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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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¿Como se demuestra que una curva dada es plana?
Gracias!
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Última edición por loonatic el Sab Abr 03, 2010 7:15 pm, editado 1 vez
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Johann
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 04 Abr 2009
Mensajes: 1098
Ubicación: Nuñez
Carrera: Informática
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r=(t^2+2,t^2+2t+3,t+1)=(X,Y,Z)
X=t^2+2 -> t^2=X-2
Z=t+1 -> t=Z-1
Reemplazas eso en Y:
Y=t^2+2t+3 -> Y=X+2Z-1
Ahí tenes el plano donde está contenida la curva y, como la curva se puede contener en un plano, es una curva plana (Podés comprobar que la curva está contenida en el plano reemplazando X, Y y Z por las componentes originales de la curva).
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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| loonatic escribió:
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¿Como se demuestra que una curva dada es plana?
Gracias!
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Otra forma es la siguiente:
A vos te dan una curva parametrizada de la siguiente manera ![[tex]C_{(a)}=( X_{(a)} , Y_{(a)} , Z_{(a)} )[/tex]](images/latex/990974e385adbad6a24c54e0b352092b58394244_0.png "[tex]C_{(a)}=( X_{(a)} , Y_{(a)} , Z_{(a)} )[/tex]") donde ![[tex]a[/tex]](images/latex/526bd77b4de5c74c1a40d9bb93c66189acdebf36_0.png "[tex]a[/tex]") pertenece a un intervalo cerrado o abierto o mixto, entonces lo que haces es agarrar tres puntos del intervalo, los metes en la curva para que te devuelva 3 puntos ok? luego con esos tres puntos de 3 componentes generas un plano, y luego podes demostrar que la curva ![[tex]C_{a}[/tex]](images/latex/242b0f879c676dce08e0d0f743ed10f08c5d8f83_0.png "[tex]C_{a}[/tex]") esta contenida en el plano generado por ende es una curva plana.
En tu caso te dan ![[tex]r_{(t)}=(2 + t^2 , 2t + t^2 + 3 , t + 1)[/tex]](images/latex/dfaecd9773679e103ab7fc7ed033c1cb0e361863_0.png "[tex]r_{(t)}=(2 + t^2 , 2t + t^2 + 3 , t + 1)[/tex]") , como no te tira ninguna restriccion sobre el dominio de la variable ![[tex]t[/tex]](images/latex/975643a82a50f7035377ef49daca21dde6c93bca_0.png "[tex]t[/tex]") supongo que va de menos infinito a mas infinito.
Ahora para ![[tex]r_{(1)}=(3 , 6 , 2)[/tex]](images/latex/4f493116d03050e4522c349c033c4284e4701fb3_0.png "[tex]r_{(1)}=(3 , 6 , 2)[/tex]") , para ![[tex]r_{(0)}=(2, 3 , 1)[/tex]](images/latex/28ffaed1e9e53c0f34975373746cc2a396172b24_0.png "[tex]r_{(0)}=(2, 3 , 1)[/tex]") y para ![[tex]r_{(-1)}=(3 , 2 , 0)[/tex]](images/latex/c912691dc7401bd17b27c6a09f4681eea5afec5e_0.png "[tex]r_{(-1)}=(3 , 2 , 0)[/tex]") .
Ahora armemos dos vectores con estos tres puntos:
![[tex]r_{(1)} - r_{(0)} =(1 , 3 , 1)[/tex]](images/latex/a11bea2d4692909fab418a66bbe06cda61cc2bea_0.png "[tex]r_{(1)} - r_{(0)} =(1 , 3 , 1)[/tex]")
![[tex]r_{(0)} - r_{(-1)} =(-1 , 1 , 1)[/tex]](images/latex/2b30a5afaa3e6484c0737c7bdb2366d905421583_0.png "[tex]r_{(0)} - r_{(-1)} =(-1 , 1 , 1)[/tex]")
Haciendo producto vectorial de estos vectores obtengo la normald el plano: X(-1 , 1 , 1)=(2 , -2 , 4)[/tex]](images/latex/bbe02da24a575b9213de66d4c5d9264ee1894e48_0.png "[tex](1 , 3 , 1)X(-1 , 1 , 1)=(2 , -2 , 4)[/tex]") .
