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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Dada ![[tex]A=(\begin{array}{cc}1 & 1 \\-1 & 0 \\2 & -1\end{array})[/tex]](images/latex/e4fd0eee3cacca0f809116b3c1f94d4a4b271287_0.png "[tex]A=(\begin{array}{cc}1 & 1 \\-1 & 0 \\2 & -1\end{array})[/tex]") , sean ![[tex]b\in \Re^3[/tex]](images/latex/7b27aaa6e750aed9a9e1ba828c2461e566e2ba4b_0.png "[tex]b\in \Re^3[/tex]") y ![[tex]v\in \Re^3[/tex]](images/latex/49a7809a27c96a0023522e0b82f9c2d704efb329_0.png "[tex]v\in \Re^3[/tex]") dos vectores no nulos tales que ![[tex] v\in Nul(A^{T})[/tex]](images/latex/f8f4c0a196671b9f3b2bf0a7049417bda68df397_0.png "[tex] v\in Nul(A^{T})[/tex]") y ![[tex][col_{1}(A)-col_{2}(A)-b] \times v=0[/tex]](images/latex/373e26e5a3aad56adf341a6ad8f9f3d6e28187f3_0.png "[tex][col_{1}(A)-col_{2}(A)-b] \times v=0[/tex]") . Resolver ![[tex]Ax = b [/tex]](images/latex/1011103b5fcf7f734426f472c1b19588ee1492db_0.png "[tex]Ax = b [/tex]") por cuadrados mínimos.
Sé que ![[tex]v=k(1,3,1)[/tex]](images/latex/07f58082b2627af807127aa7e9c965cc8ba49e53_0.png "[tex]v=k(1,3,1)[/tex]") con ![[tex]k\neq 0[/tex]](images/latex/fa0866579a3e9ff087ade1fbed167523e7072a20_0.png "[tex]k\neq 0[/tex]") ...
Mi problema está en que nosé como hallar ![[tex]b[/tex]](images/latex/d9743ceabd07de72ebffcaa9730cfbe1226c541e_0.png "[tex]b[/tex]") ...lo único que sé es que, como por propiedad del producto vectorial ![[tex]A \times A=0[/tex]](images/latex/f5f808cb64851ad9d24df952aad696a3c2fc0bb7_0.png "[tex]A \times A=0[/tex]") , -b=v[/tex]](images/latex/238431d86e6a1e98781b0c352f6f8f1fc2f2772c_0.png "[tex](0,-1,3)-b=v[/tex]") , luego ![[tex]b=(-k,-1-3k,-k)[/tex]](images/latex/03c98eaa1aba0269fd6ad70afa6f00df44056e7b_0.png "[tex]b=(-k,-1-3k,-k)[/tex]") .
Alguna ayuda? Gracias!
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Tomoyo1990
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 20 Nov 2009
Mensajes: 61
Ubicación: Far far west
Carrera: Informática y Sistemas
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El problema está en que (0,-1,3)-b NO es igual a v
http://www.foros-fiuba.com.ar/images/latex/373e26e5a3aad56adf341a6ad8f9f3d6e28187f3_0.png significa que (0,-1,3)-b es paralelo o está en el mismo subespacio que v. entonces pertenece al Col (A) ortogonal.
Eso te dice que la proyeccion de (0,-1,3)-b en el Col(A) es 0. Entonces: PcolA(0,-1,3) - PcolA(b) = 0. Como PcolA(0,-1,3)=(0,-1,3), PcolA(b) = (0,-1,3). Entonces haces Ax= (0,-1,3) y te da el valor de x.
