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juani
Nivel 3
Registrado: 12 Oct 2009
Mensajes: 26
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Sea la curva C interseccion de las superficies S1 y S2 en primer cuadrante, conS1 : f(x; y; z): x+2z=1 y X(u,v)=(u, u(elevado al cuadrado); v), (u; v) pertenece a R2, una parametrizacion de S2.
Grafique la curva y encuentre los puntos de C donde el vector tangente es paralelo al plano
x + y + 4 z = 0.
NO SE COMO PUEDO HACER LA INTERSECCION DE ESAS SUPERFICIES, ALGUIEN ME PUEDE AYUDAR?¿
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J.R.
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leandrob_90
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Vos tenés:
![[tex]f(x,y,z): x+2z=1[/tex]](images/latex/f5789e3172660d307b7d3306590c2e382f5fcdde_0.png "[tex]f(x,y,z): x+2z=1[/tex]") un plano.
![[tex]X(u,v)=(u,u^2,v)[/tex]](images/latex/004503f6c7ae694ece5e9bc10fc883e6bb25e541_0.png "[tex]X(u,v)=(u,u^2,v)[/tex]") cilindro parabólico sobre z.
La curva intersección va a ser una especie de parábola (disculpá que sea todo de palabra, se que se puede pero no se como hacer grafiquitos).
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leandrob_90
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juani
Nivel 3
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| ah esta bien, pero la duda q tengo es como hacer los calculos
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J.R.
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leandrob_90
Nivel 9
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Necesitas el vector tangente a la curva intersección, que lo obtenés con el producto vectorial entre las normales de las superficies:
La normal de la superficie 1 es fácil, como es un plano te queda ![[tex]N_{S1}=(1,0,2)[/tex]](images/latex/00636ed5664c3d0b4909f590d78dda421763aa4e_0.png "[tex]N_{S1}=(1,0,2)[/tex]")
Y la normal de la superficie 2 la obtenés con el producto vectorial entre las derivadas de X respecto de u y de v: ![[tex]N_{S2}=X'u \times X'v=(2u,-1,0)[/tex]](images/latex/8326d34a9a42a7a27f9fe67f091334b739785de1_0.png "[tex]N_{S2}=X'u \times X'v=(2u,-1,0)[/tex]")
Ahora volvés a hacer el producto vectorial entre las normales y tenés el vector tangente a la curva punto por punto:
![[tex]V_{tg}=(1,0,2) \times (2u,-1,0)=(-2,-4u,1)[/tex]](images/latex/0384a73c4d5d1a61c09daad8b984dc9a53358c06_0.png "[tex]V_{tg}=(1,0,2) \times (2u,-1,0)=(-2,-4u,1)[/tex]")
De la parametrización sacamos que ![[tex]x=u[/tex]](images/latex/7c9e3decc06d315d556ac4138e0c13d0245f85b2_0.png "[tex]x=u[/tex]")
Entonces para que el vector tangente a la curva intersección sea paralelo al plano ![[tex]x+y+4z=0[/tex]](images/latex/84f794dbaabcce5dab1d22cc3cc7fe2e31d0edb0_0.png "[tex]x+y+4z=0[/tex]") , dicho vector tiene que ser ortogonal a la normal del plano, siendo esa normal: ![[tex]N_P=(1,1,4)[/tex]](images/latex/6b4920b1def72c0fb88d5ebc5b7ed3c286579ec0_0.png "[tex]N_P=(1,1,4)[/tex]") , entonces el producto escalar entre ambos debe dar 0.
.(1,1,4)=0[/tex]](images/latex/70d7c24c0d72f48f28bf30aeb5028fca457139ca_0.png "[tex](-2,-4x,1).(1,1,4)=0[/tex]") de aca sale el valor de ![[tex]x= \frac{1}{2}[/tex]](images/latex/510ec592fc73d9af1a249a17d961eb327a2a11ea_0.png "[tex]x= \frac{1}{2}[/tex]") , reemplazás en las otras ecuaciones y obtenés el punto.
