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Mensaje |
frandagostino
Nivel 3
Edad: 36
Registrado: 27 Jun 2008
Mensajes: 56
Ubicación: Quilmes
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Alguien tiene idea de como resolver la solucion particular de la ecuacion no homogenea:
An+2) - An = sen(n * pi/2), n >= 0, A0 = A1 = 1
Se que tenes que plantear como solucion:
K1 * sen(n * pi/2) + K2* cos(n * pi/2)
pero no pude despejar las constantes, alguien alguna idea?
Chas gracias,
Fran
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DiegoNC
Nivel 4
Registrado: 17 Sep 2005
Mensajes: 86
Carrera: Informática
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| frandagostino escribió:
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Se que tenes que plantear como solucion:
K1 * sen(n * pi/2) + K2* cos(n * pi/2)
pero no pude despejar las constantes, alguien alguna idea?
¿Usando
![[tex]sen(a + b) = sen (a)cos(b) + sen(b)cos(a)[/tex]](images/latex/2276b8a75e97ba7d68d69dc9148413e597732f2a_0.png "[tex]sen(a + b) = sen (a)cos(b) + sen(b)cos(a)[/tex]") ,
no sale?
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Freddy
Nivel 8
Edad: 34
Registrado: 29 Oct 2008
Mensajes: 630
Ubicación: Lanús
Carrera: Sistemas
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Te quedaria algo así:
![[tex] A_{n+2} - A_{n} = \sen (n*\frac {\pi}{2}) [/tex]](images/latex/1a599aaa8e2ad148306bfa489760064e2e10d203_0.png "[tex] A_{n+2} - A_{n} = \sen (n*\frac {\pi}{2}) [/tex]")
Reemplazando por las soluciones particulares, queda así:
![[tex]k1 * \sen ((n+2)* \frac {\pi}{2}) + k2 * \cos ((n+2)*\frac {\pi}{2}) - k1 * \sen (n * \frac {\pi}{2}) - k2 * \cos (n * \frac{\pi}{2}) = \sen (n*\frac {\pi}{2}) [/tex]](images/latex/c3690568e226e022315fce41ffed031fe0282d5c_0.png "[tex]k1 * \sen ((n+2)* \frac {\pi}{2}) + k2 * \cos ((n+2)*\frac {\pi}{2}) - k1 * \sen (n * \frac {\pi}{2}) - k2 * \cos (n * \frac{\pi}{2}) = \sen (n*\frac {\pi}{2}) [/tex]")
Acomodo un poco, y me queda:
![[tex]k1*\sen ((n+2)*\frac {\pi}{2}) - k1* \sen (n * \frac {\pi}{2}) + k2 * \cos ((n+2)*\frac {\pi}{2}) - k2 * \cos (n * \frac{\pi}{2}) = \sen (n*\frac {\pi}{2}) [/tex]](images/latex/441fcf30c873f76153823b82997868c4a69621c4_0.png "[tex]k1*\sen ((n+2)*\frac {\pi}{2}) - k1* \sen (n * \frac {\pi}{2}) + k2 * \cos ((n+2)*\frac {\pi}{2}) - k2 * \cos (n * \frac{\pi}{2}) = \sen (n*\frac {\pi}{2}) [/tex]")
Aca lo pensé de esta forma. Como n es una variable, no puedo cancelar nada porque los senos y cosenos depende del valor que le de a n. Pero como n es un numero natural, puedo considerar el caso en que n sea par, y el caso en que n sea impar.
Si n es par, la parte de los senos se me va (me queda siempre un numero entero multiplicando a ![[tex] \pi [/tex]](images/latex/3b25b7c77688dfd249b4944ebc84f7dc17f09733_0.png "[tex] \pi [/tex]") ). Y me queda:
![[tex] k2* ( \cos ((n+2)*\frac {\pi}{2}) - \cos (n * \frac{\pi}{2}) ) = 0 [/tex]](images/latex/423bb0197aec763cb4e0149871cb9c32394c628f_0.png "[tex] k2* ( \cos ((n+2)*\frac {\pi}{2}) - \cos (n * \frac{\pi}{2}) ) = 0 [/tex]")
Ahora bien, la resta de los cosenos siempre va a ser: o bien 2, o bien -2. Entonces, al ser ![[tex] \not= 0 [/tex]](images/latex/82f33436bd5951fb3cdfb47f31386a65f0d3684f_0.png "[tex] \not= 0 [/tex]") , se que ![[tex] k2=0[/tex]](images/latex/1cbea13506521d6690f225541beb839ac146ea26_0.png "[tex] k2=0[/tex]") , y ![[tex] k1 [/tex]](images/latex/6eaa25f5d3e7938a2c5834fde56a6d924c53d378_0.png "[tex] k1 [/tex]") puede tomar cualquier valor.
