| Autor |
Mensaje |
lutzo
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 19 Sep 2007
Mensajes: 66
Ubicación: Caballito
Carrera: Naval
|
|
Buenas
rindo análisis III (B) el martes y me quedaron un par de ejercicios de parciales que no me salen, si alguno me puede decir cómo se hace alguno de ellos me vendría barbaro. gracias.
1) Probar que ![[tex]\forall m \in ,si z_0[/tex]](images/latex/fc172381870e54c96d630a6d0cf78462a7219f93_0.png "[tex]\forall m \in ,si z_0[/tex]") es cero de orden m de f, entonces, ![[tex] z_0[/tex]](images/latex/92c3447f53034c22dd52400de5fe41890b959ae5_0.png "[tex] z_0[/tex]") es cero de orden m-1 de f'. O sea, sé que es cierto, pero no sé cómo demostrarlo.
2) Sea f entera tal que ![[tex]\left| {f\left( z \right)} \right| \le k\left| z \right|{\rm{ }}\forall z{\rm{ tal que }}\left| z \right| > R.[/tex]](images/latex/15ce89a57e88217360e059bcffcb626a7f9827ec_0.png "[tex]\left| {f\left( z \right)} \right| \le k\left| z \right|{\rm{ }}\forall z{\rm{ tal que }}\left| z \right| > R.[/tex]") Probar que ![[tex]f\left( z \right) = az + b,{\rm{ }}a,b \in[/tex]](images/latex/fbf19e254fa6e5bb1fbf695a3fb3fb24896c3449_0.png "[tex]f\left( z \right) = az + b,{\rm{ }}a,b \in[/tex]")
3) Analizar si ![[tex]f\left( z \right) = \exp \left( { - z^2 } \right).\cos \left( {\frac{1}{z}} \right)[/tex]](images/latex/19aed0a031340d246f8070aef1b305f379602cb6_0.png "[tex]f\left( z \right) = \exp \left( { - z^2 } \right).\cos \left( {\frac{1}{z}} \right)[/tex]") admite desarrollo de Laurent en potencias de z. En caso afirmativo determinar la región de validez de dicho desarrollo y si éste tiene infinitos términos con exponentes positivos y/o negativos. El problema acá es el siguiente, es fácil de ver que si admite Laurent en potencias de z, pues sólo hay dos singularidades: 0 e ![[tex]\infty[/tex]](images/latex/1424036b3c858832ad97a2710db0e7a6baf131b9_0.png "[tex]\infty[/tex]") , pero mi pregunta es, la región de válidez no puede ser una circunferencia centrada en el origen de radio infinito, no? pues justamente hay una singularidad en . Entonces la respuesta sería que la región de válidez es ![[tex]\forall z{\rm{ tal que }}\left| z \right| \le r < \infty[/tex]](images/latex/01a290fd6e26658719e1667473c0f9e3697664b4_0.png "[tex]\forall z{\rm{ tal que }}\left| z \right| \le r < \infty[/tex]") ?
4) Hallar ![[tex]\int\limits_C {\frac{{z^2 }}{{\sin ^2 z}}dz}[/tex]](images/latex/c8c0fbe0cc2ea015cbdbf996bda53645230f2cac_0.png "[tex]\int\limits_C {\frac{{z^2 }}{{\sin ^2 z}}dz}[/tex]") siendo C el cuadrado de vértices ![[tex]4 \pm 4i[/tex]](images/latex/bfbce3251d37047c1b6b4ee99551426776ac2ffc_0.png "[tex]4 \pm 4i[/tex]") y ![[tex]-4 \pm 4i[/tex]](images/latex/722c2b3a14270f68a14354aa52feb78ae07e5a38_0.png "[tex]-4 \pm 4i[/tex]") . Acá no puedo calcular los residuos de ![[tex]\pi[/tex]](images/latex/a66520914b4c74136c2f22f2bf167c0c63378abf_0.png "[tex]\pi[/tex]") y ![[tex]-\pi[/tex]](images/latex/4d31c54fcf3461f58a5444b8adfd273fb0282ec2_0.png "[tex]-\pi[/tex]") (que es la única forma que se me ocurrió de calcular la integral), el de cero si no me equivoco daba 0.
5) Sea u armónica en un conjundo D abierto y simplemente conexo. Probar que ![[tex]u\left( {x_0 ,y_0 } \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {u\left( {x_0 + r\cos \theta ,y_0 + r\sin \theta } \right)} d\theta [/tex]](images/latex/d1c98a191c4e1e05ecf5f76bcb76065c68adf5a1_0.png "[tex]u\left( {x_0 ,y_0 } \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {u\left( {x_0 + r\cos \theta ,y_0 + r\sin \theta } \right)} d\theta [/tex]") cualquiera sea r con ![[tex]B_r \left( {x_0 ,y_0 } \right) \subset D[/tex]](images/latex/96724d685c7bdfdd567939eb3f744ca58ce47749_0.png "[tex]B_r \left( {x_0 ,y_0 } \right) \subset D[/tex]")
6) Demostrar que si f es una funciónentera tal que ![[tex]\left| {f\left( z \right)} \right| \ge \frac{1}{2}{\rm{ }}\forall z \in C[/tex]](images/latex/7d4ab0b242faccc983bbcc93dc643bc55caa0e63_0.png "[tex]\left| {f\left( z \right)} \right| \ge \frac{1}{2}{\rm{ }}\forall z \in C[/tex]") entonces es constante.
