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COKI
Nivel 9
Edad: 45
Registrado: 17 Ene 2006
Mensajes: 2044
Ubicación: Coghlan/Montevideo
Carrera: Mecánica
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Voy a intentar pasar el parcial que tomaron ese dia. Voy a ir de a poco asi que paciencia. Gracias.
Problema 1
Se tiene el siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias, que representan la conservacion de masa y la cantidad de movimiento de un fluido escurriendo en un canal trapezoidal de seccion rectangular muy ancha, en regimen permanente:
![[tex]u\frac{dh}{dx} +h\frac{du}{dx}= 0 [1][/tex]](images/latex/274f2d1e53050b3e17d1a8f3ec573865d666bc5d_0.png "[tex]u\frac{dh}{dx} +h\frac{du}{dx}= 0 [1][/tex]") ![[tex]u\frac{du}{dx} +g\frac{dh}{dx}= 0 [2][/tex]](images/latex/94ed24680e540034f8f8cfd146867951729fe8c0_0.png "[tex]u\frac{du}{dx} +g\frac{dh}{dx}= 0 [2][/tex]") ![[tex]0<x<L[/tex]](images/latex/34fc71b0b785228902c5904356d6dafac1eaaf07_0.png "[tex]0<x<L[/tex]")
donde![[tex]x[/tex]](images/latex/30b5a07f2a22fcb2626031da734012c71b549782_0.png "[tex]x[/tex]") es la coordenada espacial, ![[tex]h(x)[/tex]](images/latex/c896f816359ca1c3a97286317c0b10d2e63796d6_0.png "[tex]h(x)[/tex]") la profundidad de agua, ![[tex]u(x)[/tex]](images/latex/63d3c7c49cba52b7d57c649e679a3ed823d23396_0.png "[tex]u(x)[/tex]") la velocidad de la corriente, ![[tex]g(constante)[/tex]](images/latex/ce93b1587260dd7759619b69b7a687803ec602f9_0.png "[tex]g(constante)[/tex]") la aceleracion de la gravedad y ![[tex]L[/tex]](images/latex/bf1e3168ff93ce6ae8adc13c43870dcee9c0b2e6_0.png "[tex]L[/tex]") la longitud del dominio de calculo. Se discretiza este sistema mediante el siguiente esquema de diferencias finitas:
![[tex]u_j\frac{h_j-h_{j-1}}{\Delta x} +h_j\frac{u_j-u_{j-1}}{\Delta x}= 0 [1][/tex]](images/latex/f883dceaa1efea42648953c50307a25243dc8360_0.png "[tex]u_j\frac{h_j-h_{j-1}}{\Delta x} +h_j\frac{u_j-u_{j-1}}{\Delta x}= 0 [1][/tex]") ![[tex]u_j\frac{u_j-u_{j-1}}{\Delta x} +g\frac{h_j-h_{j-1}}{\Delta x}= 0 [2][/tex]](images/latex/5f8bc8f8b0a820b800b1294b12d4583e528f39e9_0.png "[tex]u_j\frac{u_j-u_{j-1}}{\Delta x} +g\frac{h_j-h_{j-1}}{\Delta x}= 0 [2][/tex]") ![[tex]1<j<J[/tex]](images/latex/841cda11f3ceb72acfecb026981f31b87aa95b2c_0.png "[tex]1<j<J[/tex]")
donde![[tex]\Delta x[/tex]](images/latex/c76e1b18766bf56878b47b913459db1badd11355_0.png "[tex]\Delta x[/tex]") es el paso espacial de discretizacion, ![[tex]h_j[/tex]](images/latex/a1611a9ec8061f21e6dbdc2061eb6b9dc443cc1b_0.png "[tex]h_j[/tex]") y ![[tex]u_j[/tex]](images/latex/ae5f21150e75dd8a97ea50de8153782674a6b918_0.png "[tex]u_j[/tex]") los valores nodales de la funcion incognita y , respectivamente y ![[tex]J=L/\Delta x[/tex]](images/latex/0608e9a4a4abbfa21abc669ebd1b64cf5dd0db60_0.png "[tex]J=L/\Delta x[/tex]") es la cantidad de intervalos en que se discretizo el dominio. Se obtiene, entonces, como condicion de borde, los valores ![[tex]h_j=H[/tex]](images/latex/d36d862ccb58dc51567948748b419c008c6d2438_0.png "[tex]h_j=H[/tex]") (profundidad en el borde de aguas abajo) y ![[tex]u_0=U[/tex]](images/latex/c842dbe4c5fd76012f83b0ac7ee9b0be3e2f0020_0.png "[tex]u_0=U[/tex]") (velocidad en el borde de aguas arriba), con lo que se cierra el sistema.
a) Obtener los coeficiente correspondientes a la matriz de iteracion del metodo de Newton-Rapson para las filas genericas ![[tex]2j-1[/tex]](images/latex/4eb81fc63f0aa9153fffa1effb983670b430d2fa_0.png "[tex]2j-1[/tex]") y ![[tex]2j[/tex]](images/latex/97436532293539e9d611f21f45c68f4822001df4_0.png "[tex]2j[/tex]") .