Igual buscalo en la pagina de álgebra que seguro está resuelto por Prelat
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Sid Bernard
Nivel 9
Edad: 35
Registrado: 20 Jul 2008
Mensajes: 1287
Ubicación: Al lado del Sub Esp. $ = <(TT,0,2+3i)(3,18,4)(0,0,e)>
Carrera: Electrónica y Informática
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Hola que tal, bueno para resolver este problema tenes que mirar bien la siguiente condicion:
como el enunciado nos informa
y por propiedad de las matrices (esto es muy importante) se sabe:
![[tex]Nul(A^{T}) = Col(A)^{\perp}[/tex]](images/latex/7a00cc333c56918b8a36c103c6490cec2251c706_0.png "[tex]Nul(A^{T}) = Col(A)^{\perp}[/tex]")
como bien te dije, el enunciado nos dice que , por lo tanto la expresion:
![[tex][col_{1}(A)-col_{2}(A)-b][/tex]](images/latex/81abf4a34c1b1bb1798426e4e6b9300efa9fa91e_0.png "[tex][col_{1}(A)-col_{2}(A)-b][/tex]") y ![[tex]v[/tex]](images/latex/b81f3f1c5372939b80b003266b8b6059980ece93_0.png "[tex]v[/tex]") son ![[tex] \parallel [/tex]](images/latex/955abe324deb1c7c04501486d2a87e21deb4e96b_0.png "[tex] \parallel [/tex]") porque su producto vectorial nos da 0.
Es decir que la expresion ![[tex][col_{1}(A)-col_{2}(A)-b] \in Col(A)^{\perp} [/tex]](images/latex/9892aa404e83d41c2c27c3347a4383ed8d0cb9fe_0.png "[tex][col_{1}(A)-col_{2}(A)-b] \in Col(A)^{\perp} [/tex]")
ahora para resolver sistemas incompatibles por cuadrados minimos, existen (por ahora) 2 maneras de resolver, estas mismas son:
claramente, es mas tentados usar la 2da expresion ![[tex]Ax = P_{col(A)}(b) [/tex]](images/latex/97454ed552c2735c54f70ce26324d78e4b6eb10c_0.png "[tex]Ax = P_{col(A)}(b) [/tex]")
por lo tanto podemos utilizamos la expresion y la proyectamos sobre ![[tex]Col(A)[/tex]](images/latex/9e3128b585d8a5f1063ba3d18faa2b281642e592_0.png "[tex]Col(A)[/tex]") , entonces:
![[tex]P_{col(A)}([col_{1}(A)-col_{2}(A)-b]) = 0[/tex]](images/latex/cb3e3db6dcb8dae311a8c480c093a0c222fde1c0_0.png "[tex]P_{col(A)}([col_{1}(A)-col_{2}(A)-b]) = 0[/tex]") , ya que pertenece a ![[tex]Col(A)^{\perp}[/tex]](images/latex/f397a0b4c5a2a150382befb1535bcf3541b69bb7_0.png "[tex]Col(A)^{\perp}[/tex]")
por propiedad de proyeccion sabemos que:
![[tex]P_{col(A)}([col_{1}(A)-col_{2}(A)-b]) = \underbrace{P_{col(A)}(col_{1}(A))}_{ = col_{1}(A)} - \underbrace{P_{col(A)}(col_{2}(A))}_{ = col_{2}(A)} - P_{col(A)}(b) = 0[/tex]](images/latex/cff20f78eab6c730584ba3f3e75999e00563d5d8_0.png "[tex]P_{col(A)}([col_{1}(A)-col_{2}(A)-b]) = \underbrace{P_{col(A)}(col_{1}(A))}_{ = col_{1}(A)} - \underbrace{P_{col(A)}(col_{2}(A))}_{ = col_{2}(A)} - P_{col(A)}(b) = 0[/tex]")
por lo tanto, tenemos que:
![[tex]P_{col(A)}(b) = col_{1}(A) - col_{2}(A)[/tex]](images/latex/ceebe1d0a4cfe877ab48b2446e464d1b87e5200c_0.png "[tex]P_{col(A)}(b) = col_{1}(A) - col_{2}(A)[/tex]")
ya obtuvimos la ![[tex] P_{col(A)}(b) [/tex]](images/latex/a174aef4b50c5aa32f3d378f1a5aa38c2f540c41_0.png "[tex] P_{col(A)}(b) [/tex]") , solo resta resolver el sistema:
![[tex]Ax = P_{col(A)}(b)[/tex]](images/latex/c65483eec5af1cfb34d18169196227285bea411f_0.png "[tex]Ax = P_{col(A)}(b)[/tex]") que reemplazando nos queda:
![[tex]Ax = col_{1}(A) - col_{2}(A) [/tex]](images/latex/06e079fea1f9cabed4486cdb2a327e6f37617a3f_0.png "[tex]Ax = col_{1}(A) - col_{2}(A) [/tex]")
y bueno, las cuentas te lo dejo a vos jejeje
espero que hayas entendido, cualquier cosa, pregunta 
Saludos!
