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Mensaje |
gonzaloi
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 398
Carrera: No especificada
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Probar que la funcion f(x,y)= Raiz (x^2 + y^2) tiene derivada direccional en todas las direcciones en el origen de coordenadas .
Primera Forma: planteo la derivada de f en (0,0) en una direccion generica y veo si existe el limite para cada una de ellas:
Entonces, no existe la dereivada en (0,0)en ninguna direccion.
Luego no conforme con el resultado, ya que me dice que demuestre que tiene derivada direccional en toda direccion planteo lo siguiente...
Segunda Forma: Si las derivadas parciales son continuas => f es diferenciable (luego puedo plantear direccion por gradiente para la derivada)
 ]
Entonces, la derivada en (0,0) en toda direccion es la misma y es (0,0)
Por lo tanto mi duda es porque llego a esta contradiccion ?? Graficamente veo que se comparta de manera analoga a la funcion modulo , la cual no tiene derivada en el punto 0 , por lo que me convence mas la primera idea que planteo, pero no me cierra el porque de la contradiccion.
Desde ya muchas gracias !!
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Si vas a derivar derivá, no integres  (veo que no soy el único que tiene este problema  )
![[tex]\frac {\partial f}{\partial x} = \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}} [/tex]](images/latex/a1e1a83baf0d6f0ca7153fd2fc27716bb42f733c_0.png "[tex]\frac {\partial f}{\partial x} = \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}} [/tex]") que no está definida en el origen, veamos si la singularidad es evitable. Si podés redefinir la función, tiene que ser continua por cualquier camino, por definición de límite. Entonces tomando el camino por el eje y primero y el x después.
[tex] \lim_{x \to 0} \left (\lim_{y \to 0} \frac {x} {\sqrt {x^2 +y^2}} \right ) = \lim_{x \to 0} \frac {x}{\sqrt{x^2}} = \frac {x}{|x|} = \nexists [/tex]
Entonces ya sabés que aún, si la función es derivable con respecto a x en el origen, no es continua, ya que la expresión general de la derivada con respecto a x, no converge al acercarte al origen por este camino. De allí que no podés calcular la derivada direccional en función del gradiente.
A ojo parece imposible que la función sea derivable en el 0, pues lo que tenés es la norma, que podés considerar una generalización a n variables de la función valor absoluto.
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csebas
Nivel 9
Edad: 71
Registrado: 16 Feb 2009
Mensajes: 1634
Carrera: No especificada
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| Llegas a esa contradiccion porque estas evaluando puntos que no pertenecen al dominio, tendiendo a H por izquierda. , al ser solo el limite por derecha, te da 1 y listo. Salu2, espero haberte ayudado.
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csebas
Nivel 9
Edad: 71
Registrado: 16 Feb 2009
Mensajes: 1634
Carrera: No especificada
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| Disculpame pero arriba te re bardie porque lei cualkier cosa, es imposible que tenga derivada en todas direcciones en el (0,0), porque si te fijas es un Cono, y en el (0,0) es imposible calcular un plano tg, asiq no es diferenciable en ese punto. Perdon por la bardeada y espero que esta respuesta si te sirva.
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gonzaloi
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 398
Carrera: No especificada
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No te preocupes, no me senti bardeado.
Gracias a ambos ... me di cuenta que derive mal las parciales , donde puse 3/2 va -1/2 (en vez de restar, le sume uno al exponente de la funcion original) . De esta forma, queda las derivada que obtuvo sabian que no es continua en (00) .
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| Perdon, edito xq dije cualquiera XD
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