Registrado: 04 Sep 2009
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Ubicación: Corrientes y Esmeralda. En el sur del planeta Tierra.
Carrera: No especificada
Advertencia: Qui si convien lasciare ogne sospetto;
ogne viltà convien che qui sia morta. Dante Alighieri
Leo en voz alta:
``Método para obtener la función de (...) densidad a partir de la función de distribución''
(...)
``Para variables aleatorias continuas:
Como , también se cumple que es la derivada de respecto de , porque es el área bajo la curva de , y al mismo tiempo son los diferenciales de probabilidad que se van acumulando al integrar para encontrar la . [sic]''
Considerar una sucesión independiente de variables aleatorias tales que para todo y construir la variable aleatoria siguiente .
Para interpretar esta construcción se puede pensar que la variable aleatoria representa el resultado del -ésimo lanzamiento de una moneda honesta: significa que el resultado observado es ceca y significa que el resultado observado es cara. Con esa interpretación la variable aleatoria representa la ganancia de un jugador que recibe la cantidad si en el -ésimo tiro de la moneda equilibrada se observa cara.
La pregunta del millón es: ¿cómo es la función de distribución de ?
Lo primero que se puede observar es que esa ganancia se encuentra entre y . En consecuencia, lo que permite reducir el análisis de la función de distribución a los valores .
Iremos paso a paso...
Paso 1:
Si el resultado del primer lanzamiento es , y en el caso contrario
Observaciones:
i) la desigualdad no puede ocurrir, en consecuencia .
ii) . ¿Por qué? Porque
iii) de i) y ii) se deduce que sobre el intervalo Conviene notar que la longitud del intervalo es un medio.
iv) no puede tener saltos de longitud mayor que . ¿Por qué? La respuesta queda como ejercicio para el lector.
En este punto se recomienda buscar papel y lapiz y comenzar a graficar los resultados.
Paso 2:
Notar que salvo por un factor , la contribución de los lanzamientos constituye una réplica de toda la sucesión. Esto implica que el gráfico de en el intervalo es idéntico al gráfico de en el intervalo salvo por cambios de escalas:
Consecuencias:
i) sobre el intervalo de longitud centrado en .
ii) Por razones de simetría, sobre el intervalo de longitud centrado en .
Hasta aquí, ¿qué tenemos?
Encontramos intervalos cuyas longitudes suman , a saber: y en cada uno de ellos se mantiene constante con valores , respectivamente.
Notar que por ese motivo no puede tener saltos de longitud mayor que .
Paso 3:
Quedan cuatro intervalos de longitud , y en cada uno de ellos el gráfico de es idéntico al gráfico de en salvo por cambios de escala. Cada uno de esos intervalos contiene un sub-intervalo de la mitad de longitud en el cual se mantiene constante (a saber: , respectivamente).
Hasta aquí ¿qué tenemos?
Encontramos intervalos cuyas longitudes suman , a saber: y en cada uno de ellos se mantiene constante con valores , respectivamente.
Notar ahora que no puede tener saltos de longitud mayor que
Al margen: en este punto se comienzan a percibir los peldaños de la diábolica escalera...
Paso :
Continuando de esa forma encontramos intervalos cuyas longitudes suman y en cada uno de ellos se mantiene constante (siendo esas constantes los números de la forma , donde ).
Notar ahora que no puede tener saltos de longitud mayor que .
Llegado a este punto se percibe que la función de distribución es continua. Como no puede tener saltos de longitud mayor que , [tex]n\in\mathbb{N}[/tex], no puede saltar.
Resumiendo, es una función continua, que va desde hasta de un modo tal que las longitudes de los intervalos donde se mantiene constante suman . Grosso modo, el crecimiento de ocurre sobre un conjunto de probabilidad . Tenemos así una variable aleatoria continua cuya función de distribución no admite densidad .
Se recomienda volver a leer "el Método"...
¿La construcción de la variable aleatoria es un mero ejercicio teórico descarriado hacia el misticismo? ¿Se trata de un producto del intelecto desconectado de la llamada ``realidad''? Es sabido que la solución racional para este tipo de dilemas es la práctica. Y en la práctica la palabra clave es Devil's Staircases. (Buscar en internet no cuesta nada... agregar las palabras IEEE o physics o ... Si alguno se anima y encuentra algún artículo donde aparezcan estas diabólicas escaleras ¿podría indicar en este tópico el título y la fecha de su publicación?)
Saludos.
S.
p.d. a cargo del Cuarteto Cedrón
en el intervalo (2:15, 2:53]
_________________ Cuando se golpean ambas manos se produce un sonido: escucha el sonido de una mano.
Si oyes el sonido de una mano, me lo puedes hacer oír también?
