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Tarja
Nivel 4
Registrado: 30 Abr 2008
Mensajes: 63
Carrera: Informática
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Tarja
Nivel 4
Registrado: 30 Abr 2008
Mensajes: 63
Carrera: Informática
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Alguien?? 
Si por ejemplo saco el límite para el límite con a=0 y con a=1/6 y me da que los 2 convergen.. ¿Está bien decir que como los extremos convergen, lo que hay en el medio también converge??
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Tarja
Nivel 4
Registrado: 30 Abr 2008
Mensajes: 63
Carrera: Informática
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Igual no pude sacar los límites  Es una suposición
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"Lo dejo a tu Criterio." - Karina Jelinek
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ignis
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 02 Dic 2006
Mensajes: 488
Ubicación: down the telegraph road
Carrera: Civil
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| Tarja escribió:
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Tengo el resultado y dice que converge usando D'Alembert, pero no sé como lo hizo, ¿Alguien podría hacerlo?
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![[tex]a_n = \frac{n^{2n} {(3a)}^n}{ (2n)! }[/tex]](images/latex/db202f165527eb367a1bd8d006108b5e5bc9099b_0.png "[tex]a_n = \frac{n^{2n} {(3a)}^n}{ (2n)! }[/tex]")
![[tex]a_{n+1} = \frac{{(n+1)}^{2(n+1)} {(3a)}^{n+1}}{\left(2(n+1) \right)!}[/tex]](images/latex/d1812063ebcc7a392c2d4ff0976d5a8d4cb50698_0.png "[tex]a_{n+1} = \frac{{(n+1)}^{2(n+1)} {(3a)}^{n+1}}{\left(2(n+1) \right)!}[/tex]")
![[tex]\begin{array}{rcl}\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n} &=& \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{{(n+1)}^{2(n+1)} {(3a)}^{n+1}}{\left(2(n+1) \right)!}}{\displaystyle\frac{n^{2n} {(3a)}^n}{ (2n)! }}\\&=& \displaystyle \frac{{(n+1)}^{2(n+1)} {(3a)}^{n+1} (2n)!}{n^{2n} {(3a)}^n \left(2(n+1) \right)!} \rule{0pt}{30pt}\\&=& \displaystyle \frac{{(n+1)}^{2n+2} {(3a)}^n (3a) (2n)!}{n^{2n} {(3a)}^n (2n+2)!} \rule{0pt}{30pt}\\&=& \displaystyle \frac{{(n+1)}^{2n} {(n+1)}^2(3a) (2n)!}{n^{2n} (2n+2) (2n+1) (2n)!} \rule{0pt}{30pt}\\&=& \displaystyle \frac{{(n+1)}^{2n}}{n^{2n}} \frac{{\left(n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)}^2 (3a)} {n\left(2+\frac{2}{n}\right) n\left(2+\frac{1}{n}\right)} \rule{0pt}{30pt}\\&=& \displaystyle {\left( \frac{n+1}{n} \right)}^{2n} \frac{n^2 {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2 (3a)} {n^2 \left(2+\frac{2}{n}\right) \left(2+\frac{1}{n}\right)} \rule{0pt}{30pt}\\\frac{a_{n+1}}{a_n} &=& \displaystyle {\left( 1 + \frac{1}{n} \right)}^{2n} \frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2 (3a)} {\left(2+\frac{2}{n}\right) \left(2+\frac{1}{n}\right)} \rule{0pt}{30pt}\\\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=& \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle {\left( 1 + \frac{1}{n} \right)}^{2n} \frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2 (3a)} {\left(2+\frac{2}{n}\right) \left(2+\frac{1}{n}\right)} \rule{0pt}{30pt}\\\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=& \displaystyle \displaystyle e^2 \frac{1^2 (3a)} {2 \cdot 2} \rule{0pt}{30pt}\\\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=& \displaystyle \displaystyle \frac{3}{4} e^2 a \rule{0pt}{30pt}\end{array}[/tex]](images/latex/3874e04b80cb8e3dc536932f6b9e69e8a7a3e5bd_0.png "[tex]\begin{array}{rcl}\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n} &=& \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{{(n+1)}^{2(n+1)} {(3a)}^{n+1}}{\left(2(n+1) \right)!}}{\displaystyle\frac{n^{2n} {(3a)}^n}{ (2n)! }}\\&=& \displaystyle \frac{{(n+1)}^{2(n+1)} {(3a)}^{n+1} (2n)!}{n^{2n} {(3a)}^n \left(2(n+1) \right)!} \rule{0pt}{30pt}\\&=& \displaystyle \frac{{(n+1)}^{2n+2} {(3a)}^n (3a) (2n)!}{n^{2n} {(3a)}^n (2n+2)!} \rule{0pt}{30pt}\\&=& \displaystyle \frac{{(n+1)}^{2n} {(n+1)}^2(3a) (2n)!}{n^{2n} (2n+2) (2n+1) (2n)!