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yanisalserita
Nivel 3
Edad: 40
Registrado: 12 Feb 2008
Mensajes: 21
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El ejercicio pide lo siguienet: calcular la masa del cuerpo limitado por:
![[tex]x^2 + y^2 + z^2 = 2[/tex]](images/latex/df08ea4a7f7bf1f1299fa8d1aa0db2c11835d50f_0.png "[tex]x^2 + y^2 + z^2 = 2[/tex]")
con ![[tex]y \ge x^2 + y^2 [/tex]](images/latex/ed5357fcd8f7d17df97143f20ac54811c6276698_0.png "[tex]y \ge x^2 + y^2 [/tex]")
cuando la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje y.
Ahora, yo lo que pense, es que como la primera es una esfera y la segunda es un paraboloide circular, hacer el siguiente cambio de variables usando coordenadas cilindricas sobre el eje y:
![[tex]x = \rho \cdot \cos \alpha [/tex]](images/latex/8c4fce3cacaaee60fc90608e1e7c5ea88dc2265d_0.png "[tex]x = \rho \cdot \cos \alpha [/tex]")
![[tex]z = \rho \cdot \sin \alpha [/tex]](images/latex/9a49a1ac10a70b64f37ecbc674423246437ca0ee_0.png "[tex]z = \rho \cdot \sin \alpha [/tex]")
![[tex]y = h[/tex]](images/latex/cc79b3032b8d285ecd4f90ce1f9858d13468dc76_0.png "[tex]y = h[/tex]")
La densidad me queda entonces en funcion de estas 3 nuevas variables:
![[tex]\partial (\rho ,\alpha ,h) = \lambda \cdot \rho [/tex]](images/latex/d6526c63c8a4a0923a67956bf60deaa60dff49cf_0.png "[tex]\partial (\rho ,\alpha ,h) = \lambda \cdot \rho [/tex]")
Cuando planteo la integral, tengo que dividirla en 2 y me queda asi:
![[tex]M = \left( {\int_0^{2\pi } {d\alpha \cdot } \int_0^1 {dh \cdot } \int_0^{\sqrt h } {\left( {\lambda \rho } \right) \cdot \rho \cdot } d\rho } \right) + \left( {\int_0^{2\pi } {d\alpha \cdot } \int_1^{\sqrt 2 } {dh \cdot } \int_0^{\sqrt {2 - h^2 } } {\left( {\lambda \rho } \right) \cdot \rho \cdot } d\rho } \right)[/tex]](images/latex/706146891ab494739ec4e96af4ef0c845a32f949_0.png "[tex]M = \left( {\int_0^{2\pi } {d\alpha \cdot } \int_0^1 {dh \cdot } \int_0^{\sqrt h } {\left( {\lambda \rho } \right) \cdot \rho \cdot } d\rho } \right) + \left( {\int_0^{2\pi } {d\alpha \cdot } \int_1^{\sqrt 2 } {dh \cdot } \int_0^{\sqrt {2 - h^2 } } {\left( {\lambda \rho } \right) \cdot \rho \cdot } d\rho } \right)[/tex]")
La primera parte queda hermosa porque es la parte del paraboloide (que parametrizado con coordenadas cilindricas es perfecto), pero la segunda que corresponde a la esfera me queda medio pedorro.
No se si esta bien hecho, pero si lo estuviera igual tengo que sacarlo de tabla y no queda lindo.
A alguien se le ocurre otra cosa?
a todos muchas gracias.
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Spike Spiegel
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 10 Ago 2007
Mensajes: 1507
Carrera: Informática
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No entiendo para qué partís la integral. Tenés un error en el enunciado:
![[tex] y \ge x^2 + z^2 [/tex]](images/latex/ba736430608a3cccb8efdeb40897c8ac99f67ee6_0.png "[tex] y \ge x^2 + z^2 [/tex]")
La región de integración sale muy fácil en cilíndricas. Y sí, pide tabla.
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![[tex]\mbox{Detrás de todo 'tengo hambre' hay un gran 'comete esta'}[/tex]](images/latex/8abc5691357a123d82fd07cae688fd7767bf6633_0.png "[tex]\mbox{Detrás de todo 'tengo hambre' hay un gran 'comete esta'}[/tex]")
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yanisalserita
Nivel 3
Edad: 40
Registrado: 12 Feb 2008
Mensajes: 21
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Te agradezco Spike, pero el error fue solo al pasarlo a latex (por lo menos ese error).
