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Mensaje |
wombat
Nivel 3
Registrado: 11 Mar 2009
Mensajes: 44
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Gente, tengo dudas sobre como hacer un ejercicio de TL, si alguno me puede dar una mano se lo agradecería.
Muchas gracias.
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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
Registrado: 05 Abr 2008
Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
Carrera: Civil
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mmm...ahora me voy a poner a hacerlo, creo q se puede encarar viendo donde manda T a cad vectos de la base B.y a partir de esos datos armar H en funcion de lo que te pide...
cuando lo termine te cuento como me fue
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MLI + YO
1ra Ley Fundamental de la Fiuba: "In regno caeci, tortus est rex"
Comisión de Estudiantes de Ingeniería civil
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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
Registrado: 05 Abr 2008
Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
Carrera: Civil
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Bueno, lo acabo de hacer...creo que sale...
1) calculé como dije antes donde va a parar cada vector de la base
2) Armé con esos datos la matriz de la transformación T, a patir de ésta calculé el núcleo de T.
3) Como los vectores de la imagen más los del Nucleo forman una base, defino H de forma que los vectores de la imagen de T vayan al núcleo de T y los vectores de Nu vayan a la Im.
Si verificas las condiciones las cumple, ya que la composición da la identidad...
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MLI + YO
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gonzaloi
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 398
Carrera: No especificada
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La clave del ejercicio es entender que hay que usar la misma base B y transformarla usando el dato que nos dan sobre las coordenadas. Si uno entiende esto ya estaria porque armar la transformacion h no tiene mucha vuelta.
Bueno yo lo hice como CrisJ nada mas que no calcule la matriz de proyeccion ... y bueno , me quedo lo mismo que el:
Im( T ) lo mande al núcleo ( T )
Nu( T ) lo mande a la Im ( T ).
Lo unico que de esta forma (sin la matriz) no voy a poder escribir la transformacion de forma explicita, solo voy a poder escribirlo de forma implicita como haciamos en el CBC.
Si no se entiende , pregunta no mas . Saludos.
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cj_same
Nivel 4
Registrado: 26 Oct 2005
Mensajes: 109
Carrera: No especificada
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me siento como una gran tonta pero no puedo hacer este ejercicio... quiero decir que entiendo lo q me pide pero no entiendo bien el dato T(x)... como busco la imagen y el nucleo...
espero q alguien me pueda ayudar porque me estoy volviendo loca con este ejerc!
gracias! 
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Mafia
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 16 Ago 2008
Mensajes: 4451
Ubicación: en el Mafia-Movil
Carrera: Civil
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| en T(x) tenes q hacer distributiva y agrupar con las Equisces para cada v, depsues de ahi, esas equisces son las cordenadas
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Saludos, Ing. Mafia
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cj_same
Nivel 4
Registrado: 26 Oct 2005
Mensajes: 109
Carrera: No especificada
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| muchisiimas gracias!!!! me siento super tonta por preguntar esto!!
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friedrich
Nivel 9
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1628
Carrera: No especificada
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por favor avisen si encuentran algún error, yo lo plantie así:
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Como ![[tex]\mathbf{B = \{ v_1 , v_2 , v_3 , v_4 \} }[/tex]](images/latex/22b08c2d7310c14baacd4bfece96cca873c04067_0.png "[tex]\mathbf{B = \{ v_1 , v_2 , v_3 , v_4 \} }[/tex]") es base de ![[tex]\mathcal{V}[/tex]](images/latex/3bc0566060c72b1bc61f0beb6c3e561003f40dfc_0.png "[tex]\mathcal{V}[/tex]") , pasa que
![[tex] \forall x \in \mathcal{V} : \ \ x \doteq \ x_1 \ \mathbf{v_1} \ + \ x_2 \ \mathbf{v_2} \ + \ x_3 \ \mathbf{v_3} \ + \ x_4 \ \mathbf{v_4} [/tex]](images/latex/8b33494dbec1bb15003e569fdd8084e6ec051914_0.png "[tex] \forall x \in \mathcal{V} : \ \ x \doteq \ x_1 \ \mathbf{v_1} \ + \ x_2 \ \mathbf{v_2} \ + \ x_3 \ \mathbf{v_3} \ + \ x_4 \ \mathbf{v_4} [/tex]")
Entonces, como T es una transformación lineal se puede hacer
![[tex] \forall x \in \mathcal{V} : \\x = \mathbf{T(} x \mathbf{)} = \mathbf{T(} \ x_1 \ \mathbf{v_1} \ + \ x_2 \ \mathbf{v_2} \ + \ x_3 \ \mathbf{v_3} \ + \ x_4 \ \mathbf{v_4} \ \mathbf{)} \ = \\ = \ \ x_1 \ \mathbf{T(} \mathbf{v_1} \mathbf{)} \ + \ x_2 \ \mathbf{T(} \mathbf{v_2} \mathbf{)} \ + \ x_3 \ \mathbf{T(} \mathbf{v_3} \mathbf{)} \ + \ x_4 \ \mathbf{T(} \mathbf{v_4} \mathbf{)} \ [/tex]](images/latex/3dde7808da54fcd957bbffe9c217bea2bfb5d244_0.png "[tex] \forall x \in \mathcal{V} : \\x = \mathbf{T(} x \mathbf{)} = \mathbf{T(} \ x_1 \ \mathbf{v_1} \ + \ x_2 \ \mathbf{v_2} \ + \ x_3 \ \mathbf{v_3} \ + \ x_4 \ \mathbf{v_4} \ \mathbf{)} \ = \\ = \ \ x_1 \ \mathbf{T(} \mathbf{v_1} \mathbf{)} \ + \ x_2 \ \mathbf{T(} \mathbf{v_2} \mathbf{)} \ + \ x_3 \ \mathbf{T(} \mathbf{v_3} \mathbf{)} \ + \ x_4 \ \mathbf{T(} \mathbf{v_4} \mathbf{)} \ [/tex]")
Mediante las coordenadas de cada vector de la base (los cuales serían los vectores de la base canónica de erre tres) podemos encontrar el transformado de cada uno de estos.
