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Cornell
Ex-Staff
Edad: 41
Registrado: 08 Jun 2005
Mensajes: 6494
Ubicación: Del rio q arrastra todo dicen q es violento. nada dicen d lo violento d las margenes q lo contienen
Carrera: Industrial
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Bueno esta es la primera vez que uso ![[tex] $LaTeX$ [/tex]](images/latex/667c0c039be826b80f99d99848e1ad4d65dd51df_0.png "[tex] $LaTeX$ [/tex]") asi que tenganme paciencia si algunas cosas me salen mal.
Voy a pasar un coloquio de algebra del 21 de dic de 2005.
Esto es lo que tipee
| Cita:
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EVALUACION INTEGRADORA de ALGEBRA II, 21-12-05
1) sea T y sea B = {v1;v2;v3} una base de V. (a) Sabiendo que para cierta base B' de V,
[T]b' = matriz , determine los valores de alpha para los cuales [T]b es diagonalizable.
(b) Considerando B' y , hallar los autovalores y autoespacios de S
2) (a) Sea U ortogonal y tal que det (U)= 1. Probar que existe v R3, v distinto 0 , tal que Uv = v.
(b) Probar que si A pertenece a Rnxn es simetrica y tal que 2norma de x ^2 <o=xt(A+I)x<o=3norma de x ^2 para todo x e Rn, entonces A es inversible y los autovalores de A-1 pertenecen al intervalo [0,5,1]
3) La temperatura del punto [x1 x2]t del plano es T(x) = x1^2 + 2alphax1x2 + 4 x2^2 (aplpha e R). (a)Hallar los valores de alpha para los cuale slas isotermas son curvas cerradas
(b) Considerando alpha =2, hallar los puntos de la curva x1^2+4x2^*2 =4 en los cuales la temperatura es mínima.
4) (a) hallar Ae R3x3 tal que 4 y 1 sean autovalores de AtA, [1 1 0]t e Nul (A) y [1 0 1]t e Nul (At).
(b) Sabiendo que A e R2x2 es simetrica y tal que A[1 2]t = [2 4]t t det (A) = -2, halar la solucion del problema a valor inicial X' = A-1X, X(0) = [1 0 ]t.
Los alumnos del 2do cuatrimestre de 2004 o del 1ro de 2005 deben reemplazar el punto 4(b) por el siguiente:
(b*) Sea A e Rmxn. Probar que col (A+) = fil (A) y que Nul (A+) = Nul (At).
El examen se aprueba resolviendo correctamente al menos cuatro puntos. Justifique todas sus rerspuestas.
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Ahora empiezo a ponerle el , espero que se sienta bien igual.
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Cornell
Ex-Staff
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Bueno ya vi lo primero aprece feo p q no le puse la \ antes de LaTeX o sea ![[tex] $\LaTeX$ [/tex]](images/latex/c63687fd06b0fa9e0c9cfa7448f22c8d52637481_0.png "[tex] $\LaTeX$ [/tex]") . Si pasan el mouse por arriba de la imgen les muestra el codigo utilizado.
Empecemos:
1) Sea ![[tex]T[/tex]](images/latex/d2e04dadb5f6870434e79813f5ee568b1864df29_0.png "[tex]T[/tex]") y sea ![[tex]B = \{v_1;v_2;v_3\} [/tex]](images/latex/bfe351f697b6278cbd68def16a540df57b39e73f_0.png "[tex]B = \{v_1;v_2;v_3\} [/tex]") una base de ![[tex]V[/tex]](images/latex/7876671d1a34e42c976a8c88802554c9b286ae2a_0.png "[tex]V[/tex]") . (a) Sabiendo que para cierta base ![[tex]B'[/tex]](images/latex/8f5c0ee8c3f4a35a00902f0e01ca9967392c98d7_0.png "[tex]B'[/tex]") de ,
![[tex][T]_{B'} = \left[ \begin{array}{ccc} \alpha + 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & -1 \end{array} \right][/tex]](images/latex/b1b7dedf08b38843f06eeaeb80acdd203b10b5f1_0.png "[tex][T]_{B'} = \left[ \begin{array}{ccc} \alpha + 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & -1 \end{array} \right][/tex]") , determine los valores de ![[tex] \alpha [/tex]](images/latex/cb7f4cb9d8584697dde0587b683d59879243fa34_0.png "[tex] \alpha [/tex]") . para los cuales ![[tex][T]_B[/tex]](images/latex/77974c5d33422dda29ab8c19452e9cbe246a3fa1_0.png "[tex][T]_B[/tex]") es diagonalizable.
