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agus7799
Nivel 3
Registrado: 17 Dic 2007
Mensajes: 32
Carrera: Química
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Dada la superficie de ecuación z=xy-x²
a) Calcular su plano tangente en (2,3,2)
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Susana
Nivel 4
Edad: 38
Registrado: 18 Mar 2007
Mensajes: 81
Carrera: Civil
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El gradiente de la superficie, en el punto (2,3,2) va a ser el vector normal al plano tangente.
Con ese punto y el vector normal haces el producto escalar y obtenes la ecuación del plano tangente a la superficie en dicho punto.
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Susana
Nivel 4
Edad: 38
Registrado: 18 Mar 2007
Mensajes: 81
Carrera: Civil
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Si no calcule mal el plano te quedaria:
-x+2y-z=2
Siendo el gradiente:
(y-2x)i + (x)j + (-1)k
y en el punto tendria un valor de:
(-1)i + (2)j + (-1)k
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Fhran
Administrador
Edad: 39
Registrado: 25 Ago 2005
Mensajes: 3123
Ubicación: En la rama de un árbol... entre locos.
Carrera: Electrónica y Informática
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| susana_ba escribió:
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El gradiente de la superficie, en el punto (2,3,2) va a ser el vector normal al plano tangente.
Con ese punto y el vector normal haces el producto escalar y obtenes la ecuación del plano tangente a la superficie en dicho punto.
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Cuidado con algo. El Gradiente de ![[tex]z=f(x,y)=xy-x^2[/tex]](images/latex/ca7cd46343de316382260d13be12ec61d6bda2f7_0.png "[tex]z=f(x,y)=xy-x^2[/tex]") es un vector de 2 componentes. De hecho, es ![[tex]\vec{\nabla} f (x,y) = (y-2x; x)[/tex]](images/latex/7478ecd5b0ca052da0a240297f46d02db0b1dae1_0.png "[tex]\vec{\nabla} f (x,y) = (y-2x; x)[/tex]") . Para conseguir el vector normal a la superficie, la receta dice que le tenés que agregar un ![[tex]-1[/tex]](images/latex/d9281bed41e359f4b8cb7bb5057eb0cde1d866cc_0.png "[tex]-1[/tex]") al vector, de forma tal que te quede [/tex]](images/latex/21755d10d470dfa424458b63201fd26142501405_0.png "[tex](y-2x; x; -1)[/tex]") . Ahora sí tenés un vector de tres componentes con el cual poder definir un plano.
La justificación del viene porque en realidad a lo que tenés que calcular el gradiente, es a la función que implícitamente define a la superficie, cuando es igualada a una constante, i.e., ![[tex]F(x,y,z) = xy - x^2 - z[/tex]](images/latex/1d2896884b574d439fa40e858d14968516d04075_0.png "[tex]F(x,y,z) = xy - x^2 - z[/tex]") . Ahí se ve claramente que la tercera componente del gradiente, ![[tex]\frac{dF}{dz}[/tex]](images/latex/06f677a984648d57f6fbfdfbdcf9c48bc3ed1c33_0.png "[tex]\frac{dF}{dz}[/tex]") , da .
Igual me gustaría que alguien que tenga Análisis 2 más fresco se fije si todo lo que dije es correcto o no.
Una vez que tenés la normal, sabés que cualquier vector que repose dentro del plano, cumple que su producto interno con la normal, da cero.
![[tex]\left. (y-2x; x; -1)\right|_{(2;3;2)} \cdot (a;b;c) = 0[/tex]](images/latex/193467fa3cef5c6c88c19e510f1d8801187bc726_0.png "[tex]\left. (y-2x; x; -1)\right|_{(2;3;2)} \cdot (a;b;c) = 0[/tex]")
 \cdot (a;b;c) = 0[/tex]](images/latex/e72de3d8a33d1863cc3a92f0abd1dc85c89c6033_0.png "[tex](-1; 2; -1) \cdot (a;b;c) = 0[/tex]")
![[tex] - a + 2b - c = 0[/tex]](images/latex/6765abb42c14faa422b7a9ea3e135af465232e80_0.png "[tex] - a + 2b - c = 0[/tex]")
Esa es la ecuación de un plano que pasa por el origen. Falta "elevarlo" de tal forma que incluya al punto [/tex]](images/latex/5a4f123374e1fc60c8cc8c333ee684cbcbb6763a_0.png "[tex](2;3;2)[/tex]") , o sea, asegurarse de que cuando ![[tex]a=2[/tex]](images/latex/1b51fc9da45c9af539ec1b9b07d0b0b6b0445f55_0.png "[tex]a=2[/tex]") y ![[tex]b=3[/tex]](images/latex/6addb1d8defd93d345dda3ad438a4a28879f455a_0.png "[tex]b=3[/tex]") , se verifique a partir de la ecuación que ![[tex]c[/tex]](images/latex/be9c3d50f54aca031d819fbe4d05ca6feeac5106_0.png "[tex]c[/tex]") valga efectivamente 2:
![[tex]-2 + 2\cdot 3 - c = k[/tex]](images/latex/f9b827f2165781d37f6cd0bb91e563e75a68e3d2_0.png "[tex]-2 + 2\cdot 3 - c = k[/tex]")
![[tex] 4 - k = c = 2[/tex]](images/latex/8fe75edfb55a88b077f670c01a98cbf0973e631e_0.png "[tex] 4 - k = c = 2[/tex]")
![[tex]k=2[/tex]](images/latex/a8983c72461d984ba281a12f680cfc27d087d802_0.png "[tex]k=2[/tex]")
Finalmente, y usando otras letras para las variables. la ecuación del plano queda:
![[tex]-x+2y-z=2[/tex]](images/latex/59ae0994a84401c00fa3a5b2f5fba16edb68fd4b_0.png "[tex]-x+2y-z=2[/tex]")
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El horóscopo del ingeniero es un poco más amplio. Se compone de Amor, Dinero, Salud, Simetría y Linealidad Causa-Efecto.