Con respecto a la integral, yo lo que hice es pasarlo si a cilindricas, pero
con el cilindro prolongandose sobre el eje y
y que en el plano xz cubrirlo y recorrerlo con coordenadas polares
Entonces me queda que
![[tex]\alpha \in [0,2\pi ][/tex]](images/latex/506036e11c3fe27845c370fee0bf40a045f4f6a3_0.png "[tex]\alpha \in [0,2\pi ][/tex]")
pero
![[tex]\rho (h)[/tex]](images/latex/0da19949681e175c80e1dbddc7cfbad8196961e9_0.png "[tex]\rho (h)[/tex]")
es decir que es funcion de h (no se si me equivoco).
Gracias por la colaboracion
Cuando
![[tex]h \in [0,1][/tex]](images/latex/7db9cad898e31268d15ffe4d28a4d9db573dde99_0.png "[tex]h \in [0,1][/tex]")
![[tex]\rho [/tex]](images/latex/0fdde5fc9e9353c00917c8ab3e7c8527999a8cce_0.png "[tex]\rho [/tex]") me queda dibujando el paraboloide, pero cuando
![[tex] h \in [1,\sqrt 2 ][/tex]](images/latex/3c0acab377d249aff4e3935f43683c71698bf8a4_0.png "[tex] h \in [1,\sqrt 2 ][/tex]")
me queda cubriendo la esfera
Se entiende ?
O me estoy equivocando en algo?
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Spike Spiegel
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 10 Ago 2007
Mensajes: 1507
Carrera: Informática
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Tenés suerte que encontré el cuaderno donde hice ese ejercicio, porque la paja que me daría hacerlo de nuevo no te la cuantifico ni con notación científica.
Entiendo tu planteo, pero se puede meter todo en una única integral. De todas formas, hacé la cuenta y decime cuánto te da.
Lo que podés hacer para tener todo en una sola integral es:
1- intersección de superficies para encontrar el valor máximo de ![[tex]\rho[/tex]](images/latex/c301c1d4f4791a621a06a6abf5582a926251b8d4_0.png "[tex]\rho[/tex]") . (da 1 como lo tenés vos)
2- Sabiendo que va entre 0 y 1 y ![[tex]\phi[/tex]](images/latex/7d54d851a6c3d8eeea3473c298592b88e2219186_0.png "[tex]\phi[/tex]") entre 0 y ![[tex]2\pi[/tex]](images/latex/fb54408201a51ac17484f390075f878f8f12bf85_0.png "[tex]2\pi[/tex]") , nos falta saber el valor de ![[tex]y[/tex]](images/latex/9ee4e6ba8781d42ee434379ac570532e425e7b55_0.png "[tex]y[/tex]") .
Despejo de la esfera: ![[tex]\sqrt{x^2 + z^2 - 2} \ge y[/tex]](images/latex/34a966a42a0c9a375fc7b85edd1af0410f864713_0.png "[tex]\sqrt{x^2 + z^2 - 2} \ge y[/tex]")
![[tex]\sqrt{\rho^2 - 2} \ge y[/tex]](images/latex/d6959e49bc2a7b1e1442a31017662fcd4e61f8ff_0.png "[tex]\sqrt{\rho^2 - 2} \ge y[/tex]")
Despejo del paraboloide: ![[tex]y \ge x^2 + z^2[/tex]](images/latex/e0591815075259e77c860d1dac3c9841bd9fa90e_0.png "[tex]y \ge x^2 + z^2[/tex]")
![[tex]y \ge \rho^2[/tex]](images/latex/e10ca987b4842cc33acaa6ff57218619f39c1f7b_0.png "[tex]y \ge \rho^2[/tex]")
Y listo, ya tenés delimitadas tus 3 variables para hacer 1 sola integral triple.
A mí me dio ![[tex]k(\frac {2 \pi^2}{8} - \frac {2\pi}{5})[/tex]](images/latex/4417afb83b82ae2515e399f6de5879c64b482cc0_0.png "[tex]k(\frac {2 \pi^2}{8} - \frac {2\pi}{5})[/tex]")
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yanisalserita
Nivel 3
Edad: 40
Registrado: 12 Feb 2008
Mensajes: 21
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Spike, mil gracias, la complique al pedo
igual me dio, pero de la forma que lo planteas vos me salio en 5 renglones.
Gracias 
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