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Mensaje |
manu12
Nivel 3
Edad: 33
Registrado: 05 May 2010
Mensajes: 25
Carrera: Industrial
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Alguna idea de como encarar este ejerc.?
Sea π el plano que contiene los puntos P1: (1,1,1) P2: (1,2,0) y P3: (0,2,1). Sean L1: λ(2,-1,0)+(0,1,1) y L2: λ(2,0,1)+(1,-1,0).
Determinar AeL1 y BeL2 de manera que la recta que pasa por A y B no corte a π.
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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armate la ecuacion del plano con los 3 puntos que te dan.
despues planteate dos puntos genericos de ambas rectas y saca la recta que los une.
verifica que esa recta a partir de los ptos genericos no cumpla con la ecuacion del plano (es decir, que no lo corte).
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el_topo
Nivel 3
Edad: 33
Registrado: 13 May 2008
Mensajes: 25
Ubicación: Capital Federal
Carrera: Civil
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Yo lo que hice fue esto:
Primero con esos 3 puntos me busque la ecuacion del plano π
que me quedo π: x+y+z=0
Despues me busque un punto a e L1 y un punto b e L2 Ambos contenidos en π.
me quedo a e L1 = (-4, 3, 1) y b e L2 = (1,-1,0)
como sabes que a y b estan en π hice b-a y me quedo la recta que pasa por el origen L: X= λ ( 5,-4,-1) y esta contenida en el plano π.
fijense si esta bien o mal y corrijan si encuentran algo turbio
saludos
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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| el_topo escribió:
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Yo lo que hice fue esto:
Primero con esos 3 puntos me busque la ecuacion del plano π
que me quedo π: x+y+z=0
Despues me busque un punto a e L1 y un punto b e L2 Ambos contenidos en π.
me quedo a e L1 = (-4, 3, 1) y b e L2 = (1,-1,0)
como sabes que a y b estan en π hice b-a y me quedo la recta que pasa por el origen L: X= λ ( 5,-4,-1) y esta contenida en el plano π.
fijense si esta bien o mal y corrijan si encuentran algo turbio
saludos
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Mmmmmmm en principio no me voy a fijar las cuentas que hiciste pero parte de tu idea esta bien. Osea lo primero que debes ahcer es buscar la normal del plano, por otro lado generas una recta L3 que pase por las dos rectas dadas es decir buscas un A que pertenece a L1 y un B que pertenece a L2 (todo de forma generica expresado por ejemplo si tengo un L : X=alfa*(x,y,z)+(a,b,c) un punto generico de L es p=(alfa*x +a,alfa*y +b,alfa*z +c)) y con ello lo unico que debes plantear es que el vector director de la recta L3 producto escalar el vector normald el plano sea cero, es decir q dichos vectores deben ser ortogonales apra que se cumpla la condicion dada. no necesariamente dicha recta debe estar incluida en el plano apra que no corte al plano.
Saludos.
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Última edición por Leidenschaft el Lun May 10, 2010 10:31 pm, editado 1 vez
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Polito!
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 09 Feb 2010
Mensajes: 332
Carrera: Mecánica
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| toma un punto de L1, por ejemplo con alfa =0 tenes A=(0,1,1) y B, con alfa =0 tenes el punto de L2, los restas y te queda un vector director a eso le sumas a o b y te queda la recta, ese ejercicio lo hice y me costo un huevo pero es asi
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Riquelme esta felí
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Polito!
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 09 Feb 2010
Mensajes: 332
Carrera: Mecánica
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_________________
Riquelme esta felí
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el_topo
Nivel 3
Edad: 33
Registrado: 13 May 2008
Mensajes: 25
Ubicación: Capital Federal
Carrera: Civil
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igual vos polito tenias otros valores creeo.. ahora a la tarde reveo el mio y me fijo..ahora no..tengo facu pero a la tarde vuelvo y veo que hago..sino pido ayuda de nuevo..
saludos
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emiliano
Nivel 4
Edad: 33
Registrado: 02 Dic 2009
Mensajes: 71
Ubicación: san miguel
Carrera: Civil
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| Cita:
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como sabes que a y b estan en π hice b-a y me quedo la recta que pasa por el origen L: X= λ ( 5,-4,-1) y esta contenida en el plano π.
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el ejercicio te pide que la recta que pasa por esos dos puntos NO CORTE AL PLANO y vos no solo lo cortas ...lo estas re cortando , por que lo corta no en uno sino en todos los puntos de la recta .
me parace que lo que quisiste hacer es encontrar un recta que sea paralela al plano y esta bien pensado por la recta debe ser paralela pero de todas esas infinitas rectas el enunciado solo te dice que una de ellas NO LA PODES TOMAR y esa es la que esta contenida en el plano que corta en todos los puntos.
