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Mensaje |
elena2226
Nivel 0
Registrado: 14 Jun 2007
Mensajes: 1
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Hola estoy intentando hacer este problema y no llego a la solucion, me gustaria que me explicarais cual es la forma de hacerlo.
Una masa de 5Kg se encuentra en el punto (0,5) y otra masa de 2Kg se encuentra en el punto (-3,0). Sobre la primera masa actua una fuerza
F1= 2j N y sobre la segunda una fuerza F2=2i N. Calcula:
a- Velocidad del CM para t=2sg.
b- La posicion de CM para t=2 seg.
c- La aceleracion con que se mueve el sistema.
Muchas gracias.
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ignis
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 02 Dic 2006
Mensajes: 488
Ubicación: down the telegraph road
Carrera: Civil
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La resolución es como sigue:
Para empezar, digamos que nuestro sistema en estudio son ![[tex]m_1[/tex]](images/latex/9b5eae7e183a947cd64edfad4e74db4c08d7d606_0.png "[tex]m_1[/tex]") y ![[tex]m_2[/tex]](images/latex/0f0e6bc3b66d5e494d44c4db75bef75432321a70_0.png "[tex]m_2[/tex]") , y plantiemos las siguientes ecuaciones:
![[tex] \mathbf{r _{CM}} = \frac{m_1 \cdot \mathbf{r _1} + m_2 \cdot \mathbf{r _2}} {m_1 +m_2}[/tex]](images/latex/06d3e09a54f0440f4adc11467eaf53e241dfcdbe_0.png "[tex] \mathbf{r _{CM}} = \frac{m_1 \cdot \mathbf{r _1} + m_2 \cdot \mathbf{r _2}} {m_1 +m_2}[/tex]")
![[tex] \mathbf{v_{CM}} = \frac{m_1 \cdot \mathbf{v _1} +m_2 \cdot \mathbf{v _2} }{m_1 +m_2}[/tex]](images/latex/94f7bb8d4e7474dfabbb88ca784409f9e2dbdcc5_0.png "[tex] \mathbf{v_{CM}} = \frac{m_1 \cdot \mathbf{v _1} +m_2 \cdot \mathbf{v _2} }{m_1 +m_2}[/tex]")
![[tex] \mathbf{a _{CM}} = \frac{m_1 \cdot \mathbf{a _1} +m_2 \cdot \mathbf{a _2} }{m_1 +m_2}[/tex]](images/latex/2d73b4e9e55da660f327a29fbda71844cc377e09_0.png "[tex] \mathbf{a _{CM}} = \frac{m_1 \cdot \mathbf{a _1} +m_2 \cdot \mathbf{a _2} }{m_1 +m_2}[/tex]")
Esas son la posición, velocidad y aceleración del centro de masa en el instante inicial, donde ![[tex]m_1=5 \, kg, \; m_1=2 \, kg[/tex]](images/latex/e3ca181edabd962380902cec46c7d8f1ee745fe3_0.png "[tex]m_1=5 \, kg, \; m_1=2 \, kg[/tex]") .
O sea,
![[tex] \mathbf{r _{CM}} = \mathbf{r _{CM0}} = \frac{5 \, kg \cdot (0;5)\,m + 2\,kg \cdot (-3;0)} {5 \, kg +2 \, kg}=\frac{(-6;25) \, m}{7}[/tex]](images/latex/e454df7c2cc9476b5422a56f2e886752d9f37c47_0.png "[tex] \mathbf{r _{CM}} = \mathbf{r _{CM0}} = \frac{5 \, kg \cdot (0;5)\,m + 2\,kg \cdot (-3;0)} {5 \, kg +2 \, kg}=\frac{(-6;25) \, m}{7}[/tex]")
Aunque no me dicen nada, supongo que ![[tex]\mathbf{v _1}=\mathbf{v _2}=\mathbf{0}[/tex]](images/latex/c8b1982f43c370ef8970926c10a0696e083e887e_0.png "[tex]\mathbf{v _1}=\mathbf{v _2}=\mathbf{0}[/tex]") . De todas formas no hace a la manera de resolver el ejercicio.
