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valle
Nivel 5
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Carrera: Civil
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Hola el ejercicio q me complico es el quinto de este parcial : http://wiki.foros-fiuba.com.ar/materias:61:03:final_20080707_1
el campo F no admite potencial, por lo q tengo q ver como es la curva. la curva me queda en forma implicita dependiendo de x, pero no puedo parametrizarla. la curva no es cerrada por lo q no encierra directamente ninguna superficie, no se si con otra curva podria llegar ser el borde de alguna sup porq no la conozco.
ya que estamos tiro las otras respuestas q me dieron para comparar:
1) area(s)= 16pi/(3. (3)^(1/2))
2) (0,0) max, (1,1) algo ¿max relat o min rel? (-1,-1)min
3)circulacion de F a lo largo de c es pi
4) r=8/3
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balle
Nivel 3
Edad: 33
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fijate, no se como a vos te quedo la solución de la edo, pero a mi me quedo:
![[tex]\frac{1}{4}(x^4+2x^2+y^4)=-1[/tex]](images/latex/968b6678726630e0cd05b8d2cadc93d9c4c2d6d6_0.png "[tex]\frac{1}{4}(x^4+2x^2+y^4)=-1[/tex]")
cosa que podes simplificar a
![[tex]x^2+y^2=\frac{1}{2}[/tex]](images/latex/d51f7cfacf442ce3c3f19c99c21fdcd5ae9e0d7c_0.png "[tex]x^2+y^2=\frac{1}{2}[/tex]")
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balle
Nivel 3
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perdon, me quedo ![[tex]\frac{1}{4}(x^4+2x^2y^2+y^4)=-1[/tex]](images/latex/3ec87a8ad7b7f27d3367e882c497a76c7393d68b_0.png "[tex]\frac{1}{4}(x^4+2x^2y^2+y^4)=-1[/tex]")
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CrisJ
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balle
Nivel 3
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sin el menos 
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balle
Nivel 3
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| hay q parametrizarlo y resolver una integral de linea comun y silvestre
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CrisJ
Colaborador
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balle
Nivel 3
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y haciendo stokes no sale?, porq aparece ![[tex]\frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy}[/tex]](images/latex/bf5d27a19ceadf53e3cb2a77fa5f3664514e0148_0.png "[tex]\frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy}[/tex]") y se te va el seno.
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CrisJ
Colaborador
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friedrich
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La expresión figura en el teorema de Green (que además es el que van a tener que usar ya que se trata de un campo en ![[tex]R^2[/tex]](images/latex/f572ed46ab129eee7bf8dfc7f64111020de1fcfc_0.png "[tex]R^2[/tex]") ). si alguien de las pocas personas que lean todo el desarrollo encuentra errores por favor avise.
Enunciado.
Sea “sigma” la solución del problema de valor inicial:  dx + ( x^2y + y^3 ) dy = 0[/tex]](images/latex/1c78c33ee6e145f199c7fa6e54d0eb4108cd6239_0.png "[tex]( x^3+xy^2 ) dx + ( x^2y + y^3 ) dy = 0[/tex]") ; siendo ![[tex]y(0)=1[/tex]](images/latex/da9248e03fdc6381a2a70b07cc2c759d657f4d4e_0.png "[tex]y(0)=1[/tex]") . Calcular la circulación del campo: ![[tex]F(x,y)=(-y+x^2 sen^3(x) , x + 3y^2 )[/tex]](images/latex/ce0b0061e875561eb27f7caebd95097fc3554eb9_0.png "[tex]F(x,y)=(-y+x^2 sen^3(x) , x + 3y^2 )[/tex]") a lo largo de la curva “sigma” entre los puntos ![[tex]P1=(0,1)[/tex]](images/latex/8ae82b2609ef4bbc91b4033a6458c230276d383f_0.png "[tex]P1=(0,1)[/tex]") y ![[tex]P2=(0,-1)[/tex]](images/latex/f6ebd37b026a8327c6ef2305ee619612d9db8d70_0.png "[tex]P2=(0,-1)[/tex]") .
