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sebasgm
Moderador
Edad: 38
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Mensajes: 2434
Ubicación: Parque Chacabuco
Carrera: Electrónica
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Hola, tengo un problemilla con lo que indica el título del Thread.
Entiendo (o creo que entiendo) lo relacionado con las singulairades aisladas que son aquellas que poseen desarollo en seir de Laurent, que además son clasificables, y blablablabla.
El asunto es que tengo medio un quilombo en la cabeza respecto de cómo hallo (o me doy cuenta) de que alguien es singularidad NO aislada. Entiendo que una vez que la encuentro, termina el análisis. Pero no me queda muy claro de cómo llegar ahí.
Bueno, si mi inquietud es medio "vaga" es precisamente porque no tengo mucha idea de qué me está faltando pero sé que me falta una pieza del rompezabezas para cerrar el círculo. Si alguien me ordena un poco las ideas, estaría joya.
Gracias.
Seba.
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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Una singularidad es un punto en el cual la función no está definida o está definida pero no es derivable. La singularidad ![[tex] z_0 [/tex]](images/latex/b1e2e90048e82fd25896765416d4f77ff60152bf_0.png "[tex] z_0 [/tex]") es aislada si existe un disco centrado en en el cual no hay otra singularidad.
Por ejemplo, ![[tex] f(z)=sen(z)/z [/tex]](images/latex/0da2263cf0ea323b4c7bc1afb513bb873990ed5a_0.png "[tex] f(z)=sen(z)/z [/tex]") tiene una singularidad aislada en ![[tex]z=0[/tex]](images/latex/8ec5e56326bfb63729244c125a06b2454a8c7ec2_0.png "[tex]z=0[/tex]") , pues, por ejemplo, en el disco ![[tex] |z|<1 [/tex]](images/latex/f3f140cc27101680790f4e51124a70ce5826e310_0.png "[tex] |z|<1 [/tex]") la función es derivable salvo en ![[tex] z=0 [/tex]](images/latex/974531e5426338a9327504f7da0919655b113d54_0.png "[tex] z=0 [/tex]") , donde no está definida.
Si definimos ![[tex] f(z)=1/sen(1/z) [/tex]](images/latex/2f91556bcd8931c6f3bb207e6aa2983ccae4869b_0.png "[tex] f(z)=1/sen(1/z) [/tex]") , sus singularidades son ![[tex] z_k=(k\pi)^{-1},\;k[/tex]](images/latex/2d258fb61083a8aa4fabb4969cba8294e13bea69_0.png "[tex] z_k=(k\pi)^{-1},\;k[/tex]") entero no nulo, y ![[tex] z_0=0 [/tex]](images/latex/5a40f5ebbce13b1e414eefd7ba55efdfdb7f81a0_0.png "[tex] z_0=0 [/tex]") . Cada ![[tex] z_k [/tex]](images/latex/ab9a30b501a97f8f9a4ec2b1bd59ce4a799f258a_0.png "[tex] z_k [/tex]") es aislada si ![[tex] k \neq 0 [/tex]](images/latex/7f699e8c005973df876d8eaafca0ad088c7ae5f2_0.png "[tex] k \neq 0 [/tex]") , pues puede hallarse un disco centrado en en el cual la función es derivable, salvo en .
es no aislada pues es imposible hallar un disco centrado en el origen el el cual sea la única singularidad. Ello se debe a que la distancia entre la singularidad ![[tex]z_0[/tex]](images/latex/d36068ae66f99f35c86c062d9483c8e4de226b51_0.png "[tex]z_0[/tex]") y las singularidades tiende a cero a medida que ![[tex] |k|\to \infty[/tex]](images/latex/7b0bd0a5da72cadc7cc0f3eaa57dc6631166b2bc_0.png "[tex] |k|\to \infty[/tex]") .
Una forma equivalente de definir singularidad no aislada es la siguiente:
es singularidad no aislada si existe una sucesión de singularidades ![[tex] \{z_k\}[/tex]](images/latex/01c0a03d6a49bfc0d14d9dcafc8f0893100a5695_0.png "[tex] \{z_k\}[/tex]") , ![[tex]z_k \neq z_0, \forall k[/tex]](images/latex/ccad4b38c9480b8295d7667d44bdfb359ebd9080_0.png "[tex]z_k \neq z_0, \forall k[/tex]") tal que ![[tex] \lim_{k \to \infty} z_k=z_0[/tex]](images/latex/a0420713ffe72b3507a3bf2598ecf8d91b7a5fb1_0.png "[tex] \lim_{k \to \infty} z_k=z_0[/tex]") .