En cuanto a la aceleración de y de :
Como la única fuerza aplicada sobre es ![[tex]F_1=(0;2)\,N[/tex]](images/latex/65aef3ba234e57dd6fd6ffaaf69388ae94669345_0.png "[tex]F_1=(0;2)\,N[/tex]") , ![[tex]\mathbf{a _1}=\frac{F_1}{m_1}=\frac{(0;2)\,m}{5 \, s^2}[/tex]](images/latex/8d06ec3b501f139b9fba109b271c40ee8cf8e12d_0.png "[tex]\mathbf{a _1}=\frac{F_1}{m_1}=\frac{(0;2)\,m}{5 \, s^2}[/tex]")
Análogamente, para , ![[tex]\mathbf{a _2}=\frac{F_2}{m_2}=\frac{(2;0)\,N}{2 \, kg}=(1;0)\frac{m}{s^2}[/tex]](images/latex/2f5284975192de4954197fd341de9bfb7827d227_0.png "[tex]\mathbf{a _2}=\frac{F_2}{m_2}=\frac{(2;0)\,N}{2 \, kg}=(1;0)\frac{m}{s^2}[/tex]")
Entonces, respondiendo el inciso ![[tex]c[/tex]](images/latex/be9c3d50f54aca031d819fbe4d05ca6feeac5106_0.png "[tex]c[/tex]") , ![[tex] \mathbf{a _{CM}} = \frac{5 \, kg \cdot \frac{(0;2)\,m}{5 \, s^2}+2 \, kg \cdot (1;0)\frac{m}{s^2} }{7\,kg}=\frac{(0;2)N+(2;0)N}{7\,kg}=\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}[/tex]](images/latex/52c85f53449d8d1c97ab7c89658c53371c5a63e9_0.png "[tex] \mathbf{a _{CM}} = \frac{5 \, kg \cdot \frac{(0;2)\,m}{5 \, s^2}+2 \, kg \cdot (1;0)\frac{m}{s^2} }{7\,kg}=\frac{(0;2)N+(2;0)N}{7\,kg}=\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}[/tex]")
La aceleración del centro de masa, así como la de cada una de las partículas que componen el sistema en estudio, es constante en el tiempo (y distinta de cero). Por ello, sus velocidades y posiciones no lo son. Para encontrar ![[tex] \mathbf{r _{CM}}(t)[/tex]](images/latex/4c1219bf5004c834c67eec762336b4cb97342235_0.png "[tex] \mathbf{r _{CM}}(t)[/tex]") y ![[tex] \mathbf{v _{CM}}(t)[/tex]](images/latex/39a5039c50f71ea25064266f4907b7efde652535_0.png "[tex] \mathbf{v _{CM}}(t)[/tex]") , integramos ![[tex] \mathbf{a _{CM}}[/tex]](images/latex/2ae53a39fa58265f2e15fda93746eb0b00733a64_0.png "[tex] \mathbf{a _{CM}}[/tex]") .
![[tex] \mathbf{a _{CM}}=\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}[/tex]](images/latex/161f53422b1649c84497e81f12a9c823955d5b1c_0.png "[tex] \mathbf{a _{CM}}=\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}[/tex]")
![[tex] \frac{d\mathbf{v _{CM}}}{dt} =\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}[/tex]](images/latex/d4a818d65c152cced863ebaaaee2fdbafd10e89c_0.png "[tex] \frac{d\mathbf{v _{CM}}}{dt} =\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}[/tex]")
![[tex] d\mathbf{v _{CM}} =\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}dt[/tex]](images/latex/db9395648eb54dbcf61594495b3ac0f6f6b5c8ec_0.png "[tex] d\mathbf{v _{CM}} =\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}dt[/tex]")
![[tex]\int_{v_0}^v d\mathbf{v _{CM}} =\int_{t_0}^t \frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}dt[/tex]](images/latex/0289946297dd0e1a3e9bb9cb8c6a85a98373dc6a_0.png "[tex]\int_{v_0}^v d\mathbf{v _{CM}} =\int_{t_0}^t \frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}dt[/tex]")
![[tex]\mathbf{v _{CM}}(t)-\mathbf{v _{CM0}}=\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}(t-t_0)[/tex]](images/latex/0097804de48b02c4c04be64b35622585586ad131_0.png "[tex]\mathbf{v _{CM}}(t)-\mathbf{v _{CM0}}=\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}(t-t_0)[/tex]")
![[tex]\mathbf{v _{CM}}(t)=\mathbf{v _{CM0}}+\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}(t-t_0)[/tex]](images/latex/2c8e7b66d526087578450bff5c9789789d551391_0.png "[tex]\mathbf{v _{CM}}(t)=\mathbf{v _{CM0}}+\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}(t-t_0)[/tex]")