![[tex]\mathbf{T(} \mathbf{v_1} \mathbf{)} \ = \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_4} \\ \mathbf{T(} \mathbf{v_2} \mathbf{)} \ = \ - \mathbf{v_2} \\ \mathbf{T(} \mathbf{v_3} \mathbf{)} \ = \ - \mathbf{v_1} \ + \ - \mathbf{v_4} \\ \mathbf{T(} \mathbf{v_4} \mathbf{)} \ = \ \mathbf{v_2} \\ [/tex]](images/latex/068c03e76b9de3a9f6717103fac0df01580b05ed_0.png "[tex]\mathbf{T(} \mathbf{v_1} \mathbf{)} \ = \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_4} \\ \mathbf{T(} \mathbf{v_2} \mathbf{)} \ = \ - \mathbf{v_2} \\ \mathbf{T(} \mathbf{v_3} \mathbf{)} \ = \ - \mathbf{v_1} \ + \ - \mathbf{v_4} \\ \mathbf{T(} \mathbf{v_4} \mathbf{)} \ = \ \mathbf{v_2} \\ [/tex]")
Como hay un teorema que dice que los transformados de una base del espacio de salida generan al espacio imagen de la transformación lineal, sabemos que
![[tex] Im(\mathbf{T}) \ = \ gen \{ \ \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_4} \ , \ \mathbf{v_2} \ \} [/tex]](images/latex/a7554e7920bba48e03f4c71add95f9655dea071c_0.png "[tex] Im(\mathbf{T}) \ = \ gen \{ \ \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_4} \ , \ \mathbf{v_2} \ \} [/tex]") (1)
es decir que,
![[tex] dim ( \ Im(\mathbf{T}) \ ) \ = \ 2 [/tex]](images/latex/1637bf417717b2be32ba0fb85a5f79779c81295c_0.png "[tex] dim ( \ Im(\mathbf{T}) \ ) \ = \ 2 [/tex]")
(observación: ![[tex] dim ( \ \mathcal{V} \ ) \ = \ 4 [/tex]](images/latex/272eb34fc9091ac513a983ce3a01d3ca01919deb_0.png "[tex] dim ( \ \mathcal{V} \ ) \ = \ 4 [/tex]") )
También podemos asegurar, por el teorema de las dimenciones, que
![[tex] dim ( \ Im(\mathbf{T}) \ ) \ + \ dim ( \ Im(\mathbf{T}) \ ) \ = dim ( \ \mathcal{V} \ ) [/tex]](images/latex/23c1cea39ad6115b7237fdac7ef81f686e0474cb_0.png "[tex] dim ( \ Im(\mathbf{T}) \ ) \ + \ dim ( \ Im(\mathbf{T}) \ ) \ = dim ( \ \mathcal{V} \ ) [/tex]")
entonces
![[tex] dim ( \ Nu(\mathbf{T}) \ ) \ = \ 2 [/tex]](images/latex/eb04a20e8ee1a9f500185fa4196fe8829c5c54eb_0.png "[tex] dim ( \ Nu(\mathbf{T}) \ ) \ = \ 2 [/tex]")
Además, de lo anterior se tiene que
![[tex] \mathbf{T(} \mathbf{v_1} \mathbf{)} \ + \mathbf{T(} \mathbf{v_3} \mathbf{)} \ = \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_4} \ - \ \mathbf{v_1} \ - \ \mathbf{v_4} = 0_{\mathcal{V}} \\ \Leftrightarrow ( \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_3} \ ) \in Nu(\mathbf{T})[/tex]](images/latex/0ce52328f54d051c87d22f8b0004e68b66cbafa6_0.png "[tex] \mathbf{T(} \mathbf{v_1} \mathbf{)} \ + \mathbf{T(} \mathbf{v_3} \mathbf{)} \ = \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_4} \ - \ \mathbf{v_1} \ - \ \mathbf{v_4} = 0_{\mathcal{V}} \\ \Leftrightarrow ( \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_3} \ ) \in Nu(\mathbf{T})[/tex]")
y por lo mismo