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![[tex]\ll[/tex]](images/latex/18b0ee03b28e763622221fda561df49104e1b3e8_0.png "[tex]\ll[/tex]") ![[tex]${\Large \definecolor{forestgreen}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{forestgreen} [S]iD [B]eRnArD!}$ [/tex]](images/latex/6c26715c673b69707083d47474a370e7efaea3c0_0.png "[tex]${\Large \definecolor{forestgreen}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{forestgreen} [S]iD [B]eRnArD!}$ [/tex]") ![[tex]\gg[/tex]](images/latex/0e111618adc71d5c5a3da3b35e41887d8078d70d_0.png "[tex]\gg[/tex]") ![[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]](images/latex/3ab0ca99025a1273576a70bba37de38367369007_0.png "[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]") ![[tex]\color{blue} "\mathbf{\mathit{The\, Music\, Rules\, The\, World}}" [/tex]](images/latex/977817249ec7b4599126eef9d7046fe801e615ed_0.png "[tex]\color{blue} \"\mathbf{\mathit{The\, Music\, Rules\, The\, World}}\" [/tex]")
SOY ACERISTA Y QUE!!!!!
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Tomoyo1990
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 20 Nov 2009
Mensajes: 61
Ubicación: Far far west
Carrera: Informática y Sistemas
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| Sid Bernard escribió:
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Hola que tal, bueno para resolver este problema tenes que mirar bien la siguiente condicion:
como el enunciado nos informa
y por propiedad de las matrices (esto es muy importante) se sabe:
como bien te dije, el enunciado nos dice que , por lo tanto la expresion:
y son porque su producto vectorial nos da 0.
Es decir que la expresion
ahora para resolver sistemas incompatibles por cuadrados minimos, existen (por ahora) 2 maneras de resolver, estas mismas son:
[list]
[*] ![[tex]A^{T} Ax = A^{T} b [/tex]](images/latex/795783cb2fbbb660469c80dfc05dbb2c255e412d_0.png "[tex]A^{T} Ax = A^{T} b [/tex]")
[*]
[/list:u]
claramente, es mas tentados usar la 2da expresion
por lo tanto podemos utilizamos la expresion y la proyectamos sobre , entonces:
, ya que pertenece a
por propiedad de proyeccion sabemos que:
por lo tanto, tenemos que:
ya obtuvimos la , solo resta resolver el sistema:
que reemplazando nos queda:
y bueno, las cuentas te lo dejo a vos jejeje
espero que hayas entendido, cualquier cosa, pregunta
Saludos!
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como te gusta el papel de profesor!! realmente increible...
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flor_ruiz
Nivel 2
Registrado: 20 Abr 2010
Mensajes: 12
Carrera: Química
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| la solucion por cuadrados minimos les quedo (1,-1) ???
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| Sid Bernard escribió:
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por propiedad de proyeccion sabemos que:
por lo tanto, tenemos que:
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No sabía que la proyección era..."distributiva".
Me acabo de dar cuenta de que este parcial es de la 3ra oportunidad... se nota jaja. Solo pude hacer 2 ejercicios! 
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Sid Bernard
Nivel 9
Edad: 35
Registrado: 20 Jul 2008
Mensajes: 1287
Ubicación: Al lado del Sub Esp. $ = <(TT,0,2+3i)(3,18,4)(0,0,e)>
Carrera: Electrónica y Informática
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| loonatic escribió:
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| Sid Bernard escribió:
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por propiedad de proyeccion sabemos que:
por lo tanto, tenemos que:
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No sabía que la proyección era..."distributiva".
Me acabo de dar cuenta de que este parcial es de la 3ra oportunidad... se nota jaja. Solo pude hacer 2 ejercicios!
