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morcher1
Nivel 3
Joined: 11 Feb 2009
Posts: 49
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alguien tiene idea como resolver estos ejs, sin hacerlo como prelat.
EJERCICIO 1 (a): Determinar todos los valores de a para los cuales todas las soluciones y(t) de la ecuación verifican
(1+t^2).y'(t) + 2t.y = t. e ^ [ (a^2-1) . t^2 ]
EJERCICIO1 (a) Encontrar las soluciones de t.y'(t) - y(t) = -t.sen (t) - cos(t)
acotadas en ( 0; inf)
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gira
Nivel 9
Age: 36
Joined: 13 Aug 2007
Posts: 2166
Carrera: Industrial
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De paso aclaremos que el primero es del ultimo coloquio que se tomo y lo que hizo great prelat fue que: (1+t^2).y'(t) + 2t.y = [(1+t^2).y(t)]' (y es algo que hizo también en otros coloquios) y despues sacó la integral de t. e ^ [ (a^2-1) . t^2 ] que sale fácil con sustitución.
Yo di ese coloquio y hasta ese momento no me habia dado cuenta de algunas similitudes de el 1er termino (me refiero a (1+t^2)) de la ec diferencial con lo que luego transformás. Quiero decir, que por ejemplo en este caso tenemos a (1+t^2) multiplicando a y'(t) y luego lo utilizamos para transformar la parte de la izquierda como [(1+t^2).y(t)]'. Y es algo que vi en otros coloquios (quizas de casualidad), como por ejemplo que ty'(t) + y(t) = [ty(t)]'.
Yo solo conocía el método del factor integrante, pero a veces como en este caso no conviene para nada usarlo. Si acá usas el factor integrante despues te queda sacar la integral de { t. e ^ [ (a^2-1) . t^2 ] } / (1+t^2) que para mí fue imposible.
El tema de sacar primero la homogenea y despues de sacar una particular es practicamente lo mismo que el metodo del Factor Integrante, ya que las cuentas son las mismas (aunque distintos procedimientos)
Respecto del segundo ej. que plantiaste, Prelat utilizó el método del FI, pero utilizando como FI a 1/(t^2). Ciertamente que hizo una muy buena elección (aunque nose como se le pudo ocurrir). De acuerdo a lo que aprendí el FI en esta caso sería "e a la integral de -1/t". Esto es 1/t. Sin embargo del otro lado te queda hacer la integral de Sen(t)/t que segun la tabla de integrales es una funcion Si(t) media rara. En cambio usando a 1/(t^2) como FI las integrales son más simples. La cuestión es ¿cómo encontró Prelat ese FI?
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Cuanto más complicada parece una situación, más simple es la solución. Eliyahu Goldratt
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morcher1
Nivel 3
Joined: 11 Feb 2009
Posts: 49
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esta bien, ahora.
el chabon hace eso, pero por que pasa dividiendo c / (1+t^2) ,
es solucion del homogeneo... pero como te das cuenta?
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Indecision
Nivel 5
Age: 35
Joined: 10 Sep 2007
Posts: 137
Location: R4
Carrera: Industrial
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Una duda chica de ED.
Si tengo una que me da como respuestas del sistema homogéneo Y1= c e^i2t Y2=c2 e^-i2t entonces, puedo dejarlo así escrito: Yh= c1 e^i2t + c2 e^-i2t , o tengo que poner Y= c1 cos (2t) + c2 sen (2t) ?? porque lo dejaría como está al principio, porque no sé bien como pasarlo, pero en los resueltos aparece siempre de la otra forma.
MUCHAS GRACIAS!!!
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Guido_Garrote
Moderador
Age: 35
Joined: 14 Oct 2007
Posts: 3319
Location: AHÍ!
Carrera: Civil
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| generalmente necesitas la solucion real para hacer otra cosa... igualmente te recomiendo que lo pases a la solucion real...
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Habermecanicus
Nivel 9
Age: 36
Joined: 06 Oct 2006
Posts: 921
Location: Paseo Colón 850
Carrera: Mecánica
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no es demasiado dificil pasar la solución en forma compleja a real, podes hacerlo simplemente por intercambio, aunque algun profesor puede no gustarle eso, podes sino usar las expresiónes complejas del seno y el coseno que son:
![[tex]\mbox{sen }t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\ \ \ y\ \ \ \mbox{cos }t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}[/tex]](images/latex/56f455d1862a14256b3638a9c6b75411e8c6e678_0.png "[tex]\mbox{sen }t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\ \ \ y\ \ \ \mbox{cos }t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}[/tex]")
sugerencia, separa cada termino de tu yh a la mitad y sumales y restales el termino que le falte para completar el seno o el coseno y te va a quedar:
![[tex]y_h=(C_1+C_2)\mbox{cos }t + i(C_1-C_2)\mbox{sen }t[/tex]](images/latex/905d299fa9601b7e7a503c2a3ab1360c07c98284_0.png "[tex]y_h=(C_1+C_2)\mbox{cos }t + i(C_1-C_2)\mbox{sen }t[/tex]")
o algo muy similar. De esto, vos sabes que forzosamente ![[tex]y_h[/tex]](images/latex/d99c3bbcc702a4721105a6b67cd1dd217b980649_0.png "[tex]y_h[/tex]") es una función de imagen real, por lo que tenes solo una opción que engloba cualquier posibilidad, que ![[tex]A=(C_1+C_2)[/tex]](images/latex/bd184e935534507d87b523342068db0672eeaefa_0.png "[tex]A=(C_1+C_2)[/tex]") y ![[tex]B=i(C_1-C_2)[/tex]](images/latex/c48fefb76ca7e2b59e35b39915e5225aab3c7f6a_0.png "[tex]B=i(C_1-C_2)[/tex]") sean coeficientes reales cuando [/tex]](images/latex/c6de8cb1a8c86e9853636a21313aad6fa324646c_0.png "[tex](C_1\ \mbox y\ C_2)[/tex]") son complejos. con lo que queda:
![[tex]y_h=A\mbox{cos }t + B\mbox{sen }t[/tex]](images/latex/cdff1b880a2ef8d930167c89fc3f61116ee60030_0.png "[tex]y_h=A\mbox{cos }t + B\mbox{sen }t[/tex]")
bueno no se si se entendió algo. si puse algo mal avisen.
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