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emiliano
Nivel 4
Edad: 33
Registrado: 02 Dic 2009
Mensajes: 71
Ubicación: san miguel
Carrera: Civil
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| Cita:
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oma un punto de L1, por ejemplo con alfa =0 tenes A=(0,1,1) y B, con alfa =0 tenes el punto de L2, los restas y te queda un vector director a eso le sumas a o b y te queda la recta, ese ejercicio lo hice y me costo un huevo pero es asi
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que tomes dos puntos distintos de las rectas y despues armes una recta distinta con esos dos puntos no te asegura que la recta que consigas no va a cortar al plano , si te salio asi es de muuuuuuuuucha casualidad.
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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Aca pego la resolucion del link q puso Polito!.
| Polito! escribió:
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| Cita:
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Primero, tendrias que buscar la normal del plano. Sabiendo la normal, podes plantear que cualquier rectar perpendicular a la normal no va a cortar el plano. Esta va a ser la recta que vos queres. Podrias plantear una recta generica con esta condicion, de que su producto escalar con la normal del plano sea cero, y despues igualarla a cada una de las otras 2 rectas y ver en que puntos se tocan.
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Este ejercicio ya me esta quemando el balero =S, lo hice de 4 formas diferentes y me queda o que se cruza con el plano, o que intersecta a una recta pero a la otra no!.
Saque la ecuacion del plano desde un comienzo, y despues intente planteando el producto vectorial entre la normal al plano y el vector director de cualquiera de las dos rectas, de esa forma me aseguro que es paralela al plano o que esta contenida, pero si al resultado del producto vectorial le sumo un punto que exista en L1 como (1,0,1) yo ya sé que es paralela y no esta contenida en el plano, pero cuando busco la interseccion con la recta L2 me da un absurdo, tambien intente como vos me dijiste boogie, haciendo el producto escalar a la normal del plano de ahi saque variaos vectores posibles pero ninguno me da, será por que ltomo como A el punto de la recta L1 o tomo como B el punto que conozco de la recta L2? la verdad que no sé que mas hacer por que lo pense de varias formas ya, no me tiro a vago para que me lo resuelvan por mi! por favor HEeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeelp! gracias por tu tiempo boogie! 
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Aca te lo resolvi.
Primero definis el plano de forma implicita:
nos dan tres puntos conteidos en el plano ![[tex]\alpha[/tex]](images/latex/41745e18c1d8f48f052e396eae97bc8db739704f_0.png "[tex]\alpha[/tex]") que son ![[tex]P1=(-1,2,1)[/tex]](images/latex/f12acdbdd2a1e3099aadeb859e30853accfe4696_0.png "[tex]P1=(-1,2,1)[/tex]") ; ![[tex]P2=(-1,1,0)[/tex]](images/latex/b1eb0c45d61be00d589aab85ceb121534a643391_0.png "[tex]P2=(-1,1,0)[/tex]") y ![[tex]P3=(0,-1,1)[/tex]](images/latex/679b1cd6153bc5c5cc75e0ea833e14d00b5df98d_0.png "[tex]P3=(0,-1,1)[/tex]")
Esto nos queda de la forma ![[tex]3x-y+z=2[/tex]](images/latex/816b991d0d84e47e9487b3a3aee9c1a466b9f79c_0.png "[tex]3x-y+z=2[/tex]")
cuya normal es ![[tex]N_{\alpha}(3,-1,1)[/tex]](images/latex/0e599de22a72b5fdaaf40bfbbceae6056a843390_0.png "[tex]N_{\alpha}(3,-1,1)[/tex]")
Ahora nos dan dos rectas:
![[tex]L1: \vec X = t(0,1,-2)+(1,0,1)[/tex]](images/latex/e8f6039e847c760424384e8ea5c847161ce70579_0.png "[tex]L1: \vec X = t(0,1,-2)+(1,0,1)[/tex]") y ![[tex]L2: \vec X =k(1,0,2)+(0,1,-1)[/tex]](images/latex/83757e3f968188e114fbf4ccbf5718e0b491e7c9_0.png "[tex]L2: \vec X =k(1,0,2)+(0,1,-1)[/tex]")
Armamos dos puntos genericos de ![[tex]L1[/tex]](images/latex/26dc566a5e75b4b4e398b697145203beea34541b_0.png "[tex]L1[/tex]") y ![[tex]L2[/tex]](images/latex/ebf096013c2f06c1e9a7f24e92ed1ae90fc415e9_0.png "[tex]L2[/tex]") que nos quedan: ![[tex]P1=(1,t,-2t+1)[/tex]](images/latex/0c6628a3b5276edaa7533dd20b9c6773673c400c_0.png "[tex]P1=(1,t,-2t+1)[/tex]") que pertenece a y ![[tex]P2=(k,1,2k-1)[/tex]](images/latex/66fa16ab875bec1cc0fa4666962419c91990ec70_0.png "[tex]P2=(k,1,2k-1)[/tex]") que pertenece a .
Ahora generamos un vector con estos dos puntos, que va a ser el vector director de la recta pedida: ![[tex]P1-P2[/tex]](images/latex/f7fed1a42929f927a8534822b1a30c0e647fb6e8_0.png "[tex]P1-P2[/tex]") que nos queda ![[tex]V_{P1-P2}=(1-k,t-1,-2t-2k+2)[/tex]](images/latex/7fac04a05a5caf569f033db7269dc247929552d8_0.png "[tex]V_{P1-P2}=(1-k,t-1,-2t-2k+2)[/tex]") .
