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Mensaje |
cristian88
Nivel 2
Registrado: 13 Jul 2009
Mensajes: 9
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A ver si alguien me puede dar una mano con este ejercicio. Dice lo siguiente:
Familias de mexicanos emigran a EEUU de acuerdo con un proceso de poison de tasa 2 por semana. Si el numero de integrantes de cada familia es independiente y puede ser 1,2,3,4 con probabilidades respectivas 1/6,1/3,1/3,1/6. ¿Cual es el valor esperado y la varianza del numero de mexicanos que migran a EEUU durante un periodo fijo de 10 semanas?
Yo pienso que tengo que armar la variable aleatoria: Numero de mexicanos que migran a EEUU, a partir de las otras dos variables aleatorias que son familias de mexicanos que migran a eeuu y numero de integrantes por familia, pero no me doy cuenta como armarla.
Desde ya se agredece cualquier tipo de ayuda.
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Gualicho
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Carrera: Informática
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Es basicamente lo que decias...Este ejercicio es un ejemplo de un proceso de Poisson compuesto.
Llamemos ![[tex]Y[/tex]](images/latex/d547c9ed7793c8e2979684d0228219d9e95b7ad0_0.png "[tex]Y[/tex]") a la cantidad total de Mexicanos que emigran, ![[tex]N[/tex]](images/latex/9448f45ac6411fffcdd92e407160ba4cbe13ce63_0.png "[tex]N[/tex]") a la cantidad de familias de mexicanos que emigran y ![[tex]X[/tex]](images/latex/b47736949a2a26fa60c778fc69b1a281d43b3a75_0.png "[tex]X[/tex]") a la cantidad de integrantes en una familia.
Con esa nomenclatura, podemos definir que ![[tex] Y= \sum_{i=1}^N X_i [/tex]](images/latex/f7d6b0a3806676728af0e7bc43a6716cf626c800_0.png "[tex] Y= \sum_{i=1}^N X_i [/tex]") .
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Lo que queremos es calcular ![[tex]E(Y)[/tex]](images/latex/f64268a8df53a4e9fe0da6e1c9d85c8c741fcd4c_0.png "[tex]E(Y)[/tex]") . La formula de esperanza condicional nos dice que ![[tex]E(Y)=E(E(Y|N))[/tex]](images/latex/86347b31c9209b0d89f8754b96316dd3f0620670_0.png "[tex]E(Y)=E(E(Y|N))[/tex]")
Ahora tenes que pensar que quiere decir ![[tex]E(Y|N)[/tex]](images/latex/53c699ccdeb1d3cae3b7ec344e90008df7f9d429_0.png "[tex]E(Y|N)[/tex]") . La esperanza quiere decir: "Dado un numero dado de familias ![[tex]n[/tex]](images/latex/8c7447db63092942e0a39cfe01d3d94174a89707_0.png "[tex]n[/tex]") , la cantidad de mexicanos que emigran son...". La respuesta a esto seria, la cantidad n de familias multiplicado por la media de mexicanos en cada familia, o sea:
![[tex]E(Y|N)=NE(X)[/tex]](images/latex/a83ba971fd7fbc4b132d5f8cae29dc625fed08eb_0.png "[tex]E(Y|N)=NE(X)[/tex]") .
La esperanza de X, la cantidad de personas por familia, la podes calcular directamente... te queda:
![[tex]E(X)=\frac{5}{2}[/tex]](images/latex/ffbdd4b5014adaeebc4b8a830bc4ae1ca44e6297_0.png "[tex]E(X)=\frac{5}{2}[/tex]") .
Vuelvo a la formula de esperanza de Y y tengo entonces:
![[tex]E(Y)=E(NE(X))=E(N\frac{5}{2})=\frac{5}{2}E(N)[/tex]](images/latex/3c3c559091c2bd46228b3f1e908f8c092dfc562c_0.png "[tex]E(Y)=E(NE(X))=E(N\frac{5}{2})=\frac{5}{2}E(N)[/tex]")
Recordando que N era una VA con dist Poission entonces:
![[tex]E(Y)=\frac{5}{2}E(N)=\frac{5}{2}\lambda t=\frac{5}{2}*2*10[/tex]](images/latex/9303e686bc0094351080b9ba2f715ea64ba2bac0_0.png "[tex]E(Y)=\frac{5}{2}E(N)=\frac{5}{2}\lambda t=\frac{5}{2}*2*10[/tex]") .