| Cita:
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Para los subíndices de un solo digito no necesito los {
Me parece que queda mejor ![[tex][T]_{B'} [/tex]](images/latex/b54afc0059410842816cb3caa16149fdbce48da4_0.png "[tex][T]_{B'} [/tex]") que ![[tex]\mathcal{[T]_{B'}} [/tex]](images/latex/0ab3c4a5f605c93fc7fd2df788dbefd47fc5ce66_0.png "[tex]\mathcal{[T]_{B'}} [/tex]")
Para hacer una matriz:
se empieza con el corchete \left[
\begin{array}{ccc} empieza la matriz y la cantidad de c es la cant de columnas
los elementos de la fila se separan con & y para terminar la fila se pone \\
cuando terminas la ultima fila pones \end{array} \right] y listo
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(b) Considerando ![[tex]B' = \{v_1 + v_2; v_2 + v_3; v_2 - v_3\} [/tex]](images/latex/848f601782417235f8ec806d0f4007ce87096cb4_0.png "[tex]B' = \{v_1 + v_2; v_2 + v_3; v_2 - v_3\} [/tex]") y ![[tex] \alpha = -2[/tex]](images/latex/4b35fd1677b48345aa0d14a0d62e1803cc22c72a_0.png "[tex] \alpha = -2[/tex]") , hallar los autovalores y autoespacios de ![[tex]S = T^5 + 2T [/tex]](images/latex/7a4491d47a7be9e8fd57285afd069ef4414a4f7a_0.png "[tex]S = T^5 + 2T [/tex]") .
| Cita:
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Bueno me cansé, por ahora ta medio feo pero va queriendo, despues sigo editando el post. Mientras practiquen con el ej 1.
[EDIT] Sigo:
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2) (a) Sea ![[tex]U[/tex]](images/latex/9817e7675b6edb3a5d569b307744275351d202b2_0.png "[tex]U[/tex]") ortogonal y tal que ![[tex]\det (U)= 1[/tex]](images/latex/2d01d5f47aa3a8e27e69bcf43fcc4fe16a71b236_0.png "[tex]\det (U)= 1[/tex]") . Probar que existe ![[tex]v \in \mathbf R^3, v \not= 0 [/tex]](images/latex/cf203ee8d310e523417f17b2aa63318206c65861_0.png "[tex]v \in \mathbf R^3, v \not= 0 [/tex]") , tal que ![[tex]Uv = v[/tex]](images/latex/95828b5827ca965aee16db334b3dc22e4ca2bf75_0.png "[tex]Uv = v[/tex]") .
(b) Probar que si ![[tex]A \in \mathbf R^{n \times n}[/tex]](images/latex/d0ffafd4714d7d01d6f2dc79ee438218c9cc4f1d_0.png "[tex]A \in \mathbf R^{n \times n}[/tex]") es simétrica y tal que ![[tex] 2\| x \| ^2 \leq x^t(A+I)x \leq 3\|x\| ^2 [/tex]](images/latex/e2a8df5814d6b794b9b2d1ca8b545388360b8a22_0.png "[tex] 2\| x \| ^2 \leq x^t(A+I)x \leq 3\|x\| ^2 [/tex]") para todo ![[tex] x \in \mathbf R^n[/tex]](images/latex/1fb2f6bf1b0439c7fcfa69edb8916e5be0d56da1_0.png "[tex] x \in \mathbf R^n[/tex]") , entonces ![[tex]A[/tex]](images/latex/734ef645c78704dbe5a136258a49d8425298f623_0.png "[tex]A[/tex]") es inversible y los autovalores de ![[tex]A^{-1}[/tex]](images/latex/8108d5c011668127d8b4c9ed233e88acf41d0c76_0.png "[tex]A^{-1}[/tex]") pertenecen al intervalo ![[tex][0.5,\;1][/tex]](images/latex/34c5772f094c339f4d9eae1efc417040267d1507_0.png "[tex][0.5,\;1][/tex]")
3) La temperatura del punto ![[tex] [x_1 \quad x_2]^t [/tex]](images/latex/b6609ab918cb92fbe691b025e2ce8a5370a46848_0.png "[tex] [x_1 \quad x_2]^t [/tex]") del plano es ![[tex]T(x) = x_1^2 + 2 \alpha x_1x_2 + 4x_2^2 [/tex]](images/latex/abf3e114f817b5c0d2e8a12fe7e382562099a846_0.png "[tex]T(x) = x_1^2 + 2 \alpha x_1x_2 + 4x_2^2 [/tex]") [/tex]](images/latex/3ec31680ec0a12f950fa1e950da4c9df824e2491_0.png "[tex]( \alpha \in \mathbf R )[/tex]") .