Si hice bien los cálculos (espero que si), el punto es: ![[tex]P_0=(1/2,1/4,1/4)[/tex]](images/latex/4e80a266c9abc712b3e09935e2e4e0aa893a5d9b_0.png "[tex]P_0=(1/2,1/4,1/4)[/tex]") .
Hice los cálculos medio apurado, así que puede que le haya pifiado en algún número pero la idea de como resolver el ejercicio es esa: producto vectorial entre normales y escalar igualado a 0.
Espero haberte ayudado.
Saludos!
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leandrob_90
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juani
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Agus_carp89
Nivel 4
Edad: 35
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| leandrob_90 escribió:
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Ahora volvés a hacer el producto vectorial entre las normales y tenés el vector tangente a la curva punto por punto:
De la parametrización sacamos que
Entonces para que el vector tangente a la curva intersección sea paralelo al plano , dicho vector tiene que ser ortogonal a la normal del plano, siendo esa normal: , entonces el producto escalar entre ambos debe dar 0.
de aca sale el valor de , reemplazás en las otras ecuaciones y obtenés el punto.
Si hice bien los cálculos (espero que si), el punto es: .
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Entiendo todo excepto:
1) ¿Con que pàrametrización te das cuenta que x = u ?
2) Cuando obtenés x (o "u"), ¿en qué ecuaciones reemplazás para obtener el punto?
Gracias,
Saludos!
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LeePubli (testeando web que "te paga")
 14/02: Día de los enamorados.
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matthaus
Nivel 9
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Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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porq te dice ![[tex]X(u,v)=(u, u^2; v) [/tex]](images/latex/248218b0b776ded2d50978d12da7279c38016463_0.png "[tex]X(u,v)=(u, u^2; v) [/tex]")
entonces
![[tex]y=u^2[/tex]](images/latex/21b1d80e5210b66f7765f1414a9ce7d2ad2ae539_0.png "[tex]y=u^2[/tex]")
![[tex]z=v[/tex]](images/latex/ea0a08bd324531d943dbd55c01e4d1ba6137b706_0.png "[tex]z=v[/tex]")
es el cilindro parabolico ![[tex]y=x^2[/tex]](images/latex/3040ab6b4e8e3f33e7e414c727262f58d69d876b_0.png "[tex]y=x^2[/tex]")
(http://www.foros-fiuba.com.ar/viewtopic.php?t=12157)
entonces vector tg (multiplico las normales)
\times (2x,-1,0)=(-2,-4x,1)[/tex]](images/latex/f246356d34733fdc33f3f9810889586434d0d3a5_0.png "[tex](1,0,2)\times (2x,-1,0)=(-2,-4x,1)[/tex]") es tg a la curva C, que tiene q ser paralela al plano x+y+4z=0 entonces como dijeron, el vector tg y la normal son ortogonales:
\cdot (-2,-4x,1)=-2-4x+4=0[/tex]](images/latex/014932697faa71118f1a1a699bea200bc8a590d8_0.png "[tex](1,1,4)\cdot (-2,-4x,1)=-2-4x+4=0[/tex]") entonces te queda ![[tex]x=1/2[/tex]](images/latex/11d9ee1f6261157f1e24c35b135bc6ad69db2d29_0.png "[tex]x=1/2[/tex]")
ahora los puntos de la curva tienen la forma [/tex]](images/latex/9cc7ce9fdbce06f8d4e334000b1f2e4bccf1302a_0.png "[tex](x,x^2,1-x)[/tex]") fijate que haciendo la interseccion del plano con el cilindro te da la cond y ![[tex]z=1-x[/tex]](images/latex/8fc5c743a1449f9b9011e9a9ff533a8ba1dc0670_0.png "[tex]z=1-x[/tex]") entonces reemplazo el valor de x en la curva y te da el pto ![[tex]P=(1/2,1/4,1/2)[/tex]](images/latex/816b2c3370fecb8ed6d38467853c1028063211c2_0.png "[tex]P=(1/2,1/4,1/2)[/tex]")
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leandrob_90
Nivel 9
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Justo iba a responder y cuando puse la vista preeliminar vi que estaba tu mensaje, ahora no respondo nada  jajaja
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leandrob_90
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