La parte de la varianza te la debo, pero tenes que hacer un desarrollo parecido partiendo de la formula de la varianza condicional que es la siguiente:
![[tex] V(Y(t)) = E(V(Y(t)|N(t))) + V(E(Y(t)|N(t))) [/tex]](images/latex/4ae83d02bc9d36f6b17108fb4f5b00ca6d87055e_0.png "[tex] V(Y(t)) = E(V(Y(t)|N(t))) + V(E(Y(t)|N(t))) [/tex]") que se puede demostrar que en este tipo de ejercicios (Proceso de Poisson Compuesto) termina siendo ![[tex] V(Y)=\lambda t E(X^2) [/tex]](images/latex/5c49d9514696d3526bf2fb8066fe4cb64ddba21f_0.png "[tex] V(Y)=\lambda t E(X^2) [/tex]")
Me parece que es asi...
Saludos.
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pankreas
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Carrera: Industrial
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Hola, yo lo planteé tal vez de una manera más sencilla, quiero saber si es igual de aceptable:
Tenemos las mismas variables
número total de mexicanos que migran en 10 semanas
número de mexicanos por familia que migra
número de familias de mexicanos que migran en 10 semanas (Poisson con ![[tex] \lambda [/tex]](images/latex/e815e88700856039ebb18af3fea4499499b937ed_0.png "[tex] \lambda [/tex]") =2, t=10)
Propongo ![[tex]Y=NX[/tex]](images/latex/610af3ab31730ccbfc415215dba11d2cc8cdea3f_0.png "[tex]Y=NX[/tex]") (es decir el producto entre número de familias y emigrantes por familia)
De modo que ![[tex] E(Y)=E(NX)=E(N)*E(X)=\frac52*\lambda*t = 50 [/tex]](images/latex/acf3c2219e99c640de0f92765aa8fc3df4cf3151_0.png "[tex] E(Y)=E(NX)=E(N)*E(X)=\frac52*\lambda*t = 50 [/tex]") vale porque N y X son independientes (por enunciado)
Ahora, ![[tex] Var(Y)=Var(NX)=E(N^2X^2)-(E(NX))^2 [/tex]](images/latex/beba36e862fb95feb49ab39ab202d5c6d679fd5c_0.png "[tex] Var(Y)=Var(NX)=E(N^2X^2)-(E(NX))^2 [/tex]")
Entonces de lo que no estoy seguro es que si N y X son independientes, vale que ![[tex] E(N^2X^2)=E(N^2)*E(X^2) [/tex]](images/latex/ae0171fffb4dde7aa7bac9f8003133ac370978c2_0.png "[tex] E(N^2X^2)=E(N^2)*E(X^2) [/tex]") con lo que se podría resolver el ejercicio. ¿Alguien sabe si esta propiedad es válida?
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Gualicho
Nivel 8
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| pankreas escribió:
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Hola, yo lo planteé tal vez de una manera más sencilla, quiero saber si es igual de aceptable:
Tenemos las mismas variables
número total de mexicanos que migran en 10 semanas
número de mexicanos por familia que migra
número de familias de mexicanos que migran en 10 semanas (Poisson con =2, t=10)
Propongo (es decir el producto entre número de familias y emigrantes por familia)
De modo que vale porque N y X son independientes (por enunciado)
Ahora,
Entonces de lo que no estoy seguro es que si N y X son independientes, vale que con lo que se podría resolver el ejercicio. ¿Alguien sabe si esta propiedad es válida?
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Creo que no. Aunque la media te de igual me parece que la varianza te da mayor. Es parecido a la diferencia que existe cuando sumas normales o multiplicas a una VAN por un coeficiente. No se puede plantear que Y=NX porque no todas las familias tienen la misma cantidad de integrantes.
Saludos.
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Gualicho
Nivel 8
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| Gualicho escribió:
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| pankreas escribió:
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Hola, yo lo planteé tal vez de una manera más sencilla, quiero saber si es igual de aceptable:
Tenemos las mismas variables
número total de mexicanos que migran en 10 semanas
número de mexicanos por familia que migra
número de familias de mexicanos que migran en 10 semanas (Poisson con =2, t=10)
Propongo (es decir el producto entre número de familias y emigrantes por familia)
De modo que vale porque N y X son independientes (por enunciado)
Ahora,
Entonces de lo que no estoy seguro es que si N y X son independientes, vale que con lo que se podría resolver el ejercicio. ¿Alguien sabe si esta propiedad es válida?
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Creo que no. Aunque la media te de igual me parece que la varianza te da mayor. Es parecido a la diferencia que existe cuando sumas normales o multiplicas a una VAN por un coeficiente. No se puede plantear que Y=NX porque no todas las familias tienen la misma cantidad de integrantes.
