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Josep
Nivel 5
Edad: 41
Registrado: 28 Sep 2008
Mensajes: 136
Ubicación: Almagro
Carrera: Informática
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Estudiando con unos compañeros surgió esta duda en el problema 2.c de la Guía VI (Ecuaciones diferenciales) de la práctica. Aclaro que la práctica que tenemos no es la edición nueva que sacaron este cuatrimestre en la cual este ejercicio fue ligeramente modificado (y con dicha modificación se llega a otro resultado).
El enunciado dice algo así como: (a) verificar que la funcion ![[tex]y(x)[/tex]](images/latex/416bdef31aca42642615cf7caa993ba5554759be_0.png "[tex]y(x)[/tex]") tal que ![[tex]x^2 + cy^2 = 1[/tex]](images/latex/cb9a28291c62745926b7d99f8dc0c18f55006617_0.png "[tex]x^2 + cy^2 = 1[/tex]") es solucion general de la ecuacion diferencial ![[tex]y' = \frac{xy}{x^2-1}[/tex]](images/latex/e0837bad4ec95631d30145e76e8207e684f35356_0.png "[tex]y' = \frac{xy}{x^2-1}[/tex]") y (b) determinar el valor de la constante de modo que satisfaga ![[tex] y(1) = 2[/tex]](images/latex/2eb2d537e92a5bd6bcb521eb5a93f00b0d9072af_0.png "[tex] y(1) = 2[/tex]") .
La resolución que propusimos es la siguiente:
Derivando la expresión queda ![[tex]2x + 2cyy' = 0[/tex]](images/latex/78cb1ae573e54d48db2ac7a322169046c2c63448_0.png "[tex]2x + 2cyy' = 0[/tex]")
Dividiendo por ![[tex]2[/tex]](images/latex/a3f0af37b561490534744a58bf7ca3b44dca2369_0.png "[tex]2[/tex]") toda la expresión queda ![[tex]x + cyy' = 0[/tex]](images/latex/4e5fa38f8d415d521140209058e3ec8a7e49981d_0.png "[tex]x + cyy' = 0[/tex]")
Despejo: ![[tex]y' = \frac{-x}{cy}[/tex]](images/latex/ed2148d55eccf4dedae93509e987d0bf16eb52b3_0.png "[tex]y' = \frac{-x}{cy}[/tex]") para todo ![[tex]c \neq 0[/tex]](images/latex/2d65af8dfaccf952b5c5ddb7929ab957656bf045_0.png "[tex]c \neq 0[/tex]") (1)
Para verificar (a) igualo lo obtenido en (1) con la ecuación diferencial propuesta: ![[tex]\frac{-x}{cy} = \frac{xy}{x^2-1}[/tex]](images/latex/ef3947c0c8b6f22495447f0a66db68a8907988ff_0.png "[tex]\frac{-x}{cy} = \frac{xy}{x^2-1}[/tex]")
Opero: ![[tex]-(x^2-1) = cy^2 \Rightarrow x^2 - cy^2 = 1[/tex]](images/latex/8a9d636887c5817e39728d8605766bbfb6ba41db_0.png "[tex]-(x^2-1) = cy^2 \Rightarrow x^2 - cy^2 = 1[/tex]") (2) y con esto verifico (a).
Para verificar (b) tomo (2), aplico la condición ![[tex]x=1, y=2[/tex]](images/latex/07fa0449d4e274910cbb6d6d766d844f0d04accf_0.png "[tex]x=1, y=2[/tex]") y me queda: ![[tex]1 = 4c + 1[/tex]](images/latex/9f8e430b6e8186c267347adfd35d5fb147db31c5_0.png "[tex]1 = 4c + 1[/tex]")
resto ![[tex]1[/tex]](images/latex/0d42976238de0a06e86d9145d61c6e5316420b70_0.png "[tex]1[/tex]") en ambos lados de la igualdad: ![[tex]0 = 4c + 0[/tex]](images/latex/1e5bd3356c0d6f12725c8c9ca2164ff272428116_0.png "[tex]0 = 4c + 0[/tex]")
divido por ![[tex]4[/tex]](images/latex/a9be7231cce8683c3d1338953f8625ce23dbaa4f_0.png "[tex]4[/tex]") en ambos lados de la igualdad y llego a que ![[tex]c = 0[/tex]](images/latex/f81fb1c47065f8b199a8a1a87b4c06fad26b1153_0.png "[tex]c = 0[/tex]") , lo cual se contradice con la condición que impuse en (1).
Estamos barajando 3 interpretaciones a este resultado:
- esto significa que no existe
![[tex]c[/tex]](images/latex/be9c3d50f54aca031d819fbe4d05ca6feeac5106_0.png "[tex]c[/tex]") tal que exista una solución particular para el punto dado en (b)
- fue un error de tipeo y por eso lo modificaron en la edición posterior y además esta rareza no va a aparecer en el coloquio
- significa otra cosa que no sabemos
De no aparecer una mejor oferta, aceptaremos la 2.
EDIT: Corregí un signo del enunciado que transcribí mal.
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Última edición por Josep el Mar Nov 10, 2009 7:46 pm, editado 1 vez
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federick88
Nivel 6
Registrado: 06 Feb 2008
Mensajes: 229
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La resolución que propusimos es la siguiente:
Derivando la expresión ![[tex]x^2 - cy^2 = 1[/tex]](images/latex/ac6b880d4bf78377c0f3e8a51c5648e9da501148_0.png "[tex]x^2 - cy^2 = 1[/tex]") queda
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Aca, porque sacaste el ![[tex]"-"[/tex]](images/latex/b266c6c1bae489dfa8c4c33a8a8962ec8384ad8f_0.png "[tex]\"-\"[/tex]") ?? no es ![[tex]"2x-2cyy'"[/tex]](images/latex/9f2437ee29accd2bdbdb1b7359c1b4bbf1bf7332_0.png "[tex]\"2x-2cyy'\"[/tex]") ??
