| Autor |
Mensaje |
eche1984
Nivel 3
Edad: 39
Registrado: 23 Feb 2010
Mensajes: 34
Carrera: Sistemas
|
|
Que tal gente?? Estoy preparando el final de proba y me tope con este ejercicio:
La cantidad de accidentes de tránsito durante una tormenta tiene una distribución Poisson de media µ. La distribución a priori es una exponencial de intensidad 1.
a) Hallar la distribución a posteriori de µ si durante 5 tormentas se observaron las siguientes cantidades de accidentes: 5, 4, 9, 10, 5.
b) En virtud de la información muestral, hallar la probabilidad de que en la próxima tormenta ocurran 4 accidentes de tránsito.
Trate de plantearlo utilizando la distribucion a priori, pero quedan unos numeros muy raros. Consulte el libro de Zylberberg y habla de familias de distribuciones conjugadas o algo asi, pero no entiendo como aplicar esto... si es que hay que hacerlo.
Vuestra ayuda sera mas que bienvenida.
Saludos,
Eche
|
|
|
|
|
|
   |
     |
|
lucky13
Nivel 2
Edad: 37
Registrado: 07 Ago 2008
Mensajes: 14
Carrera: Informática
|
|
La distribucion a posteriori es de la pinta:
fµ/M= k * fM/µ * fµ
La distribución a priori es una exponencial de intensidad 1:
fµ= e^(-µ), {µ>0}
Luego, tenes una muestra de 5 tormentas donde hubo
28(4+9+10+5) accidentes de transito.
Ademas te dice que la cantidad de accidentes de tránsito durante
una tormenta tiene una distribución Poisson de media µ.
Entonces te queda, utilizando la muestra:
fM/µ= [(5µ)^28 e^(-5µ)]/28!, {µ>0}
Reemplazando en la formula
fµ/M= e^(-µ) * [(5µ)^28 e^(-5µ)]/28!
Acomodando un poco y juntando las contantes en c queda
fµ/M= c * µ^28 * e^(-6µ), {µ>0}
Ahora buscamos el valor de c haciendo la integral
entre 0 e infinito de µ. La integral es una gamma de parametros
Γ(29,6). Entonces c= [6^(29)]/28!
Por lo tanto la distribucion a posteriori es:
fµ/M= [6^(29)]/28! * µ^28 * e^(-6µ), {µ>0}
Bueno esta es la parte A, la hice rapido seguro me equivoque en algo... pero maso menos se resuelve asi.
Para la parte B tenes que calcular la predictiva y calcular que para una tormenta ocurran 4 accidentes de tránsito.
|
|
|
|
|
|
  |
|
|
eche1984
Nivel 3
Edad: 39
Registrado: 23 Feb 2010
Mensajes: 34
Carrera: Sistemas
|
|
Buenisimo, muchas gracias...
se te pianto una de las muestras en la sumatoria, pero se entiende... no me habia dado cuenta que la integral te quedaba una Gamma... 
saludos!
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
lucky13
Nivel 2
Edad: 37
Registrado: 07 Ago 2008
Mensajes: 14
Carrera: Informática
|
|
| Si tenes razon, menos mal que puse lo que estaba sumando :p
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
eche1984
Nivel 3
Edad: 39
Registrado: 23 Feb 2010
Mensajes: 34
Carrera: Sistemas
|
|
revisandolo un poco mas en detalle, me surge una duda puntual respecto al calculo de la f(M/µ):
si no me equivoco, f(M/µ) resulta de la productoria de f(x/µ) evaluada en cada uno de los valores de la muestra. ahora, el resultado final no deberia ser:
f(M/µ) = [µ^33 e^(-5µ)]/33!, {µ>0}, es decir sin el 5 que multiplica a µ.
a la larga, el 5 se termina convirtiendo en la cte que se espeja en la integral entre 1 e infinito. pero mi duda recae en confirmar que lo que habia empezado hacer estaba bien, ya que el (5µ)^33 me desoriento un poco
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
eche1984
Nivel 3
Edad: 39
Registrado: 23 Feb 2010
Mensajes: 34
Carrera: Sistemas
|
|
Tengo una duda con la predictiva.
Hasta donde creo saber, obtiene de la siguiente manera:
![[tex]f ( X / M ) = \int_{\forall\theta} f(x / \theta) f( \theta/M) d\theta[/tex]](images/latex/009282e04e65d64c96f8be88e435516b1091c4d7_0.png "[tex]f ( X / M ) = \int_{\forall\theta} f(x / \theta) f( \theta/M) d\theta[/tex]") con ![[tex]f(x / \theta)[/tex]](images/latex/81907f81dff3c260d0994d5a1e3d6831f0b1d245_0.png "[tex]f(x / \theta)[/tex]") siendo la distribucion en funcion del parametro (una Poisson con media ![[tex]\theta[/tex]](images/latex/623ca5ecf32c4e6b02fcc22cbf1dfe7a6a952c22_0.png "[tex]\theta[/tex]") ) y ![[tex]f(\theta/M)= \frac{6^{34} \theta^{33}\epsilon^{-6\theta}}{33!}[/tex]](images/latex/c35e90fa7dfe00dabc15c17fd9c9fc4db25d533b_0.png "[tex]f(\theta/M)= \frac{6^{34} \theta^{33}\epsilon^{-6\theta}}{33!}[/tex]") , la funcion a posteriori.
