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arielik
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 11 Sep 2007
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Ubicación: Para mi siempre será San Telmo...
Carrera: Electrónica, Informática y Sistemas
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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Para resolverlo, tenés que tener en cuenta que si ![[tex] \gamma [/tex]](images/latex/31820d1346c751448ad406470b58ea5bd346d0dd_0.png "[tex] \gamma [/tex]") es una curva cerrada que no pasa por el origen
![[tex] \int_{\gamma} \frac{dz}{z} = 2k \pi i,\quad k[/tex]](images/latex/f8a85a5639517969668553ec5e910d016066db54_0.png "[tex] \int_{\gamma} \frac{dz}{z} = 2k \pi i,\quad k[/tex]") entero.
Entonces, si ![[tex]\gamma_1, \gamma_2[/tex]](images/latex/e5496b6ba0dbf46bc82a294f3f2e4d4e0440b3b5_0.png "[tex]\gamma_1, \gamma_2[/tex]") son dos curvas que conectan ![[tex]-1[/tex]](images/latex/d9281bed41e359f4b8cb7bb5057eb0cde1d866cc_0.png "[tex]-1[/tex]") con ![[tex]1[/tex]](images/latex/0d42976238de0a06e86d9145d61c6e5316420b70_0.png "[tex]1[/tex]") , entonces la curva ![[tex]\gamma[/tex]](images/latex/80916f1ea9a71a2fbc9b3e960163b504c931febf_0.png "[tex]\gamma[/tex]") que se obtiene recorriendo primero ![[tex]\gamma_1[/tex]](images/latex/319bfa318054da52710bd275d8075d73886553d0_0.png "[tex]\gamma_1[/tex]") y luego ![[tex] -\gamma_2[/tex]](images/latex/ba3e86927342f745ab1bebaab0e7e6117120a5e6_0.png "[tex] -\gamma_2[/tex]") (![[tex] \gamma_2 [/tex]](images/latex/f9c7a824794cf9c25a78ae21194f276caa8ab995_0.png "[tex] \gamma_2 [/tex]") recorrida en sentido contrario) es cerrada. Por lo tanto
![[tex] \int_{\gamma} \frac{dz}{z} = \int_{\gamma_1} \frac{dz}{z}-\int_{\gamma_2} \frac{dz}{z}= 2k \pi i. [/tex]](images/latex/87bd1ad730ad8de458b9f5f685fcf9530c0cbdec_0.png "[tex] \int_{\gamma} \frac{dz}{z} = \int_{\gamma_1} \frac{dz}{z}-\int_{\gamma_2} \frac{dz}{z}= 2k \pi i. [/tex]")
Con lo cual, los posibles valores de ![[tex]\int_{-1}^1 \frac{dz}{z} [/tex]](images/latex/853c99427b068fa0e63985b7eee7d1038f3b14b0_0.png "[tex]\int_{-1}^1 \frac{dz}{z} [/tex]") difieren en ![[tex] 2 k \pi i[/tex]](images/latex/5327ff387e51990d13ef47910aa89ab0dd2fd7d6_0.png "[tex] 2 k \pi i[/tex]") con ![[tex] k[/tex]](images/latex/e14be00564c4388dc338724eec9e8c901ac410ae_0.png "[tex] k[/tex]") entero.
Para saber cuáles son entonces los posibles valores, basta con calcular uno posible usando una curva que conecte -1 con 1 y luego los demás son ese más .
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arielik
Nivel 9
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arielik
Nivel 9
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
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Sí, con cualquier curva, por ejemplo una media circunferencia que conecte
-1 con 1: ![[tex] \gamma(t)=e^{it},\;t \in [-\pi,0][/tex]](images/latex/9cdc66490faccabac0759975a562b8c7dac3f463_0.png "[tex] \gamma(t)=e^{it},\;t \in [-\pi,0][/tex]") . En ese caso
![[tex] \int_{\gamma}\frac{dz}{z}=\int_{-\pi}^{0} \frac{i e^{it}}{e^{it}} \:dt=i\pi[/tex]](images/latex/cc3d2f78a018c2957084fac6941094b76dcd653a_0.png "[tex] \int_{\gamma}\frac{dz}{z}=\int_{-\pi}^{0} \frac{i e^{it}}{e^{it}} \:dt=i\pi[/tex]")
Entonces, los posibles valores son
![[tex]\pi i+2k\pi i=(2k+1)\pi i[/tex]](images/latex/ee50392088bef0e3df1d6cfc0619acd5b60b50c7_0.png "[tex]\pi i+2k\pi i=(2k+1)\pi i[/tex]") con ![[tex]k[/tex]](images/latex/de61dde472a066a5b90a2ff0be7a2f756110011b_0.png "[tex]k[/tex]") entero.
Si tomás otra curva, por ejemplo la media circunferencia que une -1 con 1 pero por el semiplano superior, la integral da ![[tex]-\pi i[/tex]](images/latex/50cb572e2dd8461c6420d93c7cb479b693c7cf20_0.png "[tex]-\pi i[/tex]") , con lo cual
obtenés
![[tex]-\pi i+2k\pi i=(2k-1)\pi i[/tex]](images/latex/5c5d7af02f44c28ee3926ad4f8db53e7726e749a_0.png "[tex]-\pi i+2k\pi i=(2k-1)\pi i[/tex]") ,
que describe el mismo conjunto de valores.
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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Los resultados entonces son infinitos, ![[tex] \pi i, -\pi i, 3\pi i, -3 \pi i, ... [/tex]](images/latex/3ae81b4435b35855e4f95d673f3b93fafc93f4db_0.png "[tex] \pi i, -\pi i, 3\pi i, -3 \pi i, ... [/tex]")
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arielik
Nivel 9
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diego0899
Nivel 3
Edad: 35
Registrado: 02 Mar 2008
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Ubicación: San Martin
Carrera: Electrónica
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no entiendo porque dan infinitos valores. Si el residuo en Z=0 es 1, entonces la integral cerrada da 2(pi)i. Por lo que yendo por un camino por arriba de la singularidad me da -i(pi) y llendo por otra arriba de la misma me da i(pi)
PD: perdonen por no poder escribirlo en latex
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![[tex]\int_{-1}^{1} \frac{dz}{z}[/tex]](images/latex/4a2bae417921aed6cdcb8612ae123d57aa3858df_0.png "[tex]\int_{-1}^{1} \frac{dz}{z}[/tex]")
y calcularlos."
![[tex]- \pi i + 2k \pi i[/tex]](images/latex/8978a2756def8197f1615ec603ea91b1843d7c14_0.png "[tex]- \pi i + 2k \pi i[/tex]")
, es decir los resultados serian 2 ![[tex]- \pi i \ y \ \pi i[/tex]](images/latex/3cf655abc2346d7f6a51c08e8680c75f8f73620e_0.png "[tex]- \pi i \ y \ \pi i[/tex]")
???