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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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Tengo una espantosa base de R a la 4x4 que me dicen que diseñe un PI para que sea ortonotmal. No pienso volverme chino haciendo todos los sistemas de ecuaciones o productos matriciales. ¿Se puede definir el PI con la matriz GB directamente y verificar todas las propiedades y chiches desde ahi? Porque si es ortonormal respecto de esa base, su matriz G es la identidad, y listo el pollo. Verifico las propiedades sabiendo que la función de coordenadas es biyectiva y bonita y no me altera nada, y luego me piden calcular el ángulo entre dos matrices, tampoco tendría problemas.
¿Eso puede llegar a enojar a alguien?? 
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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| Perdon, es base de R a la 2x2 (4 elementos), la matriz G es de 4x4
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Guido_Garrote
Moderador
Edad: 35
Registrado: 14 Oct 2007
Mensajes: 3319
Ubicación: AHÍ!
Carrera: Civil
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"Se puede hacer cualquier cosa mientras sea cierta"
Ahora, sabes como se hace?  Poné el ejercicio
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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Fijate que en la práctica hay un ejercicio que dice algo así:
Si B es una base de V y G es una matriz hermítica y definida positiva, entonces (u,v)=[u]_B^H * G * [v]_B es un producto interno en V.
Esto te habilita a definir productos internos en V a partir de la matriz de p.i. que querés que te quede en una determinada base B.
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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
Registrado: 05 Abr 2008
Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
Carrera: Civil
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| Si te entendí bien lo que pensás hacer, es exactamente lo que DEBES hacer.A nadie se le ocurriría plantear todas las ecuaciones.El unico cuidado que es que no te confundas después olvidandote que trabajás en coordnadas
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MLI + YO
1ra Ley Fundamental de la Fiuba: "In regno caeci, tortus est rex"
Comisión de Estudiantes de Ingeniería civil
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valle
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 09 Mar 2009
Mensajes: 145
Carrera: Civil
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| Si tendrias q hacer eso; ademas siempre q planteas a un p.i. tenes q verificar (q seria una especie de justificacion) que la matriz del producto interno sea definida positiva y simetrica.
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NielsHenrikAbel
Nivel 3
Edad: 35
Registrado: 27 Jun 2009
Mensajes: 52
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| Si la base es ortonormal con ese pi, entonces la matriz G en esa base es la identidad. Luego por un simple cambio de base sale la matriz en la base canónica. Después si te piden la fórmula es bastante simple.
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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| El tema es que ese cambio de base requiere buscar la inversa, y hacer un producto triple de matrices de 4x4. Si yo trabajo con la G que es la identidad y usando las funciones de coordenadas para demostrar las propiedades es mucho más facil.
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friedrich
Nivel 9
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1628
Carrera: No especificada
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Si no tenés un docente muy gorra, es suficiente expresar el PI como
![[tex] \mathbf{ (x,y) = C_B^H(x) \ G_B \ C_B(y) } [/tex]](images/latex/a5fd3732a3fbd3e31e7991c13b146fd7d18ee6fe_0.png "[tex] \mathbf{ (x,y) = C_B^H(x) \ G_B \ C_B(y) } [/tex]")
donde G es la identidad, osea
![[tex] \mathbf{ (x,y) = C_B^H(x) \ C_B(y) } [/tex]](images/latex/1488b2663c1bb8117480e4247c27ed24ee08b669_0.png "[tex] \mathbf{ (x,y) = C_B^H(x) \ C_B(y) } [/tex]")
Y entonces queda definido el P.I. por que la identidad es una matriz definida positiva.
Hay un teorema que dice que existe un P.I "![[tex] \mathbf{ ( \ . \ , \ . \ ) } [/tex]](images/latex/c891e74a58f61708768dfb0e702297193e9f788d_0.png "[tex] \mathbf{ ( \ . \ , \ . \ ) } [/tex]") " en el K-espacio vectorial V, si y sólo si se cumple, para todo x e y en V, y para cualquier B base de ese espacio, que
donde G es una matriz definida positiva.
La prueba podría ser:
(a) "si (->)".
Si admito la hipótesis que [tex] \mathbf{ (\.\,\.\) } [/tex] es P.I., entonces debe cumplir los cinco axiomas. En particular, el que establece que para todo x en V distinto a cero, ![[tex] \mathbf{ (x,x) > 0 } [/tex]](images/latex/1d360a14307ec35f36f95b6d3766b3453e283a3f_0.png "[tex] \mathbf{ (x,x) > 0 } [/tex]") y que ![[tex] \mathbf{ (x,x) = 0 \Leftrightarrow x = 0_V} [/tex]](images/latex/a24acbbddd2aaa0f0415ee4fcb7361ef2d0e33f4_0.png "[tex] \mathbf{ (x,x) = 0 \Leftrightarrow x = 0_V} [/tex]") . Como G es hermítica (por el axioma 3 del P.I), entonces por definición, G es una matriz definida positiva.
(b) "sólo si (<-)".
Falta nada más probar que se cumplen los axiomas 1 a 4, el 5 ya está probado en la parte de arriba.
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Lo más prolijo, igual, es buscar la definición propiamente dicha, osea calcular las coordenadas de un vector genérico del espacio v. y operar para expresar este P.I. a partir de los coeficientes:
![[tex] Sea \ \mathbf{ B = \lbrace v_1 , v_2 , v_3 , v_4 \rbrace } \ \ entonces \ para \ todo \ A \ en \ \mathbf{ R^{2x2} } \\\\\ \mathbf{ A = \left( \begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right) = \ \alpha \ \mathbf{v_1} \ + \ \beta \ \mathbf{v_2} \ + \ \gamma \ \mathbf{v_3} \ + \ \delta \ \mathbf{v_3} } [/tex]](images/latex/e91cff6273d65cb51c572fdeb90e690fb25fedb3_0.png "[tex] Sea \ \mathbf{ B = \lbrace v_1 , v_2 , v_3 , v_4 \rbrace } \ \ entonces \ para \ todo \ A \ en \ \mathbf{ R^{2x2} } \\\\\ \mathbf{ A = \left( \begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right) = \ \alpha \ \mathbf{v_1} \ + \ \beta \ \mathbf{v_2} \ + \ \gamma \ \mathbf{v_3} \ + \ \delta \ \mathbf{v_3} } [/tex]")
Después escribis ![[tex] \mathbf{ (x,y) } [/tex]](images/latex/46631ab1c30da15f30d0b5c6889f4b6b12b12b0e_0.png "[tex] \mathbf{ (x,y) } [/tex]") en función de a, b, c, d.
Como dijiste vos, verificar los axiomas (para probar que es P.I) es bastante más facil con las matrices y coordenadas, que con la definición estricta.
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Sueño con una sociedad libre de cobardía intelectual
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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Exacto, hoy mismo le pregunté a Alvarez y efectivamente se puede, la propiedad 4 la demostras usando las coordenadas de los vectores aclarando que vale porque la funcion de coord es biyectiva.
thanks
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