativo Nose si me explico?
El primero ya lo entendí, gracias
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Pero la matríz de autovalores de A al cuadrado es la matríz de autovalores de X, entonces los autovalores de A pueden ser negativos, si es que los de X son positivos. Si los de X son negativos, los de A tendrían que ser imaginarios, etc.
Por ej, si la matríz de autovalores de A es:
-1 0
0 -2
la de X es:
1 0
0 4
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
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Carrera: Sistemas
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| loonatic escribió:
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| df escribió:
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la matriz diagonal de autovalores de X tiene números positivos en la diagonal, entonces la matríz de autovalores de A tiene o bien números positivos o negativos en la diagonal
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Pero si los autovalores de A tienen que ser negativos, y la matrix diagonal de X tiene numeros positivos, no hay forma de que la raiz de esa matriz diagonal me de negativo Nose si me explico?
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Por ej, si la matríz de autovalores de A es:
-1 0
0 -2
la de X es:
1 0
0 4
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Osea vos decis que ![[tex]D_{A}= \left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -2 \\\end{array}\right] [/tex]](images/latex/bc37f6e6c60d2f62dc5a8b60ae0be6aa17020d2d_0.png "[tex]D_{A}= \left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -2 \\\end{array}\right] [/tex]") , y que ![[tex]D_{X}= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 4 \\\end{array}\right] [/tex]](images/latex/0c8262811d163527dbba55f8cec0fa8e0ed53fd6_0.png "[tex]D_{X}= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 4 \\\end{array}\right] [/tex]") . Y se tiene que cumplir que ![[tex]D_{A}= \sqrt{D_{X}}[/tex]](images/latex/8267faa8bd2d4e732f5374615878737d6f3c7ce7_0.png "[tex]D_{A}= \sqrt{D_{X}}[/tex]")
Pero con tu ejemplo, ![[tex]-1= \sqrt{1}[/tex]](images/latex/b0c7ae235f153080e6405d1de089d8aebfa8dce3_0.png "[tex]-1= \sqrt{1}[/tex]") y ![[tex]-2= \sqrt{4}[/tex]](images/latex/6de28b3aca206085692d4d68aefe51b377062998_0.png "[tex]-2= \sqrt{4}[/tex]")
Osea, la raiz me da un numero negativo! Y eso no puede ser, porque por convención siempre se toman los positivos cuando calculamos la raiz, o no? O estoy diciendo cualquiera? 
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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
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Carrera: Civil
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| loonatic escribió:
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| loonatic escribió:
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| df escribió:
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la matriz diagonal de autovalores de X tiene números positivos en la diagonal, entonces la matríz de autovalores de A tiene o bien números positivos o negativos en la diagonal
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Pero si los autovalores de A tienen que ser negativos, y la matrix diagonal de X tiene numeros positivos, no hay forma de que la raiz de esa matriz diagonal me de negativo Nose si me explico?
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Por ej, si la matríz de autovalores de A es:
-1 0
0 -2
la de X es:
1 0
0 4
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Osea vos decis que , y que . Y se tiene que cumplir que
Pero con tu ejemplo, y
Osea, la raiz me da un numero negativo! Y eso no puede ser, porque por convención siempre se toman los positivos cuando calculamos la raiz, o no? O estoy diciendo cualquiera?
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Se toman los positivos, y lo mismo cuando se trata de una función con una raíz, sino no sería una función, pero acá la idea es ver para que autovalores de X podrían existir autovalores negativos de A. Si los autovalores de X son 0 o negativos, seguro no existe un autovalor de A tal que λ² sea negativo o 0, porque los autovalores de A tienen que ser negativos y mayores que 0. Ahora si los autovalores de X son positivos, seguro pueden existir autovalores de A tales que sean negativos su cuadrado sea positivo.
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nirvanero2005
Nivel 2
Edad: 33
Registrado: 02 Oct 2008
Mensajes: 16
Carrera: Naval
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es que en realidad vendria a ser como el modulo de x es igual a A^2...
osea que de ahi podes sacar dos signos para los avas de A...
como decir por ejemplo que X^2=4 de ahi sacas que X es igual a 2 o -2, lo mismo sucede con A...
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Ahhhhh ta, gracias, ya entendí 
Ahora, otra pregunta, alguien hizo este ejercicio?
[img]http://yfrog.com/1adibujopiwj[/img]
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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| loonatic escribió:
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Ahhhhh ta, gracias, ya entendí
Ahora, otra pregunta, alguien hizo este ejercicio?
[img]http://yfrog.com/1adibujopiwj[/img]
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Fijate que b no pertenece a Im(T), entonces el x que buscás es la proyección de b sobre Im(T)=col([T]) en base canónica. Buscás la matríz, después una DVS, de ahí sacás [T]+, y x+ va a ser [T]+*b
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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| para chequear, me dio x= (3/4 -1/2 3/4)t
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| matthaus escribió:
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para chequear, me dio x= (3/4 -1/2 3/4)t
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Si a mi tmb, pero sin la última "t"
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
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Carrera: Industrial
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
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Carrera: Sistemas
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| Ahh jajaja pensé que te había quedado una recta.
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