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fuckin_gordito
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 21 Jul 2006
Mensajes: 4207
Ubicación: P. Chacabuco
Carrera: Industrial
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Igual me gustaría que alguien que tenga Análisis 2 más fresco se fije si todo lo que dije es correcto o no.
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soy la persona menos indicada para corroborarlo, pero esta bien lo q planteaste
pd. bien q si se llamaba agustin en vez de agustina, no se si te hacias semejante laburo en latex eeeeeeeehhhhhhh
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All'alba vincerò!
vincerò, vincerò!
vincerò!
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Fhran
Administrador
Edad: 39
Registrado: 25 Ago 2005
Mensajes: 3123
Ubicación: En la rama de un árbol... entre locos.
Carrera: Electrónica y Informática
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| fuckin_gordito escribió:
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pd. bien q si se llamaba agustin en vez de agustina, no se si te hacias semejante laburo en latex eeeeeeeehhhhhhh
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He hecho desarrollos mucho más largos y jodidos sin que nadie me lo pida, para el foro y para el wiki.
Además, ¿quién en su sano juicio sería capaz de intentar conquistar una mujer con ecuaciones de [tex]\LaTeX[/tex]? No tiene sentido.
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phnx2k
Nivel 8
Edad: 37
Registrado: 08 May 2006
Mensajes: 660
Ubicación: Mas cerca que.....En el infinito!
Carrera: Informática
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| podrias hallar 2 vectores tangentes a la superficie F(x,y,z) = Cte (en 2 direcciones distintas), hacerles producto vectorial y tenes la normal del plano tangente
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¨La Matrix es un sistema, un sistema enemigo. Pero cuando estás dentro, ¿ qué ves ? Maestros, abogados, carpinteros, hombres de negocios. La mente de la gente que queremos salvar. HASTA NO SALVARLA, ESTA GENTE ESTÁ EN EL SISTEMA Y POR LO TANTO ES ENEMIGA. TIENES QUE ENTENDER QUE MUCHA DE ESTA GENTE NO ESTÁ LISTA PARA QUE LA DESCONECTEN. MUCHOS ESTAN TAN HABITUADOS, DEPENDEN TANTO DEL SISTEMA, QUE PELEARÁN PARA PROTEGERLO¨
Morpheus
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FFXE
Nivel 4
Edad: 35
Registrado: 25 Sep 2007
Mensajes: 93
Ubicación: Larrea 1573, CABA
Carrera: Industrial
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Yo estoy cursando cursando Analisis II, y lo que dijo Fhran es todo correcto. Acero nos rompe mucho con que pongamos de donde sale la normal, no sé como será en tú cátedra, pero en la mia, poner algo como el "gradiente extendido" o un gradiente de ![[tex]R^3[/tex]](images/latex/26322742eddcb8bec296c9ffe407d50bb2c650fb_0.png "[tex]R^3[/tex]") en una función que va de ![[tex]R^2[/tex]](images/latex/f572ed46ab129eee7bf8dfc7f64111020de1fcfc_0.png "[tex]R^2[/tex]") en ![[tex]R[/tex]](images/latex/06bb2956f6ba6274346e5b9e386e2e81f25a8632_0.png "[tex]R[/tex]") es para tachar todo el ejercicio. Yo tengo que escribir la función ![[tex]F:R^3->R/F(x,y,z)=f(x,y)-z[/tex]](images/latex/f0a5e518c1ff764e04ec8d8acdf8c5b8617f598c_0.png "[tex]F:R^3->R/F(x,y,z)=f(x,y)-z[/tex]") y lo que estoy calculando es el gradiente a una curva de nivel igual a 0, cuya "gráfica", sería la de la función ![[tex]f[/tex]](images/latex/228663427166fa0dd8911ea5e0d4c3ddfd5ded79_0.png "[tex]f[/tex]") . Tené mucho cuidado con esto.