Si n es impar pasa al reves, la parte de los cosenos se me va (me queda siempre un angulo equivalente a ![[tex] \frac {\pi}{2} [/tex]](images/latex/5f7d0e21d714ecd88e7f6103afcb5751518aa118_0.png "[tex] \frac {\pi}{2} [/tex]") y uno equivalente a ![[tex] \frac {3\pi}{2} [/tex]](images/latex/b8bb123bc581c56c374b60f7e24aaa5095336e00_0.png "[tex] \frac {3\pi}{2} [/tex]") ), cuyos cosenos son ![[tex] =0[/tex]](images/latex/689ee2e34a2b361ccb7972335949e6cc8beaef8a_0.png "[tex] =0[/tex]") .
Me queda entonces:
![[tex] k1* ( (\sen ((n+2)*\frac {\pi}{2}) - \sen (n * \frac {\pi}{2}) ) = \sen (n*\frac{\pi}{2}) [/tex]](images/latex/365e754bf4243c3525a2163fae8982af5d78c10c_0.png "[tex] k1* ( (\sen ((n+2)*\frac {\pi}{2}) - \sen (n * \frac {\pi}{2}) ) = \sen (n*\frac{\pi}{2}) [/tex]")
Como n es impar, me va a quedar:
![[tex] 2 * k1 = -1[/tex]](images/latex/d79e2a431a695b5aecc0d12c3299a423610715d7_0.png "[tex] 2 * k1 = -1[/tex]")
![[tex] k1 = \frac{-1}{2} [/tex]](images/latex/9f24005cf8ccac7e71e5465a2e72c115ce39ab19_0.png "[tex] k1 = \frac{-1}{2} [/tex]")
Ya tengo k1 y k2.
Asi se me ocurrio a mi.
Corrijanme si me equivoqué.
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frandagostino
Nivel 3
Edad: 36
Registrado: 27 Jun 2008
Mensajes: 56
Ubicación: Quilmes
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Freddy, piola tu solucion, yo llegue a los mismos valores pero de otra forma:
Usando la propiedad trigonometrica (creo que es valida):
![[tex]sen(n + \pi) = - sen(n), cos(n + \pi) = - cos(n)[/tex]](images/latex/8aa77b6f2785607fc89b036b470bde8692fdc5a7_0.png "[tex]sen(n + \pi) = - sen(n), cos(n + \pi) = - cos(n)[/tex]")
Operando usando la propiedad trigonometrica esa, llegas en un momento a:
![[tex]-2 * k1 * sen(n * \frac{\pi}{2}) -2 * k2 * cos(n * \frac{\pi}{2}) = sen(n * \frac{\pi}{2})[/tex]](images/latex/a80d5f972dd9f7f08048d30244d7551142f3b305_0.png "[tex]-2 * k1 * sen(n * \frac{\pi}{2}) -2 * k2 * cos(n * \frac{\pi}{2}) = sen(n * \frac{\pi}{2})[/tex]")
Y la unica forma que esta igualdad se cumpla es que ![[tex]k1=-\frac{1}{2}, k2 = 0[/tex]](images/latex/ae69a82c1ff23ddee7574930579717f8710c3f7b_0.png "[tex]k1=-\frac{1}{2}, k2 = 0[/tex]")
Para esto me base en que lo que se necesita es UNA solucion particular de la ecuacion no-homogenea, entonces puedo tomar constantes ![[tex]k1, k2[/tex]](images/latex/a26d742d3b8d208f904dde6b0583619c9a29c814_0.png "[tex]k1, k2[/tex]") que se ajusten y listo...
Igual tengo que consultar si es valido...
Muchas gracias por darme una mano!
Alguno esta cursando con Lorusso?
Slds.,
Fran
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Freddy
Nivel 8
Edad: 34
Registrado: 29 Oct 2008
Mensajes: 630
Ubicación: Lanús
Carrera: Sistemas
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| frandagostino escribió:
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Alguno esta cursando con Lorusso?
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Yo!
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