(a)Hallar los valores de para los cuales las isotermas son curvas cerradas.
(b) Considerando ![[tex] \alpha =2[/tex]](images/latex/8616751776e5b4b18ebb34e0d12bf7e626ef2b78_0.png "[tex] \alpha =2[/tex]") , hallar los puntos de la curva ![[tex] x_1^2+4x_2^2 =4[/tex]](images/latex/436d423d338ef9a8e3c58ad7cfb8b857e7dbf7f4_0.png "[tex] x_1^2+4x_2^2 =4[/tex]") en los cuales la temperatura es mínima.
4) (a) Hallar ![[tex]A \in \mathbf R^{3 \times 3} [/tex]](images/latex/4dfb045a78be86f0c97d5b0d6d20fc2b73b3fb0d_0.png "[tex]A \in \mathbf R^{3 \times 3} [/tex]") tal que 4 y 1 sean autovalores de ![[tex]A^tA[/tex]](images/latex/18fed8a40537782ba3f86e623c88626b1a488302_0.png "[tex]A^tA[/tex]") , ![[tex] [1 \quad 1 \quad 0]^t \in \mathrm{Nul} (A) [/tex]](images/latex/709617d1510456aca2c1f2b25642251ffd203816_0.png "[tex] [1 \quad 1 \quad 0]^t \in \mathrm{Nul} (A) [/tex]") y ![[tex] [1 \quad 0 \quad 1]^t \in \mathrm{Nul} (A^t)[/tex]](images/latex/5fd751d0e5b9aa6d4030fa386bfea902ac5ffe56_0.png "[tex] [1 \quad 0 \quad 1]^t \in \mathrm{Nul} (A^t)[/tex]") .
(b) Sabiendo que ![[tex]A \in \mathbf R^{2 \times 2}[/tex]](images/latex/39b79d3de9d545c0f0291029fcb03a89146d35f7_0.png "[tex]A \in \mathbf R^{2 \times 2}[/tex]") es simétrica y tal que ![[tex]A[1\quad 2]^t = [2 \quad 4]^t [/tex]](images/latex/d6a0d839b3df0b0ad40e37992292b15a268105fd_0.png "[tex]A[1\quad 2]^t = [2 \quad 4]^t [/tex]") y ![[tex] \det (A) = -2 [/tex]](images/latex/e93c1dcafcf5f119ffdebdcb22914ee5c8249da7_0.png "[tex] \det (A) = -2 [/tex]") , hallar la solución del problema a valor inicial ![[tex] X' = A^{-1}X [/tex]](images/latex/203c7a1c6e808cc3dc466b60f67e24b3b08b764c_0.png "[tex] X' = A^{-1}X [/tex]") , ![[tex]X(0) = [1 \quad 0 ]^t[/tex]](images/latex/0e6603c6a08a471a105f55d9db211a0bca67a4bf_0.png "[tex]X(0) = [1 \quad 0 ]^t[/tex]") .
Los alumnos del 2do cuatrimestre de 2004 o del 1ro de 2005 deben reemplazar el punto 4(b) por el siguiente:
(b*) Sea ![[tex] A \in \mathbf R^{m \times n}[/tex]](images/latex/7b40fb289f684b972cec513fcbd15c6b3aed639e_0.png "[tex] A \in \mathbf R^{m \times n}[/tex]") . Probar que ![[tex] \mathrm{Col} (A^+) = \mathrm{Fil} (A)[/tex]](images/latex/f91359e2314900036ffa4c7547ff0979265d5633_0.png "[tex] \mathrm{Col} (A^+) = \mathrm{Fil} (A)[/tex]") y que ![[tex] \mathrm{Nul} (A^+) = \mathrm{Nul} (A^t)[/tex]](images/latex/9be5a7ae1aa318e4f67622a5dc2e9c18f090bcb3_0.png "[tex] \mathrm{Nul} (A^+) = \mathrm{Nul} (A^t)[/tex]") .