Solución.
respecto a la EDO tenemos que, si llamamos
![[tex]P(x,y) = (x^3)+x(y^2)[/tex]](images/latex/c9b4636f9b2a2dcd4f22ca93b43b64280e835e8e_0.png "[tex]P(x,y) = (x^3)+x(y^2)[/tex]")
![[tex]Q(x,y) = (x^2)y + (y^3) [/tex]](images/latex/2ede7e05c5de6badc9f225ace6034344f0d3a5d1_0.png "[tex]Q(x,y) = (x^2)y + (y^3) [/tex]")
entonces es como quien dice P dx + Q dy = 0, y se puede observar que P, Q son C^1(R2) dibde el dominio de ambas es abierto y simplemente conexo, además de que se cumple
![[tex]P'y(x,y) = Q'x(x,y) = 2xy[/tex]](images/latex/2c1464cdd35d8b283f9b33a25f6a860f7e07845b_0.png "[tex]P'y(x,y) = Q'x(x,y) = 2xy[/tex]")
por lo que se trata de una "diferencial total exacta".
por ello, puede afirmarse que existe una función (llamemosla) ![[tex] \varphi \colon \mathbf R^2 \longmapsto \mathbf R[/tex]](images/latex/73eb05642479420f59548de86c3004bfc650c89e_0.png "[tex] \varphi \colon \mathbf R^2 \longmapsto \mathbf R[/tex]") tal que ![[tex]\varphi 'x(x,y) = P(x,y)[/tex]](images/latex/7eb9f05e1046d4625d2e132a8318fb7d4c603875_0.png "[tex]\varphi 'x(x,y) = P(x,y)[/tex]") y que ![[tex]\varphi 'y(x,y) = Q(x,y)[/tex]](images/latex/a924e6f7c972ef473528cb2c9ea01bc6aa5a2429_0.png "[tex]\varphi 'y(x,y) = Q(x,y)[/tex]") .
como, por lo que nos decía el enunciado
![[tex]\varphi 'x(x,y) dx + \varphi 'y(x,y) dy = 0[/tex]](images/latex/1666141e6f4a7e67c0457f0efb8a84b85504b3ad_0.png "[tex]\varphi 'x(x,y) dx + \varphi 'y(x,y) dy = 0[/tex]")
![[tex]d\varphi (x,y) = 0[/tex]](images/latex/ba692f766860b9f2f2b7334950b32dbafeda3dd5_0.png "[tex]d\varphi (x,y) = 0[/tex]")
![[tex]\varphi (x,y) = C [/tex]](images/latex/882374532f1bfd3d3fb8cb4c9937a33d008149a1_0.png "[tex]\varphi (x,y) = C [/tex]") (1)
con C una constante en R.
por el teorema fundamental del cálculo que siempre cita acero, y que lo pueden ver acá, se cumple que
![[tex]\varphi (x,y) = \int\ \varphi 'x(x,y) \ dx = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2y^2 + k(y)[/tex]](images/latex/28f6fe3628feed95c37b709de93dea5707952f49_0.png "[tex]\varphi (x,y) = \int\ \varphi 'x(x,y) \ dx = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2y^2 + k(y)[/tex]")
y que
![[tex]\varphi (x,y) = \int\ \varphi 'y(x,y) \ dx = \frac{1}{4}y^4 + \frac{1}{2}x^2y^2 + q(x)[/tex]](images/latex/a716722743a48242f48f78e2e7f9162bb05bb78f_0.png "[tex]\varphi (x,y) = \int\ \varphi 'y(x,y) \ dx = \frac{1}{4}y^4 + \frac{1}{2}x^2y^2 + q(x)[/tex]")
luego
![[tex]\varphi (x,y) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{4}y^4 + \frac{1}{2}x^2y^2 [/tex]](images/latex/df67b639d1dba25db64b1552d0b095172e1e228a_0.png "[tex]\varphi (x,y) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{4}y^4 + \frac{1}{2}x^2y^2 [/tex]")