Sugerencia: Denominar
![[tex]X^T\equiv(u_0,h_0,u_1,h_1,u_2,h_2,....u_j,h_j,....u_{j-1},h_{j-1},u_j,h_j)[/tex]](images/latex/5821d9410819d7cff0ab835a975863979e7ded64_0.png "[tex]X^T\equiv(u_0,h_0,u_1,h_1,u_2,h_2,....u_j,h_j,....u_{j-1},h_{j-1},u_j,h_j)[/tex]")
![[tex]f_{2j-1}(X)\equiv u_j(h_j-h_{j-1})+h_j(u_j-u_{j-1})[/tex]](images/latex/cf93cb2d36e2d47cabc3ba506fbbbea9ff4ff327_0.png "[tex]f_{2j-1}(X)\equiv u_j(h_j-h_{j-1})+h_j(u_j-u_{j-1})[/tex]") ![[tex]f_{2j}(X)\equiv u_j(u_j-u_{j-1})+g(h_j-h_{j-1})[/tex]](images/latex/93e0042d7485869a048634e1738b606d6f298cf1_0.png "[tex]f_{2j}(X)\equiv u_j(u_j-u_{j-1})+g(h_j-h_{j-1})[/tex]") ![[tex]1\leq j \leq J[/tex]](images/latex/64e00588745e3309e7cff32b41e3c111e850176d_0.png "[tex]1\leq j \leq J[/tex]")
El metodo de Newton-Rapson puede expresarse como (k es el paso de iteracion):
![[tex]A^{(k)} \Delta X^{(k)}=B^{(k)};[/tex]](images/latex/2cfdfbd3dda589354ac0aa1e441990c0f0e46c13_0.png "[tex]A^{(k)} \Delta X^{(k)}=B^{(k)};[/tex]") ![[tex]a^{(k)}_{lm}=\frac{\partial f_l}{\partial X_m}(X^{(k)});[/tex]](images/latex/d738a9103c8235974d1982ebe437b933c2e75386_0.png "[tex]a^{(k)}_{lm}=\frac{\partial f_l}{\partial X_m}(X^{(k)});[/tex]") ![[tex]b^{(k)}_l =-f_l(X^{(k)});[/tex]](images/latex/640f01e55798084fe973e6e1e483e2aa3cbc7f48_0.png "[tex]b^{(k)}_l =-f_l(X^{(k)});[/tex]") ![[tex]\Delta X^{(k)}=X^{(k+1)}-X^{(k)}[/tex]](images/latex/c7569b699d0805e171993e0dc1fd050fb45fd9e4_0.png "[tex]\Delta X^{(k)}=X^{(k+1)}-X^{(k)}[/tex]")
b)Armar el sistema de iteracion de Newton-Rapson en el caso particular de iteracion ![[tex]J=2[/tex]](images/latex/1b4c6b7f9ff97ab8a8e72f07615e92454050a2b1_0.png "[tex]J=2[/tex]")
Sugerencia: Agregar las ecuaciones de las condiciones de borde llamando:
![[tex]f_0(X)\equiv u_0-U;[/tex]](images/latex/f47c49c14fed527049f871159e1bf1d802674135_0.png "[tex]f_0(X)\equiv u_0-U;[/tex]") ![[tex]f_{2j+1}(X)\equiv h_j-H[/tex]](images/latex/9b46a432cf8cde7f7f4257a04d0da90117869bc7_0.png "[tex]f_{2j+1}(X)\equiv h_j-H[/tex]")
Problema 2
a) Obtener una cota del erro relativo para![[tex]W=gk\tanh(kh)[/tex]](images/latex/22c4651705794e5e8bfc2d922c26f4818ad7918b_0.png "[tex]W=gk\tanh(kh)[/tex]") propagando los errores de entrada de g, k, h y los de redondeo en las operaciones, usando la grafica de procesos.
b) Efectuar los calculos de W y de su error para los siguientes valores particulares: ![[tex]g=9,807\pm 0,0005; k=0,17\pm 0,005, h=4,0\pm 0,05[/tex]](images/latex/6f4b116fb1501026d796bf91870a953c42306c90_0.png "[tex]g=9,807\pm 0,0005; k=0,17\pm 0,005, h=4,0\pm 0,05[/tex]") y considerando que se calcula con 4 digitos de presicion. Expresar el resultado correctamente redondeado con su cota de error.
Pregunta 1
¿Como se puede reconocer si el refinamiento iterativo para un sistema de ecuaciones algebraicas lineales va a converger luego de la primera iteracion?
Pregunta 2
¿Como se estima el error de truncamiento a una funcion ajustada a una nube de puntos?
LISTO!!!! Salio lindo no???
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Sebastian Santisi
Administrador Técnico
Edad: 42
Registrado: 23 Ago 2005
Mensajes: 17451
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| COKI escribió:
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LISTO!!!! Salio lindo no???
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Bárbaro  .
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 ![[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]](images/latex/d678cf273c99d2546c259db3422b3d968b184721_0.png "[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]") ![[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]](images/latex/1e6580e1ed9e054ddefd65c0551c670c44f57f38_0.png "[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]")
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