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ese parcial me acuerdo que era salado, si mal no recuerdo el de PI era con Numeros Complejos!!!!  jajajaja, y bue uno de los cuantos delirios de Mr. Prelat.
Con respecto a la proyeccion, tene en cuenta que la Proyeccion Ortogonal es una Transformacion Lineal!!!!!
y satisface las propiedades de una TL
Saludos!!!
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SOY ACERISTA Y QUE!!!!!
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Spoonman
Nivel 2
Edad: 33
Registrado: 03 Jul 2009
Mensajes: 12
Carrera: Mecánica
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Sea ![[tex]A \in R^{3x2}[/tex]](images/latex/884a2bfe6c6ec0934eb2f7a2f02f192d412ab5fa_0.png "[tex]A \in R^{3x2}[/tex]") una matriz tal que ![[tex]a) \exists b \in R^3[/tex]](images/latex/18977beab158f1704a5db512c7b2743dfc013750_0.png "[tex]a) \exists b \in R^3[/tex]") tal que ![[tex]\forall \lambda \in R, \left[ \begin{array}{c} \ 1 \\ 2 \end{array} \right] + \lambda \left[ \begin{array}{c} \ 1 \\ -1 \end{array} \right] [/tex]](images/latex/5b13d259bf4c665674877b0e916fd9ea9d200a96_0.png "[tex]\forall \lambda \in R, \left[ \begin{array}{c} \ 1 \\ 2 \end{array} \right] + \lambda \left[ \begin{array}{c} \ 1 \\ -1 \end{array} \right] [/tex]") es solucion de ![[tex]Ax=b[/tex]](images/latex/8c716c40121bfa8325370e6d03d4d894adc77a2b_0.png "[tex]Ax=b[/tex]") por cuadrados minimos ![[tex]b) Ax=\left[ \begin{array}{c} \ 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] [/tex]](images/latex/d7aee3a2d63dfbd7d67bad3a48051608c3509f9a_0.png "[tex]b) Ax=\left[ \begin{array}{c} \ 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] [/tex]") es compatible. Dar matrices de proyeccion a y ![[tex]Nul(A)[/tex]](images/latex/c2a99ab52d8317fe0c53f4a800d6569640e0d22b_0.png "[tex]Nul(A)[/tex]")
Alguien me puede ayudar con este ejercicio, . Lo unico que se me ocurrio es que como el sistema es compatible, entonces la solucion por cuadrados minimos es la misma que para el sistema original, y entonces [/tex]](images/latex/b5063d99ed8c886f8ab2cec697573d45cdc26e2d_0.png "[tex](1 1 2)[/tex]") pertenece a Col(A), pero no se me ocurre sacar el otro vector de Col(A) o los del Nul(A)
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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| Spoonman escribió:
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Sea una matriz tal que tal que es solucion de por cuadrados minimos es compatible. Dar matrices de proyeccion a y
Alguien me puede ayudar con este ejercicio, . Lo unico que se me ocurrio es que como el sistema es compatible, entonces la solucion por cuadrados minimos es la misma que para el sistema original, y entonces pertenece a Col(A), pero no se me ocurre sacar el otro vector de Col(A) o los del Nul(A)
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De la condicon a) te dice que la solucion general esta compuesta por una solucion particular y una solucion del homogeneo, esto quiere decir que almenos existe un vector clumna de la amtriz A que es combinacion lineald el resto de los vectores columna, por otro lado como A es una matriz conformada por dos vectores columna, dichos vctores van a ser LD. Por ende de la segunda condicion podemos podemos decir que la proyeccion de un cierto vector b sobre col(A) es igual al vector (1,1,2) que vive en el espacio clumna de A.
Por ende ya tenes un base que genera al espacio columna de A. Como es un vector unico no ahce falta ortogonalizar, solo debes normalizar y hallar la matriz de proyeccion en col de A. Por otro lado para hallar nul(A) debes buscar la matriz de proyeccion sobre col(A) ortogonal y los vectores fila que genera dicha matriz son los que generan la matriz de nul(A)=fil(A) ortogonal.
Saludos.
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