Saludos.
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Ejemplifico lo que me referia: es distinto el peso de una docena de huevos (cuyo peso varia de acuerdo a una dist normal) al peso de un huevo multiplicado por 12
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pankreas
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Antes que nada vos y yo pusimos N y X como cosas distintas, aclaro porque sino nos confundimos.
Yo tenía presente la diferencia, a la hora de operar con variables por ejemplo, que es distinto hacer 5X+3X que hacer 8X por el tema de la varianza que eleva coeficientes reales al cuadrado (como bien vos ejemplificás con la docena de huevos).
Para este caso no hay diferencias porque yo no estoy ''sacando cosas afuera de la varianza'', es hacer ![[tex]Var(\mathop{\sum}_{i = 1}^{N} X_{i})=Var(NX) [/tex]](images/latex/d5766c336c3d5a3016605be7498597cfe785b27e_0.png "[tex]Var(\mathop{\sum}_{i = 1}^{N} X_{i})=Var(NX) [/tex]") ya que a sumatoria es lo mismo que decir N veces X. La diferencia surje si N es un número real que multiplica la variable nueva, es decir no es lo mismo ![[tex]Var(\mathop{\sum}_{i = 1}^{8} X_{i})[/tex]](images/latex/0cf28756050101f21cbe1c743252fcefd0d19a5a_0.png "[tex]Var(\mathop{\sum}_{i = 1}^{8} X_{i})[/tex]") que ![[tex]Var(8X)[/tex]](images/latex/7d314c8cbc7883a8140b14003325d6e922ff6436_0.png "[tex]Var(8X)[/tex]") , eso lo tenemos claro. El tema acá es que N es otra variable.
Haciendo el procedimiento que se me ocurrió sería:
![[tex]Var(Y)=E(N^2X^2)-(E(NX)^2)=E(N^2)*E(X^2)-(E(NX)^2)=[Var(N)+E(N)^2]*[Var(X)+E(X)^2]-(E(NX)^2)=[\frac{11}{12}+ \frac{25}{4}]*[20+400]-2500=510 [/tex]](images/latex/155b17923b6820cb778b32ef209b8e22e694a326_0.png "[tex]Var(Y)=E(N^2X^2)-(E(NX)^2)=E(N^2)*E(X^2)-(E(NX)^2)=[Var(N)+E(N)^2]*[Var(X)+E(X)^2]-(E(NX)^2)=[\frac{11}{12}+ \frac{25}{4}]*[20+400]-2500=510 [/tex]")
En cambio, ![[tex]Var(Y)= \lambda t E(X^2)= \lambda t [Var(X)+E(X)^2]=20*(20+20^2)=8400 [/tex]](images/latex/54123986848dee84d15d58fff25e9d03a16768bb_0.png "[tex]Var(Y)= \lambda t E(X^2)= \lambda t [Var(X)+E(X)^2]=20*(20+20^2)=8400 [/tex]")
Repito que todo tiene sentido si la propiedad que dije más arriba es válida... De lo cual no estoy para nada seguro.
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pankreas
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| En el desarrollo volví a usar N como numero de mexicanos por familia y X como numero de familias.
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pankreas
Nivel 9
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Lo cuaaaaal dice que tu varianza da cerca de 144.
Sigo sin entender jajajajaj
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pankreas
Nivel 9
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| Mi desvío es casi el doble que el tuyo, sigo pensando donde está mal el planteo...
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Gualicho
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| pankreas escribió:
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Antes que nada vos y yo pusimos N y X como cosas distintas, aclaro porque sino nos confundimos.
Yo tenía presente la diferencia, a la hora de operar con variables por ejemplo, que es distinto hacer 5X+3X que hacer 8X por el tema de la varianza que eleva coeficientes reales al cuadrado (como bien vos ejemplificás con la docena de huevos).
Para este caso no hay diferencias porque yo no estoy ''sacando cosas afuera de la varianza'', es hacer ya que a sumatoria es lo mismo que decir N veces X. La diferencia surje si N es un número real que multiplica la variable nueva, es decir no es lo mismo que , eso lo tenemos claro. El tema acá es que N es otra variable.
Haciendo el procedimiento que se me ocurrió sería:
En cambio,
Repito que todo tiene sentido si la propiedad que dije más arriba es válida... De lo cual no estoy para nada seguro.
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A mi me sigue chocando la transformacion Y=NX. Aunque no sea un coeficiente y sea una VA, me parece que seguis estando en el mismo problema...
Podes preguntarlo en la clase de consulta que hay mañana...
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pankreas
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Eso haré, gracias igual 
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