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facundo.olano
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 10 Ago 2006
Mensajes: 808
Ubicación: encadenado al ánima
Carrera: Informática
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Buenas. Alguien me puede orientar un poco con éste problema?
Sea f : R → R una función –periódica, continua, con derivada continua a trozos, y sea , donde y son los coeficientes de Fourier de f, probar que:
Por el aspecto de las expresiones daría la impresión de que en algún punto hay que escribir a f como la integral de su derivada, usar la desigualdad de Schwarz y/o que , pero realmente no sé como destrabarlo.
Gracias.
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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La idea es ésta:
Como f es continua con derivada continua a trozos, la serie de Fourier converge a f, por lo tanto:
luego
Si llamamos a los coeficientes de la serie de , entonces .
Ahora reemplazá, usa Cauchy-Schwarz, Parseval y el valor de la serie
y tiene que salir.
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facundo.olano
Nivel 8
Edad: 36
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Carrera: Informática
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Gracias por la respuesta, Jorge.
Por ahora lo que logré es ésto, pero hay cosas que no están bien me parece:
* La segunda igualdad creo que vale por pitágoras.
* La tercera desigualdad es Bessel-Parseval para el sistema trigonométrico, recordando que y
El problema es que las dos primeras desigualdades estoy casi seguro que no valen general.
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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Tenés varias cosas incorrectas en el desarrolo. En particular la segunda igualdad (de izq. a der.) y la desigualdad que le sigue. Si estuvieses integrando estarían bien, por la ortogonalidad de las funciones.
Lo que te sugería era lo siguiente:
Por C-S
Entonces
Como
y, en forma similar,
y, por otro lado
llegamos a la desigualdad
La diferencia entre esto y lo que te piden es un factor 2 que no encontré forma de hacerlo desaparecer.
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facundo.olano
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Genial, gracias de nuevo.
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