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matthaus
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Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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Hola que tal tengo una duda con el teorema de Stokes.
Hablamos de que tiene que existir una superficie encerrada por una curva cerrada para poder aplicar el teorema. La superficie puede ser cualquiera, y luego se dice que existe una igualdad entre la integral de linea de f a lo largo de c y el flujo del rotor de f sobre la superficie cualquiera.
Ahora mi consulta es la siguiente, en el ej 2 del cq
http://materias.fi.uba.ar/6103/coloquios/C10-2-09.pdf
hay una curva (semicircunferencia de radio 4, Sobre el plano y=1.
Entonces, para calcular la normal, puedo decir directamente que como la superficie encerrada, esta sobre el plano y=1 entonces n = (0,1,0) ? y luego para calcular el flujo, tengo los limites para x entre -4 y 4 y z entre 0 y ![[tex]\sqrt{16-x^2}[/tex]](images/latex/1c39cf63dbc3f7b9076ac985a04818a7a7fe233e_0.png "[tex]\sqrt{16-x^2}[/tex]")
lo que deberia reemplazar en caso de que aparezca alguna y por y=1 y dejar a las z y x para resolver en la integral.
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Guido_Garrote
Moderador
Edad: 35
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| Si, es asi, pero ojo que la curva que te dan no es cerrada...
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leandrob_90
Nivel 9
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Para sacar la normal tenés que parametrizar la superficie: ![[tex]\gamma(\rho, \theta)=(\rho \cos \theta,1,\rho \sen \theta)[/tex]](images/latex/1bf18ee3d63ed3b5c6f7966a355248ec327c0574_0.png "[tex]\gamma(\rho, \theta)=(\rho \cos \theta,1,\rho \sen \theta)[/tex]") con ![[tex]\rho \in [0,4][/tex]](images/latex/809f8b24851960dcdb0c1e8cc9cf307de1e6213c_0.png "[tex]\rho \in [0,4][/tex]") y ![[tex]\theta \in [0,\pi][/tex]](images/latex/6415eb17008799ac8eb67ab24adcd95686e74a3f_0.png "[tex]\theta \in [0,\pi][/tex]") para después hacer el producto vectorial entre las derivadas parciales de la parametrización: ![[tex]N=\gamma '_{\rho} \times \gamma'_{\theta}=(0,\rho,0)[/tex]](images/latex/9b63959b901914659a0cde52a3a92afe0f76b473_0.png "[tex]N=\gamma '_{\rho} \times \gamma'_{\theta}=(0,\rho,0)[/tex]")
Y para calcular después la integral tenés que cambiar las variables usando ![[tex]\gamma (\rho, \theta)[/tex]](images/latex/f226b01dce0f420e36a5d83cd3abdd8831d0094f_0.png "[tex]\gamma (\rho, \theta)[/tex]")
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leandrob_90
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matthaus
Nivel 9
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como que no por un lado esta C: ![[tex]\gamma(t)=(4cos(t),1,4sen(t)) [/tex]](images/latex/9efe54c870ecf7619f6977fc3ba399b9ab03735d_0.png "[tex]\gamma(t)=(4cos(t),1,4sen(t)) [/tex]") con t entre 0 y ![[tex]\pi [/tex]](images/latex/90f3ec9672ea9225b2556ea5cdaf62b018879f91_0.png "[tex]\pi [/tex]") y luego L: Y=1 , z=0 de (-4,1,0) a (4,1,0) me quedo L: (t,1,0) con t entre -4 y 4.
eso me da la circunferencia cerrada en el plano y=1 no?
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leandrob_90
Nivel 9
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| matthaus escribió:
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como que no por un lado esta C: con t entre 0 y y luego L: Y=1 , z=0 de (-4,1,0) a (4,1,0) me quedo L: (t,1,0) con t entre -4 y 4.
eso me da la circunferencia cerrada en el plano y=1 no?
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Eso te da la semicircunferencia con el segmento recto abajo que la cierra para definirte la superficie.
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leandrob_90
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matthaus
Nivel 9
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| lo que yo digo es, si todo esto esta en el plano y=1, la superficie encerrada por esas curvas no deberia tner como normal (0,1,0) ?
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leandrob_90
Nivel 9
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| matthaus escribió:
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lo que yo digo es, si todo esto esta en el plano y=1, la superficie encerrada por esas curvas no deberia tner como normal (0,1,0) ?
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Si trabajás en cartesianas entonces si.
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leandrob_90
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matthaus
Nivel 9
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| entonces siempre que haya superficies encerradas por curvas, sobre planos, puedo sacar la normal facil si saco la normal del plano que contiene a esas curvas
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Habermecanicus
Nivel 9
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| siempre que la superficie se plana y simplemente conexa si
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matthaus
Nivel 9
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Tuve un problema al intentar hacer un ej asi.