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![[tex]F_X(x)=\int_{-\infty}^xf_X(x)dx[/tex]](images/latex/f799809afabd629067060839c1733ac24fbad664_0.png "[tex]F_X(x)=\int_{-\infty}^xf_X(x)dx[/tex]")
, también se cumple que ![[tex]f_X(x)[/tex]](images/latex/fe979f42031cb7569ea281fed70506f9dbcc0418_0.png "[tex]f_X(x)[/tex]")
es la derivada de ![[tex]F_X(x)[/tex]](images/latex/443329ec63b74fc12c12c5711c9af4dc5f7d45bb_0.png "[tex]F_X(x)[/tex]")
respecto de ![[tex]x[/tex]](images/latex/30b5a07f2a22fcb2626031da734012c71b549782_0.png "[tex]x[/tex]")
, porque ![[tex]f_X(x)dx[/tex]](images/latex/f7eca8d62cdb4e33453fd21c4e0d061f1ab8832d_0.png "[tex]f_X(x)dx[/tex]")
son los diferenciales de probabilidad que se van acumulando al integrar para encontrar la ![[tex]X_1,X_2,\dots[/tex]](images/latex/bcfc32a12ec2090abfbb1b42b86fbd4da5bbf0de_0.png "[tex]X_1,X_2,\dots[/tex]")
tales que ![[tex]P(X_i=0)=P(X_i=1)=1/2[/tex]](images/latex/d41dc9b46fe62e28300562617efc62412e1f9f3e_0.png "[tex]P(X_i=0)=P(X_i=1)=1/2[/tex]")
para todo ![[tex]i=1,2,\dots[/tex]](images/latex/659ab504f89e8a2c6d94407942e436d60a61c017_0.png "[tex]i=1,2,\dots[/tex]")
y construir la variable aleatoria siguiente ![[tex]X=3\sum_{i=1}^{\infty}\frac{X_i}{4^i}[/tex]](images/latex/3e59658484823a77ea329cbc4ec13a27653b506e_0.png "[tex]X=3\sum_{i=1}^{\infty}\frac{X_i}{4^i}[/tex]")
.
![[tex]X_i[/tex]](images/latex/5a208ae8da28e5ae83923e86d45e1fdef05cf03b_0.png "[tex]X_i[/tex]")
representa el resultado del ![[tex]i[/tex]](images/latex/a4c1c5aa2403f597f891e4ee97abe072c60a5117_0.png "[tex]i[/tex]")
-ésimo lanzamiento de una moneda honesta: ![[tex]X_i=0[/tex]](images/latex/c0947d1d44cfc06f1b1f2c7ac6eacb9717a4b907_0.png "[tex]X_i=0[/tex]")
significa que el resultado observado es ceca y ![[tex]X_i=1[/tex]](images/latex/ed67c902c80f30138a7f94a69b2efacf76234bee_0.png "[tex]X_i=1[/tex]")
significa que el resultado observado es cara. Con esa interpretación la variable aleatoria ![[tex]X[/tex]](images/latex/b47736949a2a26fa60c778fc69b1a281d43b3a75_0.png "[tex]X[/tex]")
representa la ganancia de un jugador que recibe la cantidad ![[tex]\frac{3}{4^{i}}[/tex]](images/latex/58ec0ddb98037d7dc0dcc24b124a5c41679f8f94_0.png "[tex]\frac{3}{4^{i}}[/tex]")
si en el ![[tex]0[/tex]](images/latex/cd18b8378b63fe64b1accfa94a1abaf6069863ff_0.png "[tex]0[/tex]")
y ![[tex]3\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{4^i}=1[/tex]](images/latex/fc5e38ef6061df8f3e0828299df1efff49b8b08a_0.png "[tex]3\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{4^i}=1[/tex]")
. En consecuencia, ![[tex]P(0\leq X\leq 1)=1,[/tex]](images/latex/0f30b7df45e360bdf63f781f244d0fd689dc3349_0.png "[tex]P(0\leq X\leq 1)=1,[/tex]")
lo que permite reducir el análisis de la función de distribución ![[tex]F_X(x)=P(X\leq x)[/tex]](images/latex/56e4ac6e7196862b9ed3816d113890cb96b889aa_0.png "[tex]F_X(x)=P(X\leq x)[/tex]")
a los valores ![[tex]0<x<1[/tex]](images/latex/26a2485e976757216ac87d4c2cef33f3df4a8804_0.png "[tex]0<x<1[/tex]")
.