Ahora armo el plano con el vector normal y alguno de los tres puntos que obtuve con anterioridad en mi caso eligo el punto ![[tex]r_{(0)}[/tex]](images/latex/4a2d991a100363dafe6b69800a3dd72c1cfd8724_0.png "[tex]r_{(0)}[/tex]")
Por ende el plano queda de la siguiente maner ![[tex]\pi : 2x-2y+4z=2[/tex]](images/latex/5fd8d3589cde6aa35ec3104e898c432250a42991_0.png "[tex]\pi : 2x-2y+4z=2[/tex]")
Ahora teniendo el plano definido demostramos que la curva esta incluida en dicho plano osea que:
![[tex]x=2 + t^2 [/tex]](images/latex/2d18028a054deae6f12e3c3c8a53839bdca003bc_0.png "[tex]x=2 + t^2 [/tex]")
![[tex]y=2t + t^2 + 3[/tex]](images/latex/b8e9d5520e0eae32b96d5e40a93fd6f0b4692533_0.png "[tex]y=2t + t^2 + 3[/tex]")
![[tex]z=t + 1[/tex]](images/latex/9839bd500a06020bb0c50500355bf7804d64c5ee_0.png "[tex]z=t + 1[/tex]")
lo meto en el plano y me queda ![[tex]\pi : 4 + 2t^2 - 4t - 6 - 2t^2 + 4t + 4=2[/tex]](images/latex/527dd185d2567fb44e849b31a67f1049d60fa0a2_0.png "[tex]\pi : 4 + 2t^2 - 4t - 6 - 2t^2 + 4t + 4=2[/tex]") y por ende queda la igualdad ![[tex]2=2[/tex]](images/latex/0bfb9f8c67a2f12c16d589e4144013258ce1e1cd_0.png "[tex]2=2[/tex]") y de forma correcta definimos que la curva es plana.
Saludos.
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Última edición por Leidenschaft el Sab Abr 03, 2010 7:35 pm, editado 1 vez
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
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Carrera: Sistemas
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| espiño_cristian escribió:
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| loonatic escribió:
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¿Como se demuestra que una curva dada es plana?
Gracias!
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Otra forma es la siguiente:
A vos te dan una curva parametrizada de la siguiente manera ![[tex]C_{a}=( X_{a} , Y_{a} , Z_{a} )[/tex]](images/latex/38c0954e250489a8b753f06fcfe840eebfe047c6_0.png "[tex]C_{a}=( X_{a} , Y_{a} , Z_{a} )[/tex]") donde pertenece a un intervalo cerrado o abierto o mixto, entonces lo que haces es agarrar tres puntos del intervalo, los metes en la curva para que te devuelva 3 puntos ok? luego con esos tres puntos de 3 componentes generas un plano, y luego podes demostrar que la curva esta contenida en el plano generado por ende es una curva plana.
Saludos.
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Ah buenisimo, esto se re parece a lo que había pensado...gracias!
A vos tambien Johann 
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Tengo otra pregunta...
Me dan esta curva plana:
^3=4x^2y^2[/tex]](images/latex/60e8aa31342b9f9f7af0a108b89cf4d565aa79ec_0.png "[tex](x^2+y^2)^3=4x^2y^2[/tex]")
¿Como puedo parametrizar eso (y cosas parecidas)? ¿En qué tengo que fijarme? Osea, me marea que haya tantas potencias jaja
Gracias foro por ayudarmeee
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
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Carrera: No especificada
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Si estas trabajndo en ![[tex]R^3[/tex]](images/latex/26322742eddcb8bec296c9ffe407d50bb2c650fb_0.png "[tex]R^3[/tex]") eso es una superficie por ende debemos parametrizarla con dos variables.
Osea a vos te dan esto: que es lo mismo que esto ^3 - 4x^2y^2=0[/tex]](images/latex/efbdc67546d7b5e124ba67271e791fdd29bb84c3_0.png "[tex](x^2+y^2)^3 - 4x^2y^2=0[/tex]") osea esto nos dice que estamos en presencia de una superficie de nivel con ![[tex]K=0[/tex]](images/latex/ba8520739724def42f174e6c9af6c25d74ea411b_0.png "[tex]K=0[/tex]") . Ahora en base a esa superficie de nivel podemos armar una funcion ![[tex]f_{(x,y)}=0[/tex]](images/latex/cb9a3e0bb160cef28ca1773477f53006fe494919_0.png "[tex]f_{(x,y)}=0[/tex]") osea que ![[tex]f_{(x,y)}=(x^2+y^2)^3 - 4x^2y^2[/tex]](images/latex/dd9eb2e2bddbc9786774ec67089789512707cc6b_0.png "[tex]f_{(x,y)}=(x^2+y^2)^3 - 4x^2y^2[/tex]") .