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Josep
Nivel 5
Edad: 41
Registrado: 28 Sep 2008
Mensajes: 136
Ubicación: Almagro
Carrera: Informática
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| federick88 escribió:
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La resolución que propusimos es la siguiente:
Derivando la expresión queda
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Aca, porque sacaste el ?? no es ??
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En realidad me equivoqué transcribiendo el enunciado, que es , no . Ahora lo corrijo. Gracias por la observación.
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Florrr
Nivel 5
Edad: 35
Registrado: 08 Jul 2009
Mensajes: 164
Carrera: Electrónica
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fijate una cosa. mirando la derivada, vez que x tiene que ser distinto de 1, porque en ese punto la derivada no es continua...
tal vez tmp se corresponda el punto b con el a. o sea, te pueden decir verifica esto, y vos impones una condicion la cual es que c sea distinto de cero. despues en la parte b, con las condiciones que te dan te queda que c=0 y que por lo tanto el grafico tiene y constante, y x puede ser 1 o menos 1.
yo creo que mientras lo aclares no hay problema. estas haciendo lo que te piden.
igual por las dudas pregutna en clase.
saludos.
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Fighting on arrival, fighting for survival.
-*Johann Sebastian Mastropiero*-
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Josep
Nivel 5
Edad: 41
Registrado: 28 Sep 2008
Mensajes: 136
Ubicación: Almagro
Carrera: Informática
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| Florrr escribió:
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fijate una cosa. mirando la derivada, vez que x tiene que ser distinto de 1, porque en ese punto la derivada no es continua...
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¿Te referís a la la expresión ? No veo que haya problemas de continuidad en ![[tex]x = 1[/tex]](images/latex/2ab11b488c75348208a07c2c0d28fde7b79e0d31_0.png "[tex]x = 1[/tex]") .
| Florrr escribió:
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tal vez tmp se corresponda el punto b con el a. o sea, te pueden decir verifica esto, y vos impones una condicion la cual es que c sea distinto de cero. despues en la parte b, con las condiciones que te dan te queda que c=0
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Me hace un poco de ruido eso.
Si el enunciado tuviera solamente el punto (b), tendría que decir que la función dada es solución general de la ecuación diferencial. Se sobreentendería con eso que no hay restricciones para .
Pero el enunciado me pide demostrar que la función es SG de la ecuación diferencial. Yo lo demuestro y digo que sí es SG, pero siempre y cuando . Luego resuelvo el punto (b) tomando como hipótesis el punto (a) y llego a una conclusión que contradice mi hipótesis.
¿Está mal mi hipótesis? ¿Está mal alguno de los pasos? ¿Hay manera de que la expresión (1) me quede sin en el denominador? ¿Sería muy imaginativo que dijera que como es una constante cualquiera da lo mismo tener ![[tex]\frac{1}{c}[/tex]](images/latex/bfddec2b5b0a7b2df87d95be1a3b3a2fc58532e3_0.png "[tex]\frac{1}{c}[/tex]") que tener ?
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Izanagi
Nivel 7
Edad: 36
Registrado: 21 Ago 2008
Mensajes: 402
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¿Te referís a la la expresión ?
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No, se refiere a que la solucion general propuesta no es continua en x = 1.
![[tex]y = \frac{xy}{x^2-1}[/tex]](images/latex/c637de328c9135d3e0fa00703eebdb012589c722_0.png "[tex]y = \frac{xy}{x^2-1}[/tex]")
Ahora me entro la duda de que si puede existir una particular en ese punto =/
Como el martes no fui a FIUBA no pregunte, este jueves lo molesto hasta que alguien me de la respuesta que quiero oir.
Igual, me parece que nos hicimos mucho bardo al pedo.
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Josep
Nivel 5
Edad: 41
Registrado: 28 Sep 2008
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Ubicación: Almagro
Carrera: Informática
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| Izanagi escribió:
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| Cita:
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¿Te referís a la la expresión ?
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No, se refiere a que la solucion general propuesta no es continua en x = 1.
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Ah, ok. Igual me parece que no cambia en nada el planteo, ¿o sí?
| Izanagi escribió:
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Como el martes no fui a FIUBA no pregunte, este jueves lo molesto hasta que alguien me de la respuesta que quiero oir.
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Yo hoy voy a la teórica de Domínguez. No me puedo quedar a la práctica, pero si veo a algún ayudante dando vueltas le pregunto.
| Izanagi escribió:
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Igual, me parece que nos hicimos mucho bardo al pedo.
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Y sí. Igual no está mal para pensar un rato...
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Izanagi
Nivel 7
Edad: 36
Registrado: 21 Ago 2008
Mensajes: 402
Ubicación: Belgrano
Carrera: No especificada
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| Cita:
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Ah, ok. Igual me parece que no cambia en nada el planteo, ¿o sí?
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Hasta donde se no, ya que es la derivada la que no es continua. Si estuviera aplicado sobre la solucion general seria otra la historia.
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Y sí. Igual no está mal para pensar un rato...
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Para nada.
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Mr. dark_neo666
Nivel 3
Edad: 36
Registrado: 30 Jul 2008
Mensajes: 47
Carrera: No especificada
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| debe estar estar mal tipeado, lo hice y me da lo mismo
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