![[tex]1[/tex]](images/latex/0d42976238de0a06e86d9145d61c6e5316420b70_0.png "[tex]1[/tex]")
, ![[tex]X\geq \frac{3}{4}[/tex]](images/latex/669eb466ee37c5c15ebec6adf270c36af9cfe0d7_0.png "[tex]X\geq \frac{3}{4}[/tex]")
y en el caso contrario ![[tex]X\leq 3\sum_{i=2}^{\infty}\frac{1}{4^i}=\frac{1}{4}.[/tex]](images/latex/b09e13cfdf85f22c14cb383664b06e408d4b2232_0.png "[tex]X\leq 3\sum_{i=2}^{\infty}\frac{1}{4^i}=\frac{1}{4}.[/tex]")
![[tex]1/4<X<3/4[/tex]](images/latex/4cefab8c48574f57c98100d039507365b9a8fd6c_0.png "[tex]1/4<X<3/4[/tex]")
no puede ocurrir, en consecuencia ![[tex]P(1/4<X<3/4)=0[/tex]](images/latex/fc3f92d7e04f10100083335ea6607242ff611d1c_0.png "[tex]P(1/4<X<3/4)=0[/tex]")
.
![[tex]P(X\leq 1/4)=1/2[/tex]](images/latex/323c191ec811fe90a66314168856e8e1633bb298_0.png "[tex]P(X\leq 1/4)=1/2[/tex]")
. ¿Por qué? Porque ![[tex]X\leq1/4\iff X_1=0.[/tex]](images/latex/591765e771fdbc3cf1d0647ffcfd822923bad7d6_0.png "[tex]X\leq1/4\iff X_1=0.[/tex]")
![[tex]F_X(x)=\frac{1}{2}[/tex]](images/latex/28fa77bce318f767a1f6489241bf3ab8d30d6582_0.png "[tex]F_X(x)=\frac{1}{2}[/tex]")
sobre el intervalo ![[tex][1/4, 3/4).[/tex]](images/latex/0dface4a22fd1e90092d3e8177e4a9ecc91b860e_0.png "[tex][1/4, 3/4).[/tex]")
Conviene notar que la longitud del intervalo ![[tex][1/4, 3/4)[/tex]](images/latex/b43b424e11337fb6602aaad53e4133034c15d397_0.png "[tex][1/4, 3/4)[/tex]")
es un medio.
![[tex]1/2[/tex]](images/latex/97020bfdbc7600a5eefc00bf96def522b63097fd_0.png "[tex]1/2[/tex]")
. ¿Por qué? La respuesta queda como ejercicio para el lector.
![[tex]1/4[/tex]](images/latex/e07f12261cc2257193afd4c3670bffb7a2a37313_0.png "[tex]1/4[/tex]")
, la contribución de los lanzamientos ![[tex]2,3,\dots[/tex]](images/latex/1641b54894fa2534bcc4d5b92f7981f43b7cee02_0.png "[tex]2,3,\dots[/tex]")
constituye una réplica de toda la sucesión. Esto implica que el gráfico de [/tex]](images/latex/9ce8db9b38ecff0169343b414216f0d8a8070413_0.png "[tex](0,1/4)[/tex]")
es idéntico al gráfico de [/tex]](images/latex/a8301e002b7d57542731e64dab36ceae0f88b224_0.png "[tex](0,1)[/tex]")
salvo por cambios de escalas:
![[tex]F_X(x)=\frac{1}{2}F_X(4x),\qquad 0<x<1/4.[/tex]](images/latex/4bd540e5ce41a0d2aef8728e3c5ecc9dad8a4589_0.png "[tex]F_X(x)=\frac{1}{2}F_X(4x),\qquad 0<x<1/4.[/tex]")
![[tex]F_X(x)=1/4[/tex]](images/latex/7bbcd5329bb1dea16c1768bf583cb0a04b7db53b_0.png "[tex]F_X(x)=1/4[/tex]")
sobre el intervalo de longitud ![[tex]1/8[/tex]](images/latex/71944338fe8d06bb9a44e4d101d5db713fafc570_0.png "[tex]1/8[/tex]")
centrado en ![[tex]F_X(x)=3/4[/tex]](images/latex/f13695fcfaa6b95616e93aea17f6098e6f768907_0.png "[tex]F_X(x)=3/4[/tex]")
sobre el intervalo de longitud ![[tex]7/8[/tex]](images/latex/bffc0418cb618db97473175b98cffd01eabdd1c7_0.png "[tex]7/8[/tex]")
.