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sebasgm
Moderador
Edad: 38
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Dx9
Moderador
Edad: 37
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Mensajes: 1552
Carrera: Informática
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Otro ejemplo donde podes ver una singularidad no aislada es:
![[tex]f(z) = \frac{1}{e^{\frac{1}{z}} - 1}[/tex]](images/latex/5d9d3db3cd5fed7e0ba83bcc27bf2efd05b2248e_0.png "[tex]f(z) = \frac{1}{e^{\frac{1}{z}} - 1}[/tex]")
Porque al buscar los valores que hacen 0 el denominador nos encontramos con:
![[tex]e^{\frac{1}{z}} = 1 \Rightarrow e^{\frac{1}{z}} = e^{2k\pi i}[/tex]](images/latex/87d1e9ad2952ce5e72b5967f3981a7c3a76ad699_0.png "[tex]e^{\frac{1}{z}} = 1 \Rightarrow e^{\frac{1}{z}} = e^{2k\pi i}[/tex]")
![[tex]\Rightarrow \frac{1}{z} = 2k\pi i \Rightarrow z = \frac{1}{2k\pi i}[/tex]](images/latex/2ebbf5154a394ed6d1002fadc8bb089acfbafa30_0.png "[tex]\Rightarrow \frac{1}{z} = 2k\pi i \Rightarrow z = \frac{1}{2k\pi i}[/tex]")
![[tex] \lim_{k \to \infty} z = \frac{1}{2k\pi i} \Rightarrow z \to 0 [/tex]](images/latex/a2a4072dd5b1bae130d32373afe961fbbe2fb27d_0.png "[tex] \lim_{k \to \infty} z = \frac{1}{2k\pi i} \Rightarrow z \to 0 [/tex]")
Espero que te sirva!
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Biblioteca Apuntes
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sebasgm
Moderador
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sebasgm
Moderador
Edad: 38
Registrado: 07 Jul 2006
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Carrera: Electrónica
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| Jorge Pérez escribió:
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Una forma equivalente de definir singularidad no aislada es la siguiente:
es singularidad no aislada si existe una sucesión de singularidades , tal que .
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Perdon pero releyendo ambos post, no me queda claro algo. La difinición es como en el quote que hago en este post, o es:
tal que ![[tex] \lim_{k \to \infty} z_k=0[/tex]](images/latex/98f2d20131bc35a10645d2b96059bf5a2c5383fb_0.png "[tex] \lim_{k \to \infty} z_k=0[/tex]")
Es decir, aún me resulta algo ambiguo y no sé si termino de verlo.
Por ejemplo:
En particular en este ejercicio:
![[tex]f(z))=\left(\frac{z(e^z -1)}{1-cos(z)}\right)^n[/tex]](images/latex/429c12f800b3a7f10bcb6fb926a660cbcca9c28d_0.png "[tex]f(z))=\left(\frac{z(e^z -1)}{1-cos(z)}\right)^n[/tex]")
Sé que las singularidades en el infinito son NO aisladas, porque lo tengo en la rta del ejercicio, pero no puedo resolverlo yo. En particular porque en este caso tengo que tomar el cambio de variable ![[tex]w=\frac{1}{z}[/tex]](images/latex/60ebfdedf6b3a77888cbc2622cc4097519486b5b_0.png "[tex]w=\frac{1}{z}[/tex]") con ![[tex] z \to 0[/tex]](images/latex/557cb55e39db69f501f9fb984e76bc9a52dddfb8_0.png "[tex] z \to 0[/tex]") . O sea, no tengo algo periódico a lo que pueda incrementar para ver a donde me tiende la singularidad. Bah, no sé, capaz estoy hablando idioteces.
Disculpen pero es que aún no me termina de cerrar.
Gracias.
Seba.
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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| sebasgm escribió:
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Perdon pero releyendo ambos post, no me queda claro algo. La difinición es como en el quote que hago en este post, o es:
tal que
Es decir, aún me resulta algo ambiguo y no sé si termino de verlo.
Por ejemplo:
En particular en este ejercicio:
Sé que las singularidades en el infinito son NO aisladas, porque lo tengo en la rta del ejercicio, pero no puedo resolverlo yo. En particular porque en este caso tengo que tomar el cambio de variable con . O sea, no tengo algo periódico a lo que pueda incrementar para ver a donde me tiende la singularidad. Bah, no sé, capaz estoy hablando idioteces.
Disculpen pero es que aún no me termina de cerrar.
Gracias.
Seba.
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Es como en el quote que hacés.
Las singularidades en el plano complejo de la función que planteaste son los ceros del coseno, ![[tex]z_k=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]](images/latex/eecc738690e5ae98a6a787e4f27b97c739ee9afe_0.png "[tex]z_k=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]") con ![[tex] k[/tex]](images/latex/e14be00564c4388dc338724eec9e8c901ac410ae_0.png "[tex] k[/tex]")
entero. En este caso infinito es no aislada porque ![[tex]\lim_{k\to \infty}z_k=\infty[/tex]](images/latex/787c90658c3fc6226f6e75d7b90239c2460e6d4a_0.png "[tex]\lim_{k\to \infty}z_k=\infty[/tex]") .