} \rule{0pt}{30pt}\\&=& \displaystyle \frac{{(n+1)}^{2n}}{n^{2n}} \frac{{\left(n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)}^2 (3a)} {n\left(2+\frac{2}{n}\right) n\left(2+\frac{1}{n}\right)} \rule{0pt}{30pt}\\&=& \displaystyle {\left( \frac{n+1}{n} \right)}^{2n} \frac{n^2 {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2 (3a)} {n^2 \left(2+\frac{2}{n}\right) \left(2+\frac{1}{n}\right)} \rule{0pt}{30pt}\\\frac{a_{n+1}}{a_n} &=& \displaystyle {\left( 1 + \frac{1}{n} \right)}^{2n} \frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2 (3a)} {\left(2+\frac{2}{n}\right) \left(2+\frac{1}{n}\right)} \rule{0pt}{30pt}\\\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=& \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle {\left( 1 + \frac{1}{n} \right)}^{2n} \frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2 (3a)} {\left(2+\frac{2}{n}\right) \left(2+\frac{1}{n}\right)} \rule{0pt}{30pt}\\\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=& \displaystyle \displaystyle e^2 \frac{1^2 (3a)} {2 \cdot 2} \rule{0pt}{30pt}\\\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=& \displaystyle \displaystyle \frac{3}{4} e^2 a \rule{0pt}{30pt}\end{array}[/tex]")
Para que la sucesión sea convergente, debe ser:
![[tex]\begin{array}{rcccl}0 &<& \frac{3}{4} e^2 a &<& 1\\0 &<& e^2 a &<& \frac{4}{3}\\0 &<& a &<& \frac{4}{3e^2} \approx 0.18044704315\end{array}[/tex]](images/latex/a31a808b4e5a5d47759101e07249801eaed912a9_0.png "[tex]\begin{array}{rcccl}0 &<& \frac{3}{4} e^2 a &<& 1\\0 &<& e^2 a &<& \frac{4}{3}\\0 &<& a &<& \frac{4}{3e^2} \approx 0.18044704315\end{array}[/tex]")
Ahora bien, nosotros partimos de la hipótesis de que ![[tex]0<a<1/6 = 0.1666...[/tex]](images/latex/8fdad57009a6df3218006c066e4420b2cfeb75ce_0.png "[tex]0<a<1/6 = 0.1666...[/tex]") . Ese es el dato que tenemos.
Ahora, vemos que como ![[tex]0<a<1/6[/tex]](images/latex/f3388f5d26380d0ee95b93c47343accbd4ff1d0d_0.png "[tex]0<a<1/6[/tex]") y ![[tex]1/6<\frac{4}{3e^2}[/tex]](images/latex/a6795d6d8c5a064d94c3c594cddba15cf5b736ec_0.png "[tex]1/6<\frac{4}{3e^2}[/tex]") , entonces: ![[tex]0<a<\frac{4}{3e^2}[/tex]](images/latex/1b85a6fe719a4cf74de7dd16e9075648d7bedc0c_0.png "[tex]0<a<\frac{4}{3e^2}[/tex]") . Por lo tanto, la sucesión es convergente, que es lo que queríamos demostrar.
En cuanto al cálculo del límite cuando ![[tex]a=1/6[/tex]](images/latex/7b7c7d1c2a42e13706ae0fa48721c1be11ec1b2e_0.png "[tex]a=1/6[/tex]") , es así:
![[tex]\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \displaystyle \frac{3}{4} e^2 \frac{1}{6} = \frac{e^2}{8}[/tex]](images/latex/58fcc789715861218cb61bd54d495ade224e4d91_0.png "[tex]\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \displaystyle \frac{3}{4} e^2 \frac{1}{6} = \frac{e^2}{8}[/tex]")
| Tarja escribió:
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Si por ejemplo saco el límite para el límite con a=0 y con a=1/6 y me da que los 2 convergen.. ¿Está bien decir que como los extremos convergen, lo que hay en el medio también converge??
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Suena razonable, pero no te garantizo nada. Capaz hay algún contraejemplo dando vueltas por ahí que alguien en el foro pueda aportar.
| Tarja escribió:
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¿Qué hago si con D'Alembert y Cauchy da 1?
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La verdad, no sé. Creo que todas las sucesiones que te dan están hechas de tal forma que las puedas resolver o bien con alguno de esos dos métodos, o bien simplificando cosas (llevar partes a la forma de e, que se te mueran factores, etcétera).
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ignis
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sebasgm
Moderador
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![[tex]0<a<\frac{1}{6}[/tex]](images/latex/78b9bf76b0140483b924e9a728386a2e3ddad4c6_0.png "[tex]0<a<\frac{1}{6}[/tex]")
; la sucesión ![[tex]A_n=\frac{(n^{2n}(3a)^n)}{(2n)!}[/tex]](images/latex/865d5191d8039783be516ef0e05bdd10ca913b1a_0.png "[tex]A_n=\frac{(n^{2n}(3a)^n)}{(2n)!}[/tex]")
es Convergente.
![[tex]a=\frac{1}{6}[/tex]](images/latex/54ea7344d8ffebe53f55d4710b373e4d2f9a9695_0.png "[tex]a=\frac{1}{6}[/tex]")
, Calcular el límite.
![[tex]$\fontfamily{ppl}\selectfont%¿I'm gonna hire \emph{you} as my \LaTeX\ salesman?\par%I don't think so.$ [/tex]](images/latex/ec6596fd6cd160201e27ffed9b09f00e905378fc_0.png "[tex]$\fontfamily{ppl}\selectfont%¿I'm gonna hire \emph{you} as my \LaTeX\ salesman?\par%I don't think so.$ [/tex]")
![[tex]\frac{1}{6}[/tex]](images/latex/c53a5cfc54cab4b809bf663a88c74c5b6948eabc_0.png "[tex]\frac{1}{6}[/tex]")
, no me acuerdo que daba, pero lo que ocurría, ocurría también para valores que dejaban a 