![[tex]3[/tex]](images/latex/a375cbbdd881ce2adf7de545d8cd0838044b4125_0.png "[tex]3[/tex]")
intervalos cuyas longitudes suman ![[tex]1/2+2/8=3/4[/tex]](images/latex/b6aec7efd6b3011a9ddde3dbee4eba11723d2204_0.png "[tex]1/2+2/8=3/4[/tex]")
, a saber: ![[tex][1/16, 3/16), [1/4, 3/4), [13/16, 15/16)[/tex]](images/latex/88e20654f6bb99af3d9c371a2d97b4e49a13c4c5_0.png "[tex][1/16, 3/16), [1/4, 3/4), [13/16, 15/16)[/tex]")
y en cada uno de ellos ![[tex]1/4, 1/2, 3/4[/tex]](images/latex/259d1c0454f90259f8bdb2054067572767b2d565_0.png "[tex]1/4, 1/2, 3/4[/tex]")
, respectivamente.
![[tex]1/4.[/tex]](images/latex/7e6195c895a86f17774e94c5c1e4ce69318e58d0_0.png "[tex]1/4.[/tex]")
.
![[tex]1/16[/tex]](images/latex/e65dd87e30a06ecd78750941e85377cedddbe750_0.png "[tex]1/16[/tex]")
, y en cada uno de ellos el gráfico de ![[tex]4[/tex]](images/latex/a9be7231cce8683c3d1338953f8625ce23dbaa4f_0.png "[tex]4[/tex]")
intervalos contiene un sub-intervalo de la mitad de longitud en el cual ![[tex]1/8, 3/8, 5/8, 7/8[/tex]](images/latex/e8a7d3faca41be42f82029470561cef64e436aab_0.png "[tex]1/8, 3/8, 5/8, 7/8[/tex]")
, respectivamente).
![[tex]7[/tex]](images/latex/62be254648aaa74a035e831cf4e42b2f861da462_0.png "[tex]7[/tex]")
intervalos cuyas longitudes suman ![[tex]1/2+2/8+4/16=7/8[/tex]](images/latex/cd26b2cff3e6d26be4c0c6e9a4d59b3aa1305904_0.png "[tex]1/2+2/8+4/16=7/8[/tex]")
, a saber: ![[tex][1/64, 3/64), [1/16, 3/16), [13/64,15/64), [1/4, 3/4) , [49/64,51/64), [13/16, 15/16), [61/64,63/64)[/tex]](images/latex/35866e26da3958bb805663868e971eb782e8cfcb_0.png "[tex][1/64, 3/64), [1/16, 3/16), [13/64,15/64), [1/4, 3/4) , [49/64,51/64), [13/16, 15/16), [61/64,63/64)[/tex]")
y en cada uno de ellos ![[tex]1/8, 1/4, 3/8, 1/2, 5/8, 3/4, 7/8[/tex]](images/latex/d19e3283751c04fb2f99d356c0ee46b302b9af21_0.png "[tex]1/8, 1/4, 3/8, 1/2, 5/8, 3/4, 7/8[/tex]")
, respectivamente.
![[tex]1/8.[/tex]](images/latex/e0ef8f5c91adb27e1b5c2d24cd30d2528b3c5ea0_0.png "[tex]1/8.[/tex]")
![[tex]n[/tex]](images/latex/8c7447db63092942e0a39cfe01d3d94174a89707_0.png "[tex]n[/tex]")
:
![[tex]1+2+\cdots+2^{n-1}[/tex]](images/latex/72bae8353d3c504b8807156bf07d5a66d11dab5b_0.png "[tex]1+2+\cdots+2^{n-1}[/tex]")
intervalos cuyas longitudes suman ![[tex]1/2+1/2^2+\cdots+1/2^n=1-1/2^{n}[/tex]](images/latex/b6b303b538c02a8d1a4dcca3b846ee535cca2133_0.png "[tex]1/2+1/2^2+\cdots+1/2^n=1-1/2^{n}[/tex]")
y en cada uno de ellos ![[tex]k/2^n[/tex]](images/latex/2d665ac5a0f76e0f495234cdeab54d5ea9218cd4_0.png "[tex]k/2^n[/tex]")
, donde ![[tex]k=1,\dots, 2^{n-1}[/tex]](images/latex/fda788db4776325828b02bae7bdcb89a0cbb773d_0.png "[tex]k=1,\dots, 2^{n-1}[/tex]")
).
![[tex]1/2^n[/tex]](images/latex/08511bcc17eae5521614054a70f4446ec2793aab_0.png "[tex]1/2^n[/tex]")
.
![[tex]F_X(0)=0[/tex]](images/latex/5263cac56d8c1f168d6867f4e26156a4b87d8ea7_0.png "[tex]F_X(0)=0[/tex]")
hasta ![[tex]F_X(1)=1[/tex]](images/latex/7fa18c58ed4fece67ef784d4a55e96ddb1fd5d69_0.png "[tex]F_X(1)=1[/tex]")
de un modo tal que 