7) Sea ![[tex]f\left( z \right) = \frac{{h\left( z \right)}}{{g\left( z \right)}}[/tex]](images/latex/cce0e86fe3936d6a8621f93dfca8121bf7bc0831_0.png "[tex]f\left( z \right) = \frac{{h\left( z \right)}}{{g\left( z \right)}}[/tex]") con h y g holomorfas en un entorno de ![[tex]z_0, h(z_0)\ne0[/tex]](images/latex/af08c9c2f454a7fe369d0e6415e23b798dc29a62_0.png "[tex]z_0, h(z_0)\ne0[/tex]") , y ![[tex]z_0[/tex]](images/latex/d36068ae66f99f35c86c062d9483c8e4de226b51_0.png "[tex]z_0[/tex]") cero simple de g. Demostrar que es polo simple de f.
8 ) Sea D abierto y conexo y ![[tex]z_0 \in D[/tex]](images/latex/747c068d877bea074a8012fd7739c95c35b8616e_0.png "[tex]z_0 \in D[/tex]") . ¿Es posible hallar una función de D en C holomorfa que cumpla ![[tex]f(z_0)=1+2i[/tex]](images/latex/f73343e5466ca781864186ece27f69165b5c337a_0.png "[tex]f(z_0)=1+2i[/tex]") y ![[tex]\left| f \right| \equiv \sqrt 5[/tex]](images/latex/d01fa45288ee9b1f1df9204ca7a077e938840955_0.png "[tex]\left| f \right| \equiv \sqrt 5[/tex]") en D?. En caso afirmativo, exponer todas las que lo cumplen. Acá mi pregunta es si hay alguna otra solución aparte de que f sea constante.
Sé que son muchos ejercicios distintos, así que no espero que me respondan todos, pero si pueden tirarme la solución de algunos lo agradecería mucho. De todas formas gracias igual.
Saludos, Lucho.
|
|
|
|
|
|
   |
     |
|
lutzo
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 19 Sep 2007
Mensajes: 66
Ubicación: Caballito
Carrera: Naval
|
|
| Me olvidé de aclarar, el problema 6 sería fácil si en lugar de >= dijese <=, pues saldría por Liouville. Tengo mis dudas de si no será que lo corrigieron en el parcial o algo así.
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
|
|
Lucho, te tiro algunas sugerencias.
Para el 1., depende de qué definición manejes de cero de orden m. Una posible (por supuesto equivalente a cualquier otra que tengas) es: zo es un cero de orden m de la función analítica f(z) si f(z)=(z-zo)^mg(z) con g(z) analítica en zo y g(zo) no nula. Luego, derivando a ambos lados podés ver que f'(z)=(z-zo)^{m-1}h(z) con h(z) analítica en zo y h(z0) no nula.
Para el 2 tenés que probar que la segunda derivada de f(z) es nula en todo z. Para ello tenés que usar la fórmula integral de Cauchy de la 2da derivada, y usar la acotación sobre f para probar que la integral es nula (similar a la demostración del Teorema de Liouville).
Para el 3. hay que usar que z=0 es una singularidad aislada esencial (ya que no existe límite finito ni infinito cuando z->0). Luego f admite un desarrollo en serie de Laurent con infinitas potencias negativas, el cual converge en |z|>0, porque z=0 es la única singularidad en C.
El 4 es de cuentas, que te las dejo. Las singualridades son polos dobles con excepción del origen (que es evitable).
En el 5. usa que existe v(x,y) tal que f=u+iv es analítica y luego la fórmula integral de cauchy para calcular f en x0+iy0 (parametrizando la circunferencia |z-z0|=r.
Para el 6 usá que 1/f es entera y acotada.
Pra el 7 usá que z0 es polo simple de f si y sólo si f-->oo cuando z-->zo y (z-z0)f-->L cuando z-->z0 con L no nulo y que g/(z-zo)-->K cuando z-->zo con K no nulo, pues zo es cero simple de g.
En el 8, por el teorema del módulo máximo, si |f| es constante en D y D es simplemente conexo, entonces f es constante. Por lo tanto hay una sola f que cumpla lo pedido.
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
|
|
| Para el 4. se me ocurre (pero no hice ninguna cuenta para verificarlo) que como la función es par quizá puedas probar que la integral es nula con esta idea: reemplazá la curva C por una circunferencia |z|=R que encierre las mismas singularidades. Hacé el cambio de variable w=-z y comprobá que queda la misma integral cambiada de signo. Con lo cual la integral tiene que ser nula.
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
lutzo
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 19 Sep 2007
Mensajes: 66
Ubicación: Caballito
Carrera: Naval
|
|
| buenisimo, me re sirvió, gracias jorge, ahora me voy a probar eso. beso
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
Ver tema siguiente
Ver tema anterior
Podés publicar nuevos temas en este foro
No podés responder a temas en este foro
No podés editar tus mensajes en este foro
No podés borrar tus mensajes en este foro
No podés votar en encuestas en este foro
No Podéspostear archivos en este foro
No Podés bajar archivos de este foro
|
Todas las horas son ART, ARST (GMT - 3, GMT - 2 Horas)
Protected by CBACK CrackerTracker365 Attacks blocked.
|
|
|
[ Tiempo: 0.3711s ][ Pedidos: 20 (0.2582s) ] |