El examen se aprueba resolviendo correctamente al menos cuatro puntos. Justifique todas sus rerspuestas.
| Cita:
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Preguntas:
1-como queda mejor los vectores?
asi .
o asi ![[tex] [x_1 \; x_2]^t [/tex]](images/latex/2e7f04a7307699f13e36b83123d09008bef65b47_0.png "[tex] [x_1 \; x_2]^t [/tex]") ![[tex]X(0) = [1 \; 0 ]^t[/tex]](images/latex/78d8d9df1c83a3c5612d9474da7fab0e8e62efe9_0.png "[tex]X(0) = [1 \; 0 ]^t[/tex]") .
No me convence ninguno de los dos espaciados, taria bueno uno intermedio.
2-como se hace con el intervao pa q se entienda?
3-Seria un kilombo poner los vectores como columnas no?
4-Para ser estrico cuando ponemos estamos poniendo \times en vez de simplemente x, esto sirve para algo? Es decir, esto se puede meter en algun lado despues para q sea interpretado matematicamente y haga algun calculo?
Bueno, al final no fue tan dificil. Me parece q esto es mas facil que luchar contra el word p q aca no tenes q seleccionar algo para ponerlo en el sub o superíndice, directamente escribis _ y ^ respectivamente. Una vez q aprendés algo empieza a salir mas rápido.
[/EDIT]
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Ahora estaria bueno postearlo en otro lado (para que lo vean) e intentar resolverlo entre todos. Alguien propone una solucion y la pasamos a latex para q quede lindo.
[EDIT2] Correcciones de Sebastian (estan en el post siguiente):
Reemplacé las \Re por \mathbf R
Use el \det que es una funcion
Me parece demasiado codigo usar una matriz para escribir un vector, dberia haber una forma de hacer un vector vertical (matriz de nx1) de una forma mas facil.
Reemplacé la fuente de los subespacios fundamentales por otra que se ve mejor
A ver como quedarian los vectores verticales:
![[tex]v = \left[ \begin{array}{c} \alpha + 1 \\ \beta - 48 \\ 15 - \delta^2 \end{array} \right][/tex]](images/latex/86be6c53349920e265c58e56daa1a2053859e63c_0.png "[tex]v = \left[ \begin{array}{c} \alpha + 1 \\ \beta - 48 \\ 15 - \delta^2 \end{array} \right][/tex]")
Mira la diferencia entre esto:
| Código:
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[tex]A[1\quad 2]^t = [2 \quad 4]^t [/tex]
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y esto:
![[tex]A \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ \end{array} \right][/tex]](images/latex/f1c14f0643861338e7b10e9327213b7ec4f0bccf_0.png "[tex]A \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ \end{array} \right][/tex]")
| Código:
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[tex]A \left[ \begin{array}{c}
1 \\ 2 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c}
2 \\ 4 \\ \end{array} \right][/tex]
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Última edición por Cornell el Vie Feb 24, 2006 3:03 pm, editado 2 veces
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Sebastian Santisi
Administrador Técnico
Edad: 42
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Mensajes: 17451
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Che... hago un par de correcciones a tus comentarios y a cómo resolviste algunas cosas:
- =
![[tex]\mathcal{[T]_{B'}} = \left[ \begin{array}{ccc} \alpha + 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & -1 \end{array} \right][/tex]](images/latex/e43a5ac9f41504022f46d38338be6ed7a9c06194_0.png "[tex]\mathcal{[T]_{B'}} = \left[ \begin{array}{ccc} \alpha + 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & -1 \end{array} \right][/tex]")
Ahí acuerdo con vos, la T en cursiva no queda tan bien; pero, ojo, te dejaste las dos versiones. Si llegaras a decidirte por la T en cursiva, repetila en cursiva en todo lado donde aparezca; y ojo, ![[tex]\mathcal T_{B'}[/tex]](images/latex/2bf5735cf62d905175e7a06a53727d4b8e926e58_0.png "[tex]\mathcal T_{B'}[/tex]") es distinto de ![[tex]\mathcal {T_{B'}}[/tex]](images/latex/ec22508f1eb80e6eb7c1946b02c45458f575de66_0.png "[tex]\mathcal {T_{B'}}[/tex]") ; en el segundo caso la fuente caligráfica también se aplica a la base B.
![[tex]Det (U)= 1[/tex]](images/latex/dca0df1bb1fce999bcfdba740fb08d1ac7dee478_0.png "[tex]Det (U)= 1[/tex]")
Ahí fijate que en el capítulo Funciones tenés una lista de cosas que se comportan como funciones, con otra caligrafía; en este caso sería ![[tex]\det (U) = 1[/tex]](images/latex/a8ba0db36087cc836d73a35e254f2be96be1699c_0.png "[tex]\det (U) = 1[/tex]") .
