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El_k-b
Nivel 2
Edad: 39
Registrado: 29 Oct 2007
Mensajes: 17
Carrera: Informática
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Gente, espero que me puedan dar una mano con estos ejercicios que la verdad me tiene de la cabeza. Son de parciales de Grynberg.
Ej 2 parcial del 21/11/07.
Una rata esta atrapada en una cueva que tiene 3 orificios. El primero conduce a un túnel que vuelve a la cueva en 4 horas de recorrido; el segundo a un túnel que vuelve a la cueva en 7 horas; el tercero conduce a la libertad en un recorrido de 3 horas. En cada intento, la rata elige con igual probabilidad cualquiera de los orificios. Hallar la esperanza del tiempo que demora en quedar libre.
Ej 1 parcial del 07/11/07
En una urna hay 3 bolas de distinto color. El experimento aleatorio consiste en lo siguiente: se extrae una bola, se registra el color observado y se repone la bola en la urna. Se realizan 6 experimentos. Sean ![[tex] X _{i} , i= 1, 2, 3[/tex]](images/latex/5e8cfac554d36e29b66ba2db682bafa12e2fd194_0.png "[tex] X _{i} , i= 1, 2, 3[/tex]") variables aleatorias definidas por:
![[tex]X _{i}:= \{ 1 [/tex]](images/latex/b1fa6203f5598e9e7d5fd414c21816a65985975a_0.png "[tex]X _{i}:= \{ 1 [/tex]") si el color i esta en la muestra observada
![[tex]X _{i}:= \{ o [/tex]](images/latex/08c58047dcf3880fd35c0ff6df1ce94d1a60b7a9_0.png "[tex]X _{i}:= \{ o [/tex]") en otro caso.
(a) las variables ![[tex]X _{1}, X _{2}, X _{3}[/tex]](images/latex/a42488267efd52f3893bc4894e19d2a3931c3149_0.png "[tex]X _{1}, X _{2}, X _{3}[/tex]") son independientes? (sugerencia: calcular ![[tex]Cov(X _{i},X _{j})[/tex]](images/latex/a18157c6ec5722b48ca00336fffa495133a09eb3_0.png "[tex]Cov(X _{i},X _{j})[/tex]") )
(b) Sea N la cantidad de colores observados. Hallar ![[tex]E[N][/tex]](images/latex/80ebd0e65bdfcc1ccb89a48d6c7bec225df335c3_0.png "[tex]E[N][/tex]") y ![[tex]Var[N][/tex]](images/latex/7b3fc82a033901cc8220ab66ad701e81a8be1049_0.png "[tex]Var[N][/tex]") .
Con respecto al Ej 1 del parcial del 07/11/07 esta aca llegue.
![[tex]Cov(X _{i},X _{j})=E(X _{i}.X _{j})-E(X _{i}).E(X _{j})[/tex]](images/latex/46d57bb5f5c0bfb3278470b69dca90b25a318476_0.png "[tex]Cov(X _{i},X _{j})=E(X _{i}.X _{j})-E(X _{i}).E(X _{j})[/tex]")
![[tex]E(X _{1}.X _{2})= \sum _{ \forall X _{1} }^{} \sum _{\forall X _{2}}^{} X _{1}.X _{2}.P(X _{1},X _{2})= 0.0.P(0,0)+1.0.P(1,0)+0.1.P(0,1)+1.1.P(1,1)=1.1.P(1,1)[/tex]](images/latex/0877e9178b6bc9e76beec8f8802eb169ef606a8d_0.png "[tex]E(X _{1}.X _{2})= \sum _{ \forall X _{1} }^{} \sum _{\forall X _{2}}^{} X _{1}.X _{2}.P(X _{1},X _{2})= 0.0.P(0,0)+1.0.P(1,0)+0.1.P(0,1)+1.1.P(1,1)=1.1.P(1,1)[/tex]")
Solo queda el ![[tex]P(1,1)[/tex]](images/latex/8bd00f1eeb2c266c68a9894fda5ce01767969452_0.png "[tex]P(1,1)[/tex]") dado que a los demas los multiplico por 0
![[tex]P(X _{i}=0)=\left( \frac {2}{3} \right) ^{6}[/tex]](images/latex/acbff796d6d4a8dfff992b70cd779ea8ebbaed6e_0.png "[tex]P(X _{i}=0)=\left( \frac {2}{3} \right) ^{6}[/tex]")