(observación: debería aparecer sumando una constante, pero ésta se termina asociando a ![[tex]\varphi (x,y) [/tex]](images/latex/9915dac151a3b5bfcaacea0b5d66f4b675094720_0.png "[tex]\varphi (x,y) [/tex]") ya que, como quedo establecido en (1) se trata de una constante)
entonces podemos establecer la relación
![[tex]C = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{4}y^4 + \frac{1}{2}x^2y^2 [/tex]](images/latex/5a67a8a0a33a01d268984dca339f76578f18d30f_0.png "[tex]C = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{4}y^4 + \frac{1}{2}x^2y^2 [/tex]")
cuya constante ![[tex]C[/tex]](images/latex/f080822e4599409bd2523af830d42a915043dcd8_0.png "[tex]C[/tex]") queda determinada por :
![[tex]C = \frac{1}{4} [/tex]](images/latex/95b5006bb41547a9ba2f8232c0e8058d34bbedd4_0.png "[tex]C = \frac{1}{4} [/tex]")
entonces
![[tex]\frac{1}{4} = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{4}y^4 + \frac{1}{2}x^2y^2 [/tex]](images/latex/fb89d2c8574f5a398a1768ba5499aa66d31d871b_0.png "[tex]\frac{1}{4} = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{4}y^4 + \frac{1}{2}x^2y^2 [/tex]")
![[tex]1 = x^4 + y^4 + 2x^2y^2 [/tex]](images/latex/7b348457e5371e0f0607b176cb6c7de022217e45_0.png "[tex]1 = x^4 + y^4 + 2x^2y^2 [/tex]")
![[tex]H : 1 = ( x^2 + y^2 )^2 [/tex]](images/latex/db040b68a8030914ae44840e42a9ea070495ef79_0.png "[tex]H : 1 = ( x^2 + y^2 )^2 [/tex]")
ahora bien, si querémos conseguir la circulación del campo a lo largo de la curva ![[tex]H[/tex]](images/latex/b616a5d19faf71321739948165b700eef2683ac0_0.png "[tex]H[/tex]") , podemos plantear, mediante Green
![[tex]\int\limits_{dK} \ F t dl = \iint\limits_K \ \frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy} \ dx dy [/tex]](images/latex/c1ebc5a7eb02405712b5bfea270a62e1c69d17d1_0.png "[tex]\int\limits_{dK} \ F t dl = \iint\limits_K \ \frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy} \ dx dy [/tex]")
entre los puntos y la curva describe un semicirculo. para que se trate de una curva cerrada (que es el requisito para utilizar este teorema, debemos agregar la curva ![[tex] L [/tex]](images/latex/4a7e6af1e5a65bdcdb07dad8bc4aee5adb8e0872_0.png "[tex] L [/tex]") que parametrizamos por ![[tex] L : g(t) = (0,t) [/tex]](images/latex/1396ca18782d7a4433192e3c9bf53805b9e74605_0.png "[tex] L : g(t) = (0,t) [/tex]") que describe la recta que "cierra" al semicirculo K entre los puntos de arriba.
quedaría
![[tex]\int\limits_H \ F t dl + \int\limits_L \ F t dl = \iint\limits_K \ ( \frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy} ) \ dx dy [/tex]](images/latex/3d99f815a8c0021dd141e8c31443b756de6db54a_0.png "[tex]\int\limits_H \ F t dl + \int\limits_L \ F t dl = \iint\limits_K \ ( \frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy} ) \ dx dy [/tex]")
entonces para obtener la circulación de que es lo que nos están pidiendo, primero calculamos las otras dos.