Ahora para parametrizar esta superficie podemos considerar a ![[tex]x=x[/tex]](images/latex/b1b91a04fa5e129d5ffa23bfd06925a2fdcbf71e_0.png "[tex]x=x[/tex]") e ![[tex]y=y[/tex]](images/latex/da1762306dddb2508648905866d91c5c3fce26ff_0.png "[tex]y=y[/tex]") y ![[tex]z=f_{(x,y)}[/tex]](images/latex/6a1f809178e3398e65e88fcea7b5033206f4a075_0.png "[tex]z=f_{(x,y)}[/tex]") por ende ![[tex]S_{(x,y)}=(x , y , (x^2+y^2)^3 - 4x^2y^2)[/tex]](images/latex/9c6abb88c36b3b1b315f2c4dab76f23521a2d5f8_0.png "[tex]S_{(x,y)}=(x , y , (x^2+y^2)^3 - 4x^2y^2)[/tex]")
Ahora si estamos trabajando en ![[tex]R^2[/tex]](images/latex/f572ed46ab129eee7bf8dfc7f64111020de1fcfc_0.png "[tex]R^2[/tex]") eso es una curva por ende debemos parametrizarla con una varibale.
Lamentablemente a estas horas no se me ocurre ninguna idea copada para poder dejar una varibale en funcion de la otra y pdoer parametrizar todo jajajaja.
Saludos.
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sabian_reloaded
Nivel 9
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[img]http://www1.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP5319a48ah4i31bi97800001gfh2g07i396d293?MSPStoreType=image/gif&s=43&w=200&h=206[/img]
Buena suerte 
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
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| sabian_reloaded escribió:
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[img]http://www1.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP5319a48ah4i31bi97800001gfh2g07i396d293?MSPStoreType=image/gif&s=43&w=200&h=206[/img]
Buena suerte
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Ahi dejo tu imagen para q la vean todos.
By cer_08 at 2010-04-04
Tambien te dejo la pagina de dodne podes buscar datos deuna funcion cusifai
http://www.wolframalpha.com/examples/Math.html
Saludos.
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Última edición por Leidenschaft el Dom Abr 04, 2010 8:26 pm, editado 1 vez
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sabian_reloaded
Nivel 9
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Gracias por subirla.
Tiene que ser algo con polares. Una forma muy chanta que se me ocurre, después de ver el gráfico, es reemplazar con polares a lo bestia, encontrar la máxima distancia al origen de la función y fijar el r como ese máximo (ya que el máximo de coseno * seno es 1).
Así sale casi seguro, pero es muy chanta.
Saludos
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
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| sabian_reloaded escribió:
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Gracias por subirla.
Tiene que ser algo con polares. Una forma muy chanta que se me ocurre, después de ver el gráfico, es reemplazar con polares a lo bestia, encontrar la máxima distancia al origen de la función y fijar el r como ese máximo (ya que el máximo de coseno * seno es 1).
Así sale casi seguro, pero es muy chanta.
Saludos
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Tenias razón, se puede ahcer con polares.