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facundo.olano
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 10 Ago 2006
Mensajes: 808
Ubicación: encadenado al ánima
Carrera: Informática
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| sebasgm escribió:
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| Jorge Pérez escribió:
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Una forma equivalente de definir singularidad no aislada es la siguiente:
es singularidad no aislada si existe una sucesión de singularidades , tal que .
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Perdon pero releyendo ambos post, no me queda claro algo. La difinición es como en el quote que hago en este post, o es:
tal que
Es decir, aún me resulta algo ambiguo y no sé si termino de verlo.
Por ejemplo:
En particular en este ejercicio:
Sé que las singularidades en el infinito son NO aisladas, porque lo tengo en la rta del ejercicio, pero no puedo resolverlo yo. En particular porque en este caso tengo que tomar el cambio de variable con . O sea, no tengo algo periódico a lo que pueda incrementar para ver a donde me tiende la singularidad. Bah, no sé, capaz estoy hablando idioteces.
Disculpen pero es que aún no me termina de cerrar.
Gracias.
Seba.
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El comportamiento en el infinito de ![[tex]f(z)[/tex]](images/latex/c26841d08680273de3bd156265b1cbccb2108086_0.png "[tex]f(z)[/tex]") (analítica, singularidad aislada y de que tipo o no aislada) es el mismo que tenga ![[tex]f(1/z)[/tex]](images/latex/0500e4d46e38589a9f5e8c6d71bc46655c45b4a1_0.png "[tex]f(1/z)[/tex]") en cero, como decís.
En el caso que planteás, cuando expresás ves que efectivamente hay una singularidad en z = 0. Y a su vez, hay singularidades en todos los puntos en que ![[tex]cos(1/z)=1[/tex]](images/latex/f8369e568e34f174e0f9c66810bd3aa3fe3a4782_0.png "[tex]cos(1/z)=1[/tex]") , a saber, ![[tex]z= \frac{1}{2k\pi}[/tex]](images/latex/8c2825a471d30bf265e035001b5ea5efbcafffcd_0.png "[tex]z= \frac{1}{2k\pi}[/tex]") . Como no existe un entorno de z = 0 en que no halla infinitas singularidades, entonces z = 0 es singularidad no aislada de e infinito lo es de .
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sebasgm
Moderador
Edad: 38
Registrado: 07 Jul 2006
Mensajes: 2434
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Carrera: Electrónica
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Che, gracias a todos. Entre todos los post, más alguna que otra consulta en FIUBA, creo que terminé de armar el rompecabezas.
Tenía una importante confusión con lo que es una singularidad NO aislada; que es finalmente un punto de acumulación, y que por lo general (al menos en los que caso que vemos nosotros) se da en cero o en infinito, con el hecho de que el infinito fuera una singularidad (Aislada o no). Que siempre ocurre y que hay que estudiar, pero que no tiene nada que ver con que infinito pudiera ser punto de acumulación de una singularidad No aislada del plano complejo.
Espero se haya entendido un poco por qué mi confusión.
Gracias de nuevo.
Seba.
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xaperez
Nivel 9
Edad: 39
Registrado: 25 Oct 2005
Mensajes: 3999
Ubicación: La Capital de un Imperio que no existe
Carrera: Electricista y Electrónica
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Una sola cosita chiquita:
Fijate que todos los ejemplos de funciones que tienen SNA en el cero, se pueden desplazar para poner el SNA en otro lado.
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No todo lo expresado en este mensaje debe interpretarse como una deducción demostrada axiomaticamente.
Este mensaje puede contener: Opiniones personales, insultos leves, referencias sexuales y truquitos.
Gracias, vuelva prontos.
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sebasgm
Moderador
Edad: 38
Registrado: 07 Jul 2006
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Carrera: Electrónica
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| xaperez escribió:
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Una sola cosita chiquita:
Fijate que todos los ejemplos de funciones que tienen SNA en el cero, se pueden desplazar para poner el SNA en otro lado.
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Si, me di cuenta durante el examen, me pidieron que construyera un función que, entre otras cosas, tuviera punto de acumulación en 1...
No sé que habrá salido de eso pero en fin... Creo que a mi duda puntual, ya la despejé bien.
Gracias a todos.
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Sepilloth
Nivel 8
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Registrado: 12 Dic 2007
Mensajes: 705
Ubicación: Capital
Carrera: Electricista
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Hago una consulta aca porque es algo parecido.
Mi duda es si el denominador de una funcion se me anula en un punto que es una singularidad no aislada, y a su vez en ese mismo punto se me anula el numerador, puedo evitar esa singularidad o al no ser aislada no se puede hacer nada?
Espero que se entienda y alguien pueda responder
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