Ahora, cuando empiezo a calcularla ![[tex]f ( X / M ) [/tex]](images/latex/3e08effe058ccf7266400c443bc67020cf9f36e0_0.png "[tex]f ( X / M ) [/tex]") , me queda el siguiente producto:
![[tex]f ( X / M ) =\int_{\forall\theta}\frac{6^{34} \theta^{33}e^{-6\theta}}{33!} \frac{\theta^x \epsilon^{-\theta}}{x!}d\theta[/tex]](images/latex/728673f06383482d427c427a75c5dbe8d10da1c9_0.png "[tex]f ( X / M ) =\int_{\forall\theta}\frac{6^{34} \theta^{33}e^{-6\theta}}{33!} \frac{\theta^x \epsilon^{-\theta}}{x!}d\theta[/tex]")
y hasta donde llego es lo siguiente:
![[tex]f ( X / M ) = \frac{6^{34}}{x! 33!} \int_{\forall\theta}\theta^{x-33} \mathcal e^{-7\theta}d\theta[/tex]](images/latex/b01b5128ca68e4619e6285aa48cd0dfa88bd92bf_0.png "[tex]f ( X / M ) = \frac{6^{34}}{x! 33!} \int_{\forall\theta}\theta^{x-33} \mathcal e^{-7\theta}d\theta[/tex]")
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
eche1984
Nivel 3
Edad: 39
Registrado: 23 Feb 2010
Mensajes: 34
Carrera: Sistemas
|
|
| eche1984 escribió:
|
Tengo una duda con la predictiva.
Hasta donde creo saber, obtiene de la siguiente manera:
con siendo la distribucion en funcion del parametro (una Poisson con media ) y , la funcion a posteriori.
|
Retomo de nuevo la integral, xq se me pianto el Enviar... 
Cuando empiezo a calcularla , me queda el siguiente producto:
y llego hasta ![[tex]f ( X / M ) = \frac{6^{34}}{{x!} {33!}} \int_{\forall\theta}\theta^{x-33} e^{-7\theta}d\theta[/tex]](images/latex/8d606d943e5d7aada538dc519f4b88ae04fc2052_0.png "[tex]f ( X / M ) = \frac{6^{34}}{{x!} {33!}} \int_{\forall\theta}\theta^{x-33} e^{-7\theta}d\theta[/tex]") porque la x en el exponente de la theta me molesta y no se como seguir la integral...
alguien podria decirme si estoy haciendo algo mal, o bien tirarme una punta de como seguir?
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
lucky13
Nivel 2
Edad: 37
Registrado: 07 Ago 2008
Mensajes: 14
Carrera: Informática
|
|
Poniendo en limpio te quedo:
Posteriori
fµ/M= [6^(34)]/33! * µ^33 * e^(-6µ), {µ>0}
Despues tenes
fx/M= [(µ)^x e^(-µ)]/x!, {µ>0}
y te queda la integral de: 6^(34)*[(µ)^(x+33) e^(-7µ)] / (x!*33!)
Bueno ahi tenes otra gamma!! de parametros Γ(x+34,7) (fijate que ahi le pifiaste).
Entonces el resultado de todo eso [6^(34) / (x!*33!) ] * [(x+33)! / 7^(x+34)]
Te estan pidiendo la probabilidad de que en la próxima tormenta
ocurran 4 accidentes de tránsito (donde dice x pones 4), entonces
P(x=4) = [6^(34) / (4!*33!) ] * [(4+33)! / 7^(4+34)] =
= [6^(34) / (4!*33!) ] * [(37!) / 7^(38 )] = 0.1456 = 0.15
Te pido disculpas en latex se me complica en esta computadora...
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
eche1984
Nivel 3
Edad: 39
Registrado: 23 Feb 2010
Mensajes: 34
Carrera: Sistemas
|
|
q fenomenaaaa!!!  muchisimas gracias!!!
para resumir un poco, si tengo algo de la forma ![[tex]\int_0^\infty t^n e^{-kt}dt [/tex]](images/latex/9be42bafc8e9ffd74ba32e4857c778f6348298a5_0.png "[tex]\int_0^\infty t^n e^{-kt}dt [/tex]") esto es igual a ![[tex]\Gamma(n+1;k)= \frac{n!}{k^{n+1}}[/tex]](images/latex/d00b3651884b277fe15386e53fd85259caf2a762_0.png "[tex]\Gamma(n+1;k)= \frac{n!}{k^{n+1}}[/tex]") ?
la verdad no tenia ese dato de la Gamma... o por lo menos se me escapo 
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
lucky13
Nivel 2
Edad: 37
Registrado: 07 Ago 2008
Mensajes: 14
Carrera: Informática
|
|
| No es asi exactamente!! Fijate en internet o en algun libro como es la distribuccion (creo que en el zylberg esta). Y mirate la de beta por las dudas.
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