la integral doble que aparece en el segundo termino de la ecuación, se simplifica notablemente cuando vemos que, para
se tiene
![[tex] \frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy} = 1 - (-1) = 2 [/tex]](images/latex/3013cb177506959d2afc193da73a176eb042b4ab_0.png "[tex] \frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy} = 1 - (-1) = 2 [/tex]")
entonces
![[tex] \iint\limits_K \ ( \frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy}) \ dx dy = 2 \iint\limits_K \ dx dy = 2 \frac{1}{2} \pi = \pi [/tex]](images/latex/2fe448a096666193a723b72d8ed9c3debdd2f8cf_0.png "[tex] \iint\limits_K \ ( \frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy}) \ dx dy = 2 \iint\limits_K \ dx dy = 2 \frac{1}{2} \pi = \pi [/tex]")
y tenemos que
![[tex]F(g(t)) = (-t , 3t^2 )[/tex]](images/latex/a8011376ea85e54563af67efe70e5b2232dd75be_0.png "[tex]F(g(t)) = (-t , 3t^2 )[/tex]")
y ademas el vector tangente a ![[tex]g(t)[/tex]](images/latex/fc117f90b2f0fd4530491712329ae8b26ef1db15_0.png "[tex]g(t)[/tex]") en todo punto de la recta seria: ![[tex]g'(t) = ( 0 , 1 ) [/tex]](images/latex/138b472913cb4dfb4e4536a8cfb7a7e971d902ad_0.png "[tex]g'(t) = ( 0 , 1 ) [/tex]")
por lo que
![[tex] \int\limits_L \ F(g(t)) g'(t) dt = \int\limits_L \ 3t^2 dt = [t^3] = 2 [/tex]](images/latex/8a0893c7ee355a483b609d1c78af0bdd809c7fb4_0.png "[tex] \int\limits_L \ F(g(t)) g'(t) dt = \int\limits_L \ 3t^2 dt = [t^3] = 2 [/tex]")
cuyos límites de integración serían -1 a 1. por lo que me termina quedando
ahora bien, es necesario invertir los flujos de y de ![[tex]L[/tex]](images/latex/bf1e3168ff93ce6ae8adc13c43870dcee9c0b2e6_0.png "[tex]L[/tex]") ya que su orientación, como están dispuestos ahora, corresponden a bordear a ![[tex]K[/tex]](images/latex/3c31f3404a91311bb4be7cec9d49bb510d592d34_0.png "[tex]K[/tex]") orientado de forma horaria, y por terna derecha necesitamos orientarla en sentido anti-horario.
por lo mismo tenemos que
![[tex]- \int\limits_H \ F t dl - \int\limits_L \ F t dl = \iint\limits_K \ ( \frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy} ) \ dx dy [/tex]](images/latex/fa441762b3758a36e1a1f78041bb65a31726c17d_0.png "[tex]- \int\limits_H \ F t dl - \int\limits_L \ F t dl = \iint\limits_K \ ( \frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy} ) \ dx dy [/tex]")
entonces la respuesta
![[tex]\int\limits_H \ F t dl = 2 - \pi [/tex]](images/latex/1d2d8c6be3bf76389d39b310393e11fdd4c0e2ae_0.png "[tex]\int\limits_H \ F t dl = 2 - \pi [/tex]")
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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
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Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
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ferna
Nivel 3
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Registrado: 27 Feb 2008
Mensajes: 40
Ubicación: cap fed
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| muy bien, gracias por el aporte!
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nikorp
Nivel 5
Registrado: 07 Ago 2007
Mensajes: 182
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ahora bien, es necesario invertir los flujos ... ya que su orientación, como están dispuestos ahora, corresponden a bordear a H y L orientado de forma horaria, y por terna derecha necesitamos orientarla en sentido anti-horario...
muy claro el ejercicio, me quedo una sola duda ... como "deduzco" que "los flujos como estan dispuestos ahora" estan orientados de forma horaria y por ende tengo que invertir la orientacion?
graciass!
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| El flujo puede ser horario o anti-horario??? No son normal-externa / normal-interna???' Estoy re perdido con integrales de campos
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![[tex]x^2+y^2=1[/tex]](images/latex/d9f274181d096684907e9ed7d25d6f643e67fed3_0.png "[tex]x^2+y^2=1[/tex]")
pero me rompi la cabeza pensando como terminarlo...