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Mensaje |
Marce.-
Nivel 1
Registrado: 09 Feb 2008
Mensajes: 4
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Hola, tengo una duda en el ejercio de ![[tex]T(x) = AX - XA[/tex]](images/latex/f45fd7a1251f6aa7867f8c4a72e0a784f0ad542e_0.png "[tex]T(x) = AX - XA[/tex]") . Yo se que los autovalores de ![[tex]T(X) = AX[/tex]](images/latex/632b927c08a3528c92b8b421aad0de62f544656f_0.png "[tex]T(X) = AX[/tex]") son los mismos que ![[tex]A[/tex]](images/latex/734ef645c78704dbe5a136258a49d8425298f623_0.png "[tex]A[/tex]") . Pero que propiedades hay para ![[tex]XA[/tex]](images/latex/41859b263e9e775eca4531368ffce193b3dedbd0_0.png "[tex]XA[/tex]") ?
Muchisimas gracias.
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Marce.-
Nivel 1
Registrado: 09 Feb 2008
Mensajes: 4
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| sebastian_grodsinsky escribió:
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fijate que en la pag 2 ya preguntaron lo mismo y esta la respuesta tambienj
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La verdad que no encuentro la respuesta a lo que pregunto. Yo no estoy pregutando por que cero es autovalor de T(X). Yo quiero averiguar todos los demas autovalores de T(x). Yo se que los autovalores de AX son los mismos de A pero no se ninguna propiedad que me diga cuales son los autovalores de XA.
Osea que la pregunta es como hago para obtener todos los autovalores de T(X) sin tener que formar la matriz T en la canonica por ej.
Saludos.
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Pilar Lopez
Nivel 3
Registrado: 10 Nov 2005
Mensajes: 30
Ubicación: Ituzaingo
Carrera: Civil
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Es mas facil de lo que estas planteando... aca copie lo de la pag. 2...y dice asi... 
me parece que sale si decis que probar que 0 es autovalor equivale a probar . Entonces demostras que la matriz pertenece al núcleo y es un autovector asociado al autovalor 0, ya que .
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Marce.-
Nivel 1
Registrado: 09 Feb 2008
Mensajes: 4
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| Pilar Lopez escribió:
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Es mas facil de lo que estas planteando... aca copie lo de la pag. 2...y dice asi...
me parece que sale si decis que probar que 0 es autovalor equivale a probar . Entonces demostras que la matriz pertenece al núcleo y es un autovector asociado al autovalor 0, ya que .
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jajaja, pero pero yo no quiero la solucion del primer punto! Yo quiero que me digan como saco los autovalores para hacer el segundo punto de ese ejercicio.
Gracias! ajja
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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Se puede demostrar que si ![[tex]a[/tex]](images/latex/526bd77b4de5c74c1a40d9bb93c66189acdebf36_0.png "[tex]a[/tex]") y ![[tex]b[/tex]](images/latex/d9743ceabd07de72ebffcaa9730cfbe1226c541e_0.png "[tex]b[/tex]") son autovalores de entonces ![[tex]a-b[/tex]](images/latex/573824fa884bc4dd88ef0c9c0eead538a87e8043_0.png "[tex]a-b[/tex]") es autovaor de ![[tex]T(X)=AX-XA[/tex]](images/latex/9344e3ad29ed0aa4fe81339c39919c1e3f8ff394_0.png "[tex]T(X)=AX-XA[/tex]") . La demostración es así:
Si es autovalor de A existe un vector distinto de cero ![[tex]u[/tex]](images/latex/c0a8c2cb7cac5d96b201825d488d0e85101ddfa1_0.png "[tex]u[/tex]") tal que ![[tex]Au=au[/tex]](images/latex/eff64d16e2d0be841913cd4237f6a07f45f81613_0.png "[tex]Au=au[/tex]") .
Si es autovalor de entonces también es autovalor de ![[tex]A^T[/tex]](images/latex/c0a0d8ed69c47124fd9c7f779476b2ed0ede7ee8_0.png "[tex]A^T[/tex]") (la transpuesta de A). Luego existe un vector ![[tex]v[/tex]](images/latex/b81f3f1c5372939b80b003266b8b6059980ece93_0.png "[tex]v[/tex]") no nulo tal que ![[tex]A^Tv=bv[/tex]](images/latex/48f44baa77def745231d887379129e8a596f6320_0.png "[tex]A^Tv=bv[/tex]") .
Si llamamos ![[tex]Z=uv^T[/tex]](images/latex/b8471bada6e004a1640492ded49b7460294ce8b0_0.png "[tex]Z=uv^T[/tex]") , ![[tex]Z[/tex]](images/latex/6556e0bd9f6e6723b7009d80838ad1fd6ba93262_0.png "[tex]Z[/tex]") es una matriz cuadrada no nula tal que:
T(Z)=Auv^T-uv^TA=auv^T-u(Av)^T=aZ-(bv)^T=aZ-bZ=(a-b)Z
con lo cual es autovalor de ![[tex]T[/tex]](images/latex/d2e04dadb5f6870434e79813f5ee568b1864df29_0.png "[tex]T[/tex]") .
Fijate que y no tienen porqué ser distintos, con lo cual ![[tex]0=a-a[/tex]](images/latex/343f56feadff77577d8eb5d7a3b7beeb37c33680_0.png "[tex]0=a-a[/tex]") resulta autovalor.
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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En el mensaje anterior hay un par de errores, que arreglo abajo:
![[tex]T(Z)=Auv^T-uv^TA=auv^T-u(A^Tv)^T=aZ-u(bv)^T=aZ-bZ=(a-b)Z[/tex]](images/latex/446f12c0fc2dedc2d70daecf21305d31e704eba3_0.png "[tex]T(Z)=Auv^T-uv^TA=auv^T-u(A^Tv)^T=aZ-u(bv)^T=aZ-bZ=(a-b)Z[/tex]")
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Marce.-
Nivel 1
Registrado: 09 Feb 2008
Mensajes: 4
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| Jorge Pérez escribió:
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En el mensaje anterior hay un par de errores, que arreglo abajo:
T(Z)=Auv^T-uv^TA=auv^T-u(A^Tv)^T=aZ-u(bv)^T=aZ-bZ=(a-b)Z
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Gracias! eso era justo lo que quiera! gracias!
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