![[tex]P(X _{i}=1)= 1-\left( \frac {2}{3} \right) ^{6}[/tex]](images/latex/3edbcf8df3fe3ebbf844cf0e9d3eb54bd6b2ccf3_0.png "[tex]P(X _{i}=1)= 1-\left( \frac {2}{3} \right) ^{6}[/tex]")
![[tex]E(X _{1})=E(X _{2})=E(X _{i})= \sum _{}^{}X _{i}.P(X _{i})=0.\left( \frac {2}{3} \right) ^{6}+1.\left( 1-\left( \frac {2}{3} \right) ^{6} \right)=1-\left( \frac {2}{3} \right) ^{6}[/tex]](images/latex/b21130c947d013b3431496af271eb33045ec0ca5_0.png "[tex]E(X _{1})=E(X _{2})=E(X _{i})= \sum _{}^{}X _{i}.P(X _{i})=0.\left( \frac {2}{3} \right) ^{6}+1.\left( 1-\left( \frac {2}{3} \right) ^{6} \right)=1-\left( \frac {2}{3} \right) ^{6}[/tex]")
![[tex]Cov(X _{1},X _{2})=P(1,1)-\left( 1-\left( \frac {2}{3} \right) ^{6} \right) ^{2} [/tex]](images/latex/de67ec5d47270884bd9718ec6b1642f88b31d7ad_0.png "[tex]Cov(X _{1},X _{2})=P(1,1)-\left( 1-\left( \frac {2}{3} \right) ^{6} \right) ^{2} [/tex]")
Lo que no puedo calcular es la y el punto b
Con respecto al otro ejercicio la verdad es que no tengo idea.
Desde ya muchas gracias.
Es la primea ves que uso Latex tanto, la verdad que es muy bueno!!! Muchas gracias por el asistente, es genial.
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Dx9
Moderador
Edad: 37
Registrado: 03 Ene 2007
Mensajes: 1552
Carrera: Informática
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| El_k-b escribió:
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Ej 2 parcial del 21/11/07.
Una rata esta atrapada en una cueva que tiene 3 orificios. El primero conduce a un túnel que vuelve a la cueva en 4 horas de recorrido; el segundo a un túnel que vuelve a la cueva en 7 horas; el tercero conduce a la libertad en un recorrido de 3 horas. En cada intento, la rata elige con igual probabilidad cualquiera de los orificios. Hallar la esperanza del tiempo que demora en quedar libre.
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Ese ejercicio se resuelve con la propiedad:
![[tex]E[E[X|Y]]= E[X] [/tex]](images/latex/af528e2125cd8d3d00e7fcc707fb73277689ca4d_0.png "[tex]E[E[X|Y]]= E[X] [/tex]")
No es muy usada en las otras catedras, pero grynberg hace mucho incapie en ella.
Planteas lo siguiente:
![[tex]E[y|x=1] = 4 + E[y][/tex]](images/latex/f77b878d10fd0b304305870349b0766795f9b569_0.png "[tex]E[y|x=1] = 4 + E[y][/tex]")
![[tex]E[y|x=2] = 7 + E[y][/tex]](images/latex/5d61af804b032be57e234b893c1dc276c3d7f98c_0.png "[tex]E[y|x=2] = 7 + E[y][/tex]")
![[tex]E[y|x=3] = 3[/tex]](images/latex/3a9132fb1c883b052b86cc95f1267a8fcf940aaa_0.png "[tex]E[y|x=3] = 3[/tex]")
El resto te lo dejo a vos, el resultado da 14 (casi seguro) , cualquier cosa pregunta 
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julian
Nivel 8
Registrado: 25 Oct 2005
Mensajes: 507
Ubicación: @MLI
Carrera: Electrónica
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El_k-b
Nivel 2
Edad: 39
Registrado: 29 Oct 2007
Mensajes: 17
Carrera: Informática
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Consulta, ![[tex]E[Y][/tex]](images/latex/47355c272af4c57329f58583f53c82177f461f3e_0.png "[tex]E[Y][/tex]") , es la esperanza de seleccionar una puerta dada? no me queda claro esa parte, la primera parte la entendi ok.
