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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
Registrado: 05 Abr 2008
Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
Carrera: Civil
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Cihn
Nivel 4
Edad: 36
Registrado: 27 Feb 2008
Mensajes: 105
Carrera: Química
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Hola CrisJ!
Una forma de hacerlo es la siguiente:
Tenés que probar que ![[tex]S\oplus{}S'=R^{n}[/tex]](images/latex/bd44399a4236a93e601a8937580289d975b7e931_0.png "[tex]S\oplus{}S'=R^{n}[/tex]")
1. ![[tex]S\oplus{}S'[/tex]](images/latex/1b081a98cb7d53216f78fda33ce87f34070bc360_0.png "[tex]S\oplus{}S'[/tex]")
2. ![[tex]S+S'\subseteq R^{n}[/tex]](images/latex/ce09fd1febc92cce696ffd22903339d51ac4f651_0.png "[tex]S+S'\subseteq R^{n}[/tex]") y ![[tex]S+S'\supseteq{}R^{n}[/tex]](images/latex/2b449574bddd649626accfb76a823d55eed05b39_0.png "[tex]S+S'\supseteq{}R^{n}[/tex]")
1. Sale
2. La primera inclusión es trivial, pues S y S' son subespacios y la suma está contenida en ![[tex]R^{n}[/tex]](images/latex/4f3b0fcae71f24b74f11954508ba9c4bb16bf953_0.png "[tex]R^{n}[/tex]") .
Para la segunda tenés que ver que todo bicho de lo podés escribir como una suma de cosas de S y S'.
Tomo ![[tex]x \in{R^{n}} \Rightarrow{} x=\frac{x+Ax}{2} + \frac{x-Ax}{2}[/tex]](images/latex/312fb9d7568f14b9e12f9d26b279aa33ca2b647b_0.png "[tex]x \in{R^{n}} \Rightarrow{} x=\frac{x+Ax}{2} + \frac{x-Ax}{2}[/tex]")
Basta con que pruebes que ![[tex]\frac{x+Ax}{2}\in{S}[/tex]](images/latex/7c21ae27ba2a6412933b6cd05f5c3163fcdcfd67_0.png "[tex]\frac{x+Ax}{2}\in{S}[/tex]") y ![[tex]\frac{x-Ax}{2}\in{S'}[/tex]](images/latex/cbb34fa78c7b90e110f330f851cb0d32afc304e2_0.png "[tex]\frac{x-Ax}{2}\in{S'}[/tex]")
Aplicá A a cada uno:
![[tex]A(\frac{x+Ax}{2})=\frac{1}{2}(Ax+A^{2}x)=\frac{Ax+x}{2}[/tex]](images/latex/608bc3f08782c4c5c73a031c1d72d8c765c6cea5_0.png "[tex]A(\frac{x+Ax}{2})=\frac{1}{2}(Ax+A^{2}x)=\frac{Ax+x}{2}[/tex]")
(En la segunda igualdad usé que ![[tex]A^{2}=I[/tex]](images/latex/7e2b7cb915eb6d7471e86ef63c554a79adc0d009_0.png "[tex]A^{2}=I[/tex]") )
entonces
Para el otro hacés lo mismo, le aplicás A y ves que pertenece a S'
Tonsssssss, ![[tex]x=\underbrace{\frac{x+Ax}{2}}_{\in{S}} + \underbrace{\frac{x-Ax}{2}}_{\in{S'}}[/tex]](images/latex/25784818f8e1aa649fa4c16a33ed1451f81fa60b_0.png "[tex]x=\underbrace{\frac{x+Ax}{2}}_{\in{S}} + \underbrace{\frac{x-Ax}{2}}_{\in{S'}}[/tex]")
que quiere decir que ![[tex]R^{n}\subseteq S+S'[/tex]](images/latex/ef24d032952307d2419b3e3681cf4475b8290086_0.png "[tex]R^{n}\subseteq S+S'[/tex]")
Por lo tanto probaste que ![[tex]S\oplus{S'}[/tex]](images/latex/1217000c61ddc984ecf7aa20195857e6f5ffa82b_0.png "[tex]S\oplus{S'}[/tex]") genera todo erre ene.
Bueno, el problemón del problema era ver cómo se podría escribir a un x cualquiera como suma de cosas de S y S'. No lo saqué de la galera. Para mí fue una mezcla de un ejercício de la práctica 1 sobre los subespacios de las matrices simétricas y antisimétricas (no me acuerdo el número XD), y el de la guía 5 (n. 32)
No me acuerdo cómo está en la resolución de Prelat =S
Bueno, espero que te sirva y éxitos!
=)
Pd. Perdón si me olvidé de alguna justificación. Estoy oxidada XD
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CrisJ
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