Tenes una curva definida por ![[tex] x^2 + az^2 =1[/tex]](images/latex/9be20a29bdec30d95e0d4c14acd126a3254839b3_0.png "[tex] x^2 + az^2 =1[/tex]") y ![[tex]y=1[/tex]](images/latex/95efd3c6ddc9009cfb564b2bbd8b61882572a378_0.png "[tex]y=1[/tex]") , ![[tex]f \colon \mathbf R^3 \longmapsto \mathbf R^3[/tex]](images/latex/9f18c092385ff92b5c1ecc3ec2477374714e384a_0.png "[tex]f \colon \mathbf R^3 \longmapsto \mathbf R^3[/tex]") un campo ![[tex]C^2[/tex]](images/latex/6b0a63f281fd67c722baa861a3ae421c9ce89546_0.png "[tex]C^2[/tex]") que satisface ![[tex]rot(f) = (1, 1-xy,xz) [/tex]](images/latex/50bae21b2fadbb8bf1d880a8834be317d2e1f7ce_0.png "[tex]rot(f) = (1, 1-xy,xz) [/tex]")
Hallar a>0 de manera que la circulacion de f a lo largo de C sea ![[tex]3\pi[/tex]](images/latex/5d0b171c5ef504ad351c701b3b6655bb76629a47_0.png "[tex]3\pi[/tex]")
Entonces parametrizo la curva C: ![[tex]g(t)= ( cost, 1, \frac{1}{\sqrt{a}}sent)[/tex]](images/latex/601b08b049e518949d3e088a5f4eaca42698a304_0.png "[tex]g(t)= ( cost, 1, \frac{1}{\sqrt{a}}sent)[/tex]")
Por teorema del rotor, la superficie que puedo usar es el plano y=1 (la curva es la interseccion del cilindro con el plano) por lo que la normal es (0,1,0)
Ahora cuando planteo el flujo del rotor, hago ![[tex]rot(f).(0,1,0) = 1-xy[/tex]](images/latex/8eb1565b8c504ca190bf8afe42e691a74c506053_0.png "[tex]rot(f).(0,1,0) = 1-xy[/tex]") siendo y ![[tex]x=cos t [/tex]](images/latex/4c8f7ae8ec8b76240c8af6e14663c7e9786961b9_0.png "[tex]x=cos t [/tex]")
la integral me queda ![[tex]\int_{0}^{2\pi}dt\int_{0}^{1}r(1-xy)dr[/tex]](images/latex/422659ce7106496d4882615a5b15de00dba11975_0.png "[tex]\int_{0}^{2\pi}dt\int_{0}^{1}r(1-xy)dr[/tex]") y en ese calculo en ningun momento aparece la a que quiero encontrar! porque se supone que lo igualo a ![[tex]3\pi [/tex]](images/latex/dd143950e4aa844c228dfd3e3bb216e1c1917c25_0.png "[tex]3\pi [/tex]")
Falla el sistema?
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matthaus
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Ya encontre el error 
como parametrize una elipse [/tex]](images/latex/d7af8375747cdbb11f0686762bf305d45ac46045_0.png "[tex](ax^2+bz^2=1)[/tex]") entonces el Jacobiano es ![[tex]abr [/tex]](images/latex/59d6ff01295356c560951d49603511b306d2acaa_0.png "[tex]abr [/tex]")
En este caso, la integral queda ![[tex]\int_{0}^{2\pi}dt\int_{0}^{1}\frac{r}{\sqrt{a}}(1-xy)dr[/tex]](images/latex/c050092d4061132488b677ecb6915dbac9c956b5_0.png "[tex]\int_{0}^{2\pi}dt\int_{0}^{1}\frac{r}{\sqrt{a}}(1-xy)dr[/tex]")
osea:
![[tex]\int_{0}^{2\pi}dt\int_{0}^{1}\frac{r}{\sqrt{a}}(1-cost)dr[/tex]](images/latex/086b583989a7eb665c77598e10ffd461123f20b8_0.png "[tex]\int_{0}^{2\pi}dt\int_{0}^{1}\frac{r}{\sqrt{a}}(1-cost)dr[/tex]")
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matthaus
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Tengo una duda, un ej dice:
Sea la curva parametrizada por ![[tex]\gamma(t)=(t,t^2,2t^2)[/tex]](images/latex/2e0a50c4b1513e6246aa24adb5acd7948cf1265a_0.png "[tex]\gamma(t)=(t,t^2,2t^2)[/tex]") con ![[tex]-5<t<5[/tex]](images/latex/fa94aa18795eff03ac1176459a5ab96db599f9a6_0.png "[tex]-5<t<5[/tex]")
1) Demostrar que la curva esta contenida en un plano
2) Calcular la circulacion del campo ![[tex]f(x,y,z)=(-y,x,e^{z^2})[/tex]](images/latex/f7e5d2f137ec73d3c47a188a5ff5d0fb6b28a05d_0.png "[tex]f(x,y,z)=(-y,x,e^{z^2})[/tex]") a lo largo de C
Bueno la cuestion es que si se calcula norlmalmente queda una integral imposible. Entonces lo que vi q se sugirio fue plantear al campo como suma de dos:
![[tex]f(x,y,z)= (y,x,e^{z^2}) + (-2y,0,0)[/tex]](images/latex/0cf69dead768169913847897eb86eea1bb1b82b3_0.png "[tex]f(x,y,z)= (y,x,e^{z^2}) + (-2y,0,0)[/tex]") asi el rotor del primer campo es 0.
Si yo planteo la igualdad de Stokes, tengo que cerrar la curva con un segmente que este en el plano z=y, pero no puedo encontrarlo alguien me da una mano?
Despues que cerre la curva, tengo que calcuar el flujo del rotor del 2do campo o solo la circulacion del segmento ?
espero que se entienda.
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