PD: mi primera vez que uso ![[tex]LaTex[/tex]](images/latex/fc35ccb535a939581afa9d2117a850a893f28efc_0.png "[tex]LaTex[/tex]")  
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marianoCuenze
Nivel 8
Registrado: 08 Mar 2006
Mensajes: 465
Carrera: Electrónica
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| phnx2k escribió:
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podrias hallar 2 vectores tangentes a la superficie F(x,y,z) = Cte (en 2 direcciones distintas), hacerles producto vectorial y tenes la normal del plano tangente
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"al igual que en las relaciones humanas, lo implícito es más sencillo", el método de fhran implica menos pasos (y "pensar menos" también)
pd: lo unico a acotar es que directamente se pienza en la función implicita de tres variables, en la curva de nivel F(x,y,z)=0 para de ahí sacar el gradiente (si escribis un gradiente de dos componentes y luego -en otro lugar- le pones un -1 que lo agrande, no es del todo bien visto a veces).
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aprender a desarrollar soft en 21 dias... * El amor es la fuerza que mantiene al universo
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Habermecanicus
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 06 Oct 2006
Mensajes: 921
Ubicación: Paseo Colón 850
Carrera: Mecánica
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| Cita:
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Yo estoy cursando cursando Analisis II, y lo que dijo Fhran es todo correcto. Acero nos rompe mucho con que pongamos de donde sale la normal, no sé como será en tú cátedra, pero en la mia, poner algo como el "gradiente extendido" o un gradiente de en una función que va de en es para tachar todo el ejercicio. Yo tengo que escribir la función y lo que estoy calculando es el gradiente a una curva de nivel igual a 0, cuya "gráfica", sería la de la función . Tené mucho cuidado con esto.
PD: mi primera vez que uso
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Es verdad, cuando hacen una composicion, cambio de variables, cambio de parametrizacion, siempre pongan otro nombre a la funcion por ejemplo g(x,y,z)=f(x,y)-z. No es redundante, la funcion es otra.
En mi primer parcial con acero, aprobamos pocos, pero a mi me recontra subrayo un ejercicio de composicion, que tenia esa sutileza.
Cuando te piden el gradiente a una superficie, usa esa parametrizacion para crearte una funcion de 3 variables, no de dos, por que si no, no es lo que te piden. y cuando te piden calcular el vector normal a la superficie de un campo escalar, primero te haces una funcion de tres variables de la cual esa superficie se superficie de nivel, no grafica del campo, y a esa nueva funcion de tres variables que se le pone otro nombre como dije, recien se le calcula el gradiente
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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| Habermecanicus escribió:
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Cuando te piden el gradiente a una superficie...
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Te lee Acero y te manda al mismísimo infierno... 
El gradiente se le calcula a una función nueva, y resulta que ese gradiente (un vector particular) es perpendicular a las curvas/superficies de nivel que son el gráfico de la función original.
O sea, si tenés una ![[tex]f(x,y)[/tex]](images/latex/47b2f6fdbbaf992926b205aeb2fb44f668e9cd2f_0.png "[tex]f(x,y)[/tex]") , y querés calcular la normal al plano tangente de su gráfica, armás una funcion ![[tex]G(x,y,z)[/tex]](images/latex/55e5d883c9d7a85619772597774c0a84327adc24_0.png "[tex]G(x,y,z)[/tex]") tal que ![[tex]G(x,y,z)=0[/tex]](images/latex/d11cf290c14f891da3d20b398e985da26cb6b82f_0.png "[tex]G(x,y,z)=0[/tex]") sea una superficie de nivel equivalente al gráfico de (es decir ![[tex]z = f(x,y)[/tex]](images/latex/d53253732fc81c53f7de33f33cb6ee2350a87644_0.png "[tex]z = f(x,y)[/tex]") ).
Calculás ![[tex]\nabla G(x,y,z)[/tex]](images/latex/8a677638829a01c1a26a9202810cb484208ab2ea_0.png "[tex]\nabla G(x,y,z)[/tex]") y resulta ![[tex]N = \lambda \cdot \nabla G(x,y,z)[/tex]](images/latex/c340387b6541eddd6e30d04133bcef98ea0f60b4_0.png "[tex]N = \lambda \cdot \nabla G(x,y,z)[/tex]") (es decir, "la" normal es paralela a este gradiente; no necesariamente deben ser iguales. De hecho, una normal, a menos que sea normalizada, no tiene una longitud particular, por lo que no existe sólo una; en el caso de referirse a versores normales, siempre existen 2...).
Luego con la normal, conseguís el plano muy fácilmente, como ya dijeron. 
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elgatitodeverdaguer
Nivel 6
Edad: 38
Registrado: 02 May 2007
Mensajes: 247
Ubicación: barrio norte
Carrera: Electrónica
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| phnx2k escribió:
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podrias hallar 2 vectores tangentes a la superficie F(x,y,z) = Cte (en 2 direcciones distintas), hacerles producto vectorial y tenes la normal del plano tangente
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| marianoCuenze escribió:
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"al igual que en las relaciones humanas, lo implícito es más sencillo", el método de fhran implica menos pasos (y "pensar menos" también)
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por supuesto, pero cuantos mas formas tengas de hacer es mejor, esto no es el parcial y esta bueno darle muchas formas de hacer el ejercicio al que pidio
ademas la parametrizacion de la curva te la estan regalando como la ponen ahi, seria tambien otra forma que no cuesta pensar mas de dos minutois
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