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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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A ver si alguno me puede ayudar con este problema. Es el ejercicio 2 del segundo recuperatorio del cuatrimestre pasado.
http://materias.fi.uba.ar/6103/parciales/P6-8-09.pdf
Para la primera parte es lo que mas dudas se me generan. Porque para encontrar C y poder graficarla, paso S1 a cartesianas, pero no se bien que hacer con los intervalos de valores que toman u y v, es decir llego a que y= 1 + 2z^2 + x^2, pero no se si esto estara definido para todos los reales, o estara acotado, y si esta acotado entre que y que.
Y con unos graficos aproximados de ambas superficies podria definir la curva?? o tendria que volver a parametrizar en base a las dos ecuaciones en cartesianas?
La segunda parte sinceramente ni la pense, porque me quede con esto, asi que tampoco se muy bien que habria que hacer.
Espero que puedan ayudarme. Muchas gracias
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Freddy
Nivel 8
Edad: 34
Registrado: 29 Oct 2008
Mensajes: 630
Ubicación: Lanús
Carrera: Sistemas
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S1 en cartesianas te queda como dijiste:
y = 1 + x^2 + 2z^2
S2 en cartesianas te la dan:
x^2 + z^2 = 1
Si no me equivoco, estás en la intersección de un cilindro y un paraboloide elíptico, ambos sobre el eje y.
De S2 sacas que z pertenece a [-1,1].
ahora intersecas, y te queda:
y = 2+z^2
x^2= 1-z^2
Como z está en el intervalo [-1,1], y te pide hallar recta tangente al punto (1,2,0), podés despejar el cuadrado de x, y escribir la curva C en función de z.
Después buscas C'(z) / C(z) = (1,2,0) y te armás la recta tg
Creo que sería mas o menos así
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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| Muchas gracias. Lo que no me cierra todavia es esa condicion de que (u,v) pertenece a [0,2] x [-pi/2, pi/2]. En que momento la estaria usando?? Cuando defino S1 en cartesianas no me afecta en lo mas minimo eso??
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juani
Nivel 3
Registrado: 12 Oct 2009
Mensajes: 26
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| a mi me la recta tangente me dio: L: (x,y,z)= X(0,0,1) + (1,2,0) te dio algo parecido?
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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| nachito44 escribió:
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Muchas gracias. Lo que no me cierra todavia es esa condicion de que (u,v) pertenece a [0,2] x [-pi/2, pi/2]. En que momento la estaria usando?? Cuando defino S1 en cartesianas no me afecta en lo mas minimo eso??
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Lo usas cuando verificas que (1,2,0) pertenece a la superficie (porq pertenece a la curva interseccion) si igualas coordenada a coordenada, te van a quedar valores de u y v entre esos intervalos.. pero nada más. Si desparametrizas la superficie eso ya no lo usas mas.
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Mr. dark_neo666
Nivel 3
Edad: 36
Registrado: 30 Jul 2008
Mensajes: 47
Carrera: No especificada
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mira la parte primera parte te dice que u toma los valores entre 0 y 2
y v toma los valores entre -pi/2 y pi/2
solo te sirve para verificar que el punto encontrado en la interseccion entre s1 y s2 existe en el intervalo
despues seguis con lo que dice freddy
y el vector tangente lo puedo sacar haciando la normal 1 (producto vectorial) normal 2 = vector tangente
no lo hice creo que sale asi
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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| Pero al desparametrizar no habria que considerar dichos intervalos?? Podria pasar perfectamente que la curva interseccion no este completamente definida sino que este "cortada" no?? (aunque analizando en este caso creo que no pasa eso). No entiendo todavia porque esos intervalos no influyen al desparametrizar y si ni habria que justificar mas que paso a cartesianas y despejo, sin aclarar nada sobre dichos intervalos. Gracias nuevamente
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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| Perdon, agrego algo. Mr. dark_neo666 cuando dices lo de las normales, creo que como siempre para justificarlo seria bastante lio, al tener que definir nuevas funciones y calcular los respectivos gradientes o me equivoco??