![[tex] \mathbf{T(} \mathbf{v_2} \mathbf{)} \ + \mathbf{T(} \mathbf{v_4} \mathbf{)} \ = \ - \ \mathbf{v_2} \ + \ \mathbf{v_2} = 0_{\mathcal{V}} \\ \Leftrightarrow ( \ \mathbf{v_2} \ + \ \mathbf{v_4} \ ) \in Nu(\mathbf{T})[/tex]](images/latex/7244a61a93ec8ac135757553e6d3d7268e447345_0.png "[tex] \mathbf{T(} \mathbf{v_2} \mathbf{)} \ + \mathbf{T(} \mathbf{v_4} \mathbf{)} \ = \ - \ \mathbf{v_2} \ + \ \mathbf{v_2} = 0_{\mathcal{V}} \\ \Leftrightarrow ( \ \mathbf{v_2} \ + \ \mathbf{v_4} \ ) \in Nu(\mathbf{T})[/tex]")
Entonces, como la dimensión del espacio nulo de la transformación lineal es 2, cualesquiera dos vectores l.i. que pertenezcan a ese espacio lo generan. Así,
![[tex] Nu(\mathbf{T}) \ = \ gen \{ \ \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_3} \ , \ \mathbf{v_2} \ + \ \mathbf{v_4} \ \} [/tex]](images/latex/572a4ed1db0fdb312a008495fe88e20a292261fb_0.png "[tex] Nu(\mathbf{T}) \ = \ gen \{ \ \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_3} \ , \ \mathbf{v_2} \ + \ \mathbf{v_4} \ \} [/tex]") (2)
Ahora se puede calcular H sin problemas. Voy a usar el teorema fundamental de las transformaciónes lineales para asignarle transformados a una base de ![[tex] \mathcal{V} [/tex]](images/latex/3c0b10a5795aad043cf6399ae2c4f2f7754e703c_0.png "[tex] \mathcal{V} [/tex]") de forma que se cumplan las hipótesis.
La segunda condición es muy simple. Le asigno los vectores de la imagen de T a cada vector del nucleo de esa función. Pero para la primera condición, que nos pide que el transformado del transformado de un vector sea éste mismo, invertimos la asignación por "pares". Esto es,
![[tex]\mathbf{H(} \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_3} \ \mathbf{)} \ = \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_4} \\ \mathbf{H(} \ \mathbf{v_2} \ + \ \mathbf{v_4} \ \mathbf{)} \ = \ \mathbf{v_2} \\ \mathbf{H(} \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_4} \ \mathbf{)} \ = \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_3} \\ \mathbf{H(} \ \mathbf{v_2} \ \mathbf{)} \ = \ \mathbf{v_2} \ + \ \mathbf{v_4} \\ [/tex]](images/latex/57adf89dd14b734748fd40ac0c76603bcafcab44_0.png "[tex]\mathbf{H(} \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_3} \ \mathbf{)} \ = \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_4} \\ \mathbf{H(} \ \mathbf{v_2} \ + \ \mathbf{v_4} \ \mathbf{)} \ = \ \mathbf{v_2} \\ \mathbf{H(} \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_4} \ \mathbf{)} \ = \ \mathbf{v_1} \ + \ \mathbf{v_3} \\ \mathbf{H(} \ \mathbf{v_2} \ \mathbf{)} \ = \ \mathbf{v_2} \ + \ \mathbf{v_4} \\ [/tex]")
Como ![[tex]\mathbf{B' = \{ \ v_1 \ + \ v_3 \ , \ v_2 \ + \ v_4 \ , \ v_1 \ + \ v_4 \ , \ v_2 \ \} }[/tex]](images/latex/45e701ec2a68b8f60ffa5ca92fecd5f0c0827916_0.png "[tex]\mathbf{B' = \{ \ v_1 \ + \ v_3 \ , \ v_2 \ + \ v_4 \ , \ v_1 \ + \ v_4 \ , \ v_2 \ \} }[/tex]") es base de entonces por el teorema fundamental podemos decir que H está bien definida.
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Sueño con una sociedad libre de cobardía intelectual
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