Ahora debemos imponer la condicion de que ![[tex]N_{\alpha}[/tex]](images/latex/889709f26c053a781da2938522ec72953aaa0463_0.png "[tex]N_{\alpha}[/tex]") y ![[tex]V_{P1-P2}[/tex]](images/latex/f5c40d5c422997700443bf9f44daddd92fd91dfe_0.png "[tex]V_{P1-P2}[/tex]") sean ortogonales por ende ![[tex]N_{\alpha}*V_{P1-P2}=0[/tex]](images/latex/e70edf3578ade20dd87166a6ef838a78634bf5dd_0.png "[tex]N_{\alpha}*V_{P1-P2}=0[/tex]")
Osea que *(3,-1,1)=0[/tex]](images/latex/71b3c2507505456f89237ccd3323fc680637c2bf_0.png "[tex](1-k,t-1,-2t-2k+2)*(3,-1,1)=0[/tex]") quedando la siguiente relacion ![[tex]k=3t[/tex]](images/latex/fc2ee43274fe3ec427f088e28af05c2b4a2c414d_0.png "[tex]k=3t[/tex]") .
Ahora podemos llevar al ejercicio a un caso aprticular como por ejemplo ![[tex]k=1[/tex]](images/latex/2dd5725c8e39a433fa15cc27ab806e80cd123807_0.png "[tex]k=1[/tex]") y ![[tex]t=1/3[/tex]](images/latex/1feed3311084109a0ef8451594c82b77372866f7_0.png "[tex]t=1/3[/tex]") donde ![[tex]P1=(1,1/3,1/3)[/tex]](images/latex/f98e7c9932abe2175bb91893eba627038c6f908d_0.png "[tex]P1=(1,1/3,1/3)[/tex]") , ![[tex]P2=(1,1,1)[/tex]](images/latex/27b157daaa880996997758b4812c8abbd0b331f8_0.png "[tex]P2=(1,1,1)[/tex]") y ![[tex]V_{P1-P2}=(0,-2/3,-2/3)[/tex]](images/latex/6bc46c64347cde9af88daf2fe2be6f36a937bb33_0.png "[tex]V_{P1-P2}=(0,-2/3,-2/3)[/tex]") . Entonces la nueva recta tiene la pinta ![[tex]L3(q)=(1,-q*(2/3)+1,-q*(2/3)+1)[/tex]](images/latex/b0034b03095ae4ac4b0b4f80facd8c5ce7d52a4e_0.png "[tex]L3(q)=(1,-q*(2/3)+1,-q*(2/3)+1)[/tex]") siendo el vector director de la recta![[tex]L3[/tex]](images/latex/99f8a4d1d6548d854fd896a2e15801f7f861b01c_0.png "[tex]L3[/tex]") y el punto de paso .
Ahora solo queda verificar que esta recta que es ortogonal al vector normal del plano tampoco este incluido en él(y asi terminamos de definir la recta pedida )
Datos de las componentes de la recta:
![[tex]x=1[/tex]](images/latex/dd717a99fe6bd10f7dec1801231b513666458c5e_0.png "[tex]x=1[/tex]")
![[tex]y=-q*(2/3)+1[/tex]](images/latex/4fe17b84e38e905db0d4113991ebbaa8121d66ce_0.png "[tex]y=-q*(2/3)+1[/tex]")
![[tex]z=-q*(2/3)+1[/tex]](images/latex/cbd4b33a5ed669a2d5706a20f645752d9733005e_0.png "[tex]z=-q*(2/3)+1[/tex]")
Entonces estos datos lo metemos en el plano para verificar que no este incluidada dicha recta en él.
Si el plano tenia la pinta de al incorporar los datos de la recta en él tenemos ![[tex]3+q*(2/3)-1-q*(2/3)+1=2[/tex]](images/latex/28293d3b8f22f13081e95c31de8fb717b8638729_0.png "[tex]3+q*(2/3)-1-q*(2/3)+1=2[/tex]") dandonos un absurdo ![[tex]3=2[/tex]](images/latex/a4d2bb6b2d36a139247389724302c39c9e70f038_0.png "[tex]3=2[/tex]") .
Esto nos dice que la recta no esta incluida en el plano, y a su vez anteriormente le aplciamos la condiciond e ortogonalidad, por ende la recta pedida tiene la pinta de: con ![[tex]q[/tex]](images/latex/d94d0790998e660992bd55b299483794decfea0c_0.png "[tex]q[/tex]") que pertenece a los reales o otra forma de escribirla es![[tex]L3: \vec X = q(0,-2/3,-2/3)+(1,1,1)[/tex]](images/latex/9fd579a034628dd0c2d60d166278e970f2f62b45_0.png "[tex]L3: \vec X = q(0,-2/3,-2/3)+(1,1,1)[/tex]") con que pertenece a los reales.
Saludos.
Saludos.
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