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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Si lo pasas a cartesianas, verificas que el punto pertenezca a ambas superficies y listo. En el caso que no desparametrizes, tnes que ver para q valores de u y v dentro de ese intervalo se cumple. ES decir, si desparametrizas, seria como "generalizar" la superficie, o hacerlo de una manera mas amigable para poder usar el punto (que ya esta en un intervalo definido, en este caso de u y v que estan entre 0 y 2 y el otro entre pi etc)
Para hallar la curva interseccion, podes o parametrizar nuevamente la curva con las 2 superficies, o mas facil planteas como dijeron las normales a ambas superficies en el pto.
No es dificil definir una funcion, solo tnes que tner en cuenta la forma de definirlo. Vos "definis" una f que tiene dominio y codominio(es decir, aclaras el espacio de salida y de llegada, osea a donde va la imagen), presentas tus variables y decis cuanto vale la funcion. Ademas si queres calcularle derivadas parciales tnes que aclarar que es continua y tiene derivadas parciales continuas en el intervalo que quieras trabajar.
Te lo muestro como ejemplo en este ejercicio:
Desparametrizando la superficie S1 me queda ![[tex]x^2+2z^2=y-1[/tex]](images/latex/b7ec41b793480d48d77f2e9c0b8ed635c7c5f9d8_0.png "[tex]x^2+2z^2=y-1[/tex]")
entonces defino una ![[tex]f:R^3 \rightarrow R / f(x,y,z)= x^2+2z^2-y+1 , C1(Df)[/tex]](images/latex/de2a7ad42c9278d08657de11b4799bc2ed17e6a8_0.png "[tex]f:R^3 \rightarrow R / f(x,y,z)= x^2+2z^2-y+1 , C1(Df)[/tex]") por ser una funcion polinomica, como superficie de nivel 0 de S1 en un entorno del pto (1,2,0).
tomo a ![[tex]g:R^3 \rightarrow R / g(x,y,z)=x^2+z^2-1[/tex]](images/latex/b88fa383a438150084d258b43a52a130826fd583_0.png "[tex]g:R^3 \rightarrow R / g(x,y,z)=x^2+z^2-1[/tex]") tambien ![[tex]C1(Dg)[/tex]](images/latex/9f73e531c20770ac6c4e52bbc443b806ade1ddcb_0.png "[tex]C1(Dg)[/tex]") por lo que puedo calcular el gradiente de ambas funciones en un entorno del pto [/tex]](images/latex/b55f4f32ee08e34394ca3e89473f6bac4573cb66_0.png "[tex](1,2,0)[/tex]")
Ahora, si ambos gradientes son perpendiculares al conjunto(superficie) de nivel 0 de S1 y S2 respectivamente, entonces su producto vectorial sera perpendicular a ambos y por lo tanto, me define la direccion del vector tg a C.
![[tex]\nabla f (x,y,z) = (2x,-1,4z)[/tex]](images/latex/8b83ff5a47d9672c77173787f8f2e1d48dd5df66_0.png "[tex]\nabla f (x,y,z) = (2x,-1,4z)[/tex]") , en el pto  \nabla f (1,2,0)=(2,-1,0)[/tex]](images/latex/c1636fd0698887b4475dc7985e9f0995ca7e58e7_0.png "[tex](1,2,0) \nabla f (1,2,0)=(2,-1,0)[/tex]")
hago lo mismo con g, despues el prod vectorial y te queda el vector director de la recta tg.
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nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
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Muy buena explicacion y gracias a los demas. Ultima duda al respecto. Cuando hago el cambio a cartesianas, simplemente digo de que paso la superficie a su forma cartesiana?
Y eso de que estoy generalizando su forma en base al dominio antes restringido tambien lo pongo de alguna manera un poco formal? o solo con lo de cartesianas estoy?
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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| Podes, desparametrizo la superficie, o paso la sup a cartesianas, y listo.
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