Osea consideremos las sigueitnes igualdades:
![[tex]x=Rcos \theta[/tex]](images/latex/d098cc7c1f830c08e76d2cac1d40edd287f12e57_0.png "[tex]x=Rcos \theta[/tex]") e ![[tex]y=Rsen \theta[/tex]](images/latex/cc56e3e9acfe921493c85b9499971ed08afb7aac_0.png "[tex]y=Rsen \theta[/tex]")
Entonces remplanzando esto en la ecuacion que teniamos arriba nos queda que ![[tex]R^6 = 4*(R^2)*(cos^2 \theta)*(sen^2 \theta)[/tex]](images/latex/379e796c892419fc9b94c30a42e5796ee3832276_0.png "[tex]R^6 = 4*(R^2)*(cos^2 \theta)*(sen^2 \theta)[/tex]") , a su ves esto es igual a ![[tex]R^4 = 4*(cos^2 \theta)*(sen^2 \theta)[/tex]](images/latex/050d8f0710d456612bc8152dceff9f041f1a033a_0.png "[tex]R^4 = 4*(cos^2 \theta)*(sen^2 \theta)[/tex]") . Ahora por propiedad ![[tex]0<R<\infty[/tex]](images/latex/54ff3bd2fb3e6a5898ea2db486168a96dd7575c4_0.png "[tex]0<R<\infty[/tex]") por ende ![[tex]R= \sqrt[4]{4*(cos^2 \theta)*(sen^2 \theta)}[/tex]](images/latex/9a05f12896e40a3e35af32dc0d14cc3b85888363_0.png "[tex]R= \sqrt[4]{4*(cos^2 \theta)*(sen^2 \theta)}[/tex]") que esto es igual a ![[tex]R= \sqrt{2}*(cos^{1/2} \theta)*(sen^{1/2} \theta)[/tex]](images/latex/5a68145b89572198a6f8031a6c832eee5ef9cb3a_0.png "[tex]R= \sqrt{2}*(cos^{1/2} \theta)*(sen^{1/2} \theta)[/tex]")
Ya que obtuvimos ![[tex]R[/tex]](images/latex/06bb2956f6ba6274346e5b9e386e2e81f25a8632_0.png "[tex]R[/tex]") podemos parametrizar ahora.
![[tex]C_{( \theta)}=(Rcos \theta , Rsen \theta)[/tex]](images/latex/eabe1cd31533a3e4836f8a9a57a03f649c2f7044_0.png "[tex]C_{( \theta)}=(Rcos \theta , Rsen \theta)[/tex]") y remplazando el hallado nos queda que ![[tex]C_{( \theta)}=(\sqrt{2}*(cos^{1/2} \theta)*(sen^{1/2} \theta)*cos \theta , \sqrt{2}*(cos^{1/2} \theta)*(sen^{1/2} \theta)*sen \theta)[/tex]](images/latex/178b207c1f34ace55b5d11b3ec65f0d4c6219c9d_0.png "[tex]C_{( \theta)}=(\sqrt{2}*(cos^{1/2} \theta)*(sen^{1/2} \theta)*cos \theta , \sqrt{2}*(cos^{1/2} \theta)*(sen^{1/2} \theta)*sen \theta)[/tex]")
Saludos.
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sabian_reloaded
Nivel 9
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Carrera: No especificada
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Un detalle, revisá que ![[tex] R^6 = 4 R^4 cos^2 (\theta) sen^2 (\theta) [/tex]](images/latex/efd99286adc6f0b268f415fe34dd9b2dae5cc3c5_0.png "[tex] R^6 = 4 R^4 cos^2 (\theta) sen^2 (\theta) [/tex]")
Quedando la parametrización final
![[tex] \gamma = (2 cos^2 (\theta) sen (\theta) , 2sen^2 (\theta) cos (\theta) ) [/tex]](images/latex/ef4b3aab704db04cc1faf3a9d8cd7faf112d6f5f_0.png "[tex] \gamma = (2 cos^2 (\theta) sen (\theta) , 2sen^2 (\theta) cos (\theta) ) [/tex]")
A parte fijate que si te quedara la raíz de las trigonométricas, nunca obtendrias un resultado negativo y la curva existe en los cuatro cuadrantes.
Saludos
Un bestia, no vi la parte trigonometrica independiente de R.
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Última edición por sabian_reloaded el Dom Abr 04, 2010 11:38 pm, editado 1 vez
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Leidenschaft
Nivel 9
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| sabian_reloaded escribió:
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Un detalle, revisá que
Quedando la parametrización final
A parte fijate que si te quedara la raíz de las trigonométricas, nunca obtendrias un resultado negativo y la curva existe en los cuatro cuadrantes.
Saludos
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Jajajaja eso pasa por hacer las cosas rapidito 
Menos mal que siempre hay alguien atrás corroborando. Aplicamos con orgullo el concepto de futuros ingenieros, trabajar en equipo jajaja.
Saludos.
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loonatic
Nivel 9
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Carrera: Sistemas
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Muchisisisismas gracias a todos!!!
Se merecen un huevo de pascua cada uno, por el resto de mi vida!
=D
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