![[tex]v \in \Re^3, v \not= 0 [/tex]](images/latex/2beca02fc3945e1b20ea830c685b5df560e5bd23_0.png "[tex]v \in \Re^3, v \not= 0 [/tex]")
![[tex]A \in R^{n \times n}[/tex]](images/latex/17dada0f7ef556e2501e19a628b0bd295e68fe4c_0.png "[tex]A \in R^{n \times n}[/tex]")
En el parquete básico de las letras de conjuntos se hacen con fuente \mathbf; el símbolo ![[tex]\Re[/tex]](images/latex/94d7f8c13496572b1aece2a5841a628516fe63ee_0.png "[tex]\Re[/tex]") es para parte real de un número imaginario; en este caso sería ![[tex]\mathbf R^3[/tex]](images/latex/606da7a21a91dd4f635b084d22dd820604e3f2f9_0.png "[tex]\mathbf R^3[/tex]") o ![[tex]\mathbf R^{n \times n}[/tex]](images/latex/7d1f5c3f5f00c1218123109a22c3a08110b23d91_0.png "[tex]\mathbf R^{n \times n}[/tex]") .
-
Para vectores, que lo preguntás más adelante te conviene usar matrices; ![[tex]\left[ \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \end{array} \right][/tex]](images/latex/a01c1f3156cb598c8881b5173d8542465863a439_0.png "[tex]\left[ \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \end{array} \right][/tex]") .
![[tex] [1 \; 1 \; 0]^t \in Nul (A) [/tex]](images/latex/682c2e48819748cb46581eace681c77328a73829_0.png "[tex] [1 \; 1 \; 0]^t \in Nul (A) [/tex]")
Acá, lamentablemente no hay función para el nulo, sí la hay para el Núcleo, pero usa la notación inglesa de Kernel; la del núcleo sería ![[tex]\ker (A)[/tex]](images/latex/29a5e0c0ef3cf2614dda567ebd49c5787322d1a2_0.png "[tex]\ker (A)[/tex]") ... como no hay operador puede hacerse al mismo con fuente \mathrm; en este caso ![[tex]\mathrm{Nul} (A)[/tex]](images/latex/97e5e5d8e5bc4d964ce23a2da0ad43afb83ce965_0.png "[tex]\mathrm{Nul} (A)[/tex]") . Esto mismo corre para Fil y Col.
Eso es todo... excelente trabajo; y estaría bueno que escribieras un resumen sobre qué tanto te costó y eso.
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 ![[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]](images/latex/d678cf273c99d2546c259db3422b3d968b184721_0.png "[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]") ![[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]](images/latex/1e6580e1ed9e054ddefd65c0551c670c44f57f38_0.png "[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]")
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Sebastian Santisi
Administrador Técnico
Edad: 42
Registrado: 23 Ago 2005
Mensajes: 17451
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En primer lugar, para el que quiera verlo, la versión definitiva está en http://www.foros-fiuba.com.ar/viewtopic.php?t=922
| Cornell escribió:
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[EDIT2]Me parece demasiado codigo usar una matriz para escribir un vector, dberia haber una forma de hacer un vector vertical (matriz de nx1) de una forma mas facil.
Reemplacé la fuente de los subespacios fundamentales por otra que se ve mejor
A ver como quedarian los vectores verticales:
Mira la diferencia entre esto:
| Código:
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[tex]A[1\quad 2]^t = [2 \quad 4]^t [/tex]
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y esto:
| Código:
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[tex]A \left[ \begin{array}{c}
1 \\ 2 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c}
2 \\ 4 \\ \end{array} \right][/tex]
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(Casi paso por alto tu comentario; hacé post nuevo che  .)
En el paquete que ofrece la AMS hay utilidades para hacer más fáciles las matrices, o sea, hay macros definidas para eso... (si querés ver la sintáxis, fijate en la ayuda de la Wikipedia porque ahí usan eso).
Podría verse de agregarse acá... el tema es este; los comandos que ya están son pocos pero alcanzan para hacer absolutamente todo, son además coherentes los unos con los otros... el paquete este le corta un poco la coherencia y no sé si no terminaría siendo contraproducente poner una macro para hacer un vector pero que nadie sepa cómo se define una matriz o cómo se encierra entre llaves a una expresión.
Lo de la comparación que hacés no lo entendí... estás comparando vectores columna con vectores transpuestos.
Lo que se puede hacer, es cambiar el espaciado entre las llaves y los vectores; si quieren agrego un apéndice de eso al manual; así ocuparían menos los vectores y matrices.
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