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Dx9
Moderador
Edad: 37
Registrado: 03 Ene 2007
Mensajes: 1552
Carrera: Informática
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Si, perdon, me olvide de aclarar que era cada cosa:
Y = "salir cueva"
X = "eleccion de puerta"
![[tex]E[Y|X=i][/tex]](images/latex/ab03020191ffd03682914a1caa0078661830719e_0.png "[tex]E[Y|X=i][/tex]") es la esperanza de salir, dado que elegiste la puerta ![[tex]i[/tex]](images/latex/a4c1c5aa2403f597f891e4ee97abe072c60a5117_0.png "[tex]i[/tex]") .
Y lo que te pide el enunciado es la esperanza de salir ().
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El_k-b
Nivel 2
Edad: 39
Registrado: 29 Oct 2007
Mensajes: 17
Carrera: Informática
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| sinceramente Dx9 continuo sin entender. Pero gracias por tu aporte
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facundo.olano
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 10 Ago 2006
Mensajes: 808
Ubicación: encadenado al ánima
Carrera: Informática
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| El_k-b escribió:
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sinceramente Dx9 continuo sin entender. Pero gracias por tu aporte
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Fijate que acá tenés el teorema de la esperanza condicional explicado.
La idea es que plantees la esperanza de Y, el tiempo que demora la rata, como la esperanza de la esperanza de Y dado X, la dirección elegida. O sea:
![[tex]E[Y]= E[E[Y|X]]=E[Y|X=1]\cdot P(X=1)+E[Y|X=2]\cdot P(X=2)+E[Y|X=3]\cdot P(X=3)[/tex]](images/latex/147a8346631a5a792e312d5818e798a2a13d7918_0.png "[tex]E[Y]= E[E[Y|X]]=E[Y|X=1]\cdot P(X=1)+E[Y|X=2]\cdot P(X=2)+E[Y|X=3]\cdot P(X=3)[/tex]")
Ahora, si considerás que las tres direcciones son equiprobables y escribís Y según está descripto en el enunciado para cada posible dirección, tenés que:
![[tex]E[Y]=\frac{1}{3}(E[Y] + 4 + E[Y] + 7 + 3)][/tex]](images/latex/dd030cd77b8780b9374f6591f636a57c09345fff_0.png "[tex]E[Y]=\frac{1}{3}(E[Y] + 4 + E[Y] + 7 + 3)][/tex]")
De donde despejás que la esperanza de Y es 14.
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El_k-b
Nivel 2
Edad: 39
Registrado: 29 Oct 2007
Mensajes: 17
Carrera: Informática
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| Mil gracias sos un capo!!!!!!
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pirata09
Nivel 3
Registrado: 04 Jul 2009
Mensajes: 20
Carrera: Electrónica
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Por si no quedo claro esa forma aca va otra
Z = numero de intentos hasta lograr salir, o sea elegir el orificio 3 (esta es Geometrica con p=1/3)
U = numero de veces que se elige el orificio 1
T = tiempo que demora en quedar libre
se sabe entonces que en los primeros Z-1 intentos solo se pudieron elegir los orificios 1 o 2, y de hecho se eligieron U veces el 1 y Z-1-U veces el 2. La distribucion de U condicionada a Z es entonces Binomial con Z-1 intentos y p=1/2 (reproporciono porque en los Z-1 experimentos se elige entre orificio 1 o 2). Entonces
![[tex] T = 4 \cdot U + 7 \cdot (Z-1-U) +3 [/tex]](images/latex/fefb7628c17b3508724b4ce7dca8095f7baa19ba_0.png "[tex] T = 4 \cdot U + 7 \cdot (Z-1-U) +3 [/tex]")
![[tex] E[Z] = 3 [/tex]](images/latex/7d3e776e9c3c258b550eb68d00f4edf0b21e01b2_0.png "[tex] E[Z] = 3 [/tex]")
![[tex] E[U] = E[E[U|Z]] = E[(Z-1) \cdot 1/2] = 1 [/tex]](images/latex/48648fc88801bca9d440106e637f5e23796b00dd_0.png "[tex] E[U] = E[E[U|Z]] = E[(Z-1) \cdot 1/2] = 1 [/tex]")
Reemplazando queda E[T] = 14.
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