Como supusimos que , entonces también ![[tex]\mathbf{v _{CM0}}=\mathbf{0}[/tex]](images/latex/887fb027d56bf81cd23d8091fa9cb9d89145980c_0.png "[tex]\mathbf{v _{CM0}}=\mathbf{0}[/tex]") , y queda: ![[tex]\mathbf{v _{CM}}(t)=\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}(t-t_0)[/tex]](images/latex/242b9158c50aa5d65460ff29a9643720e6a24cea_0.png "[tex]\mathbf{v _{CM}}(t)=\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}(t-t_0)[/tex]")
Por decreto físicomatemático, digamos también que ![[tex]t_0=0[/tex]](images/latex/e625d06d2e108e960cf7e59f269b9be4234deb42_0.png "[tex]t_0=0[/tex]") , entonces, ![[tex]\mathbf{v _{CM}}(t)=\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}t[/tex]](images/latex/09567ee736584965c1901b7fb59248bac6a530f0_0.png "[tex]\mathbf{v _{CM}}(t)=\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}t[/tex]")
y podemos responder el inciso ![[tex]a[/tex]](images/latex/526bd77b4de5c74c1a40d9bb93c66189acdebf36_0.png "[tex]a[/tex]") : ![[tex]\mathbf{v _{CM}}(2\,s)=\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}2\,s=\frac{(4;4)\,m}{7\,s}[/tex]](images/latex/825476baf85b1809f9fe9ad60a9addc734a6c9b3_0.png "[tex]\mathbf{v _{CM}}(2\,s)=\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}2\,s=\frac{(4;4)\,m}{7\,s}[/tex]")
Ahora integremos ![[tex]\mathbf{v _{CM}}(t)[/tex]](images/latex/827344815975df0f77a537f2d487cd376ee185f1_0.png "[tex]\mathbf{v _{CM}}(t)[/tex]")
![[tex] \frac{d\mathbf{r _{CM}}}{dt} =\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}t[/tex]](images/latex/365e09f2a3fa5dda2840a69fd238d5496e4091bc_0.png "[tex] \frac{d\mathbf{r _{CM}}}{dt} =\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}t[/tex]")
![[tex] d\mathbf{r _{CM}} =\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}tdt[/tex]](images/latex/e3e4e2991254d24b544223734cca5d61405fc748_0.png "[tex] d\mathbf{r _{CM}} =\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}tdt[/tex]")
![[tex]\int_{r_0}^r d\mathbf{r _{CM}} =\int_{t_0}^t \frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}tdt[/tex]](images/latex/5817c4285fc8fd127662286699374706880f525d_0.png "[tex]\int_{r_0}^r d\mathbf{r _{CM}} =\int_{t_0}^t \frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}tdt[/tex]")
![[tex]\int_{r_0}^r d\mathbf{r _{CM}} =\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}\int_{t_0}^t tdt[/tex]](images/latex/fa7b8a18104c42da9fe9721740bf30627dc0be00_0.png "[tex]\int_{r_0}^r d\mathbf{r _{CM}} =\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}\int_{t_0}^t tdt[/tex]")
![[tex]\mathbf{r _{CM}}(t)-\mathbf{r _{CM0}}=\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}\frac{t^2-t_0^2}{2}[/tex]](images/latex/dc86fcdd241bec1ecb0563c375cbfa98cc7e49df_0.png "[tex]\mathbf{r _{CM}}(t)-\mathbf{r _{CM0}}=\frac{(2;2)\,m}{7\,s^2}\frac{t^2-t_0^2}{2}[/tex]")
![[tex]\mathbf{r _{CM}}(t)=\mathbf{r _{CM0}}+\frac{(1;1)\,m}{7\,s^2}(t^2-t_0^2)[/tex]](images/latex/c54ad75a939a7e53c09b1ba2daf6206bee206059_0.png "[tex]\mathbf{r _{CM}}(t)=\mathbf{r _{CM0}}+\frac{(1;1)\,m}{7\,s^2}(t^2-t_0^2)[/tex]")
Como , y ![[tex]\mathbf{r _{CM0}} = \frac{(-6;25) \, m}{7}[/tex]](images/latex/068616195c21be00dd487995028e21b5a186d132_0.png "[tex]\mathbf{r _{CM0}} = \frac{(-6;25) \, m}{7}[/tex]") , queda: ![[tex]\mathbf{r _{CM}}(t)=\frac{(-6;25) \, m}{7}+\frac{(1;1)\,m}{7\,s^2}t^2[/tex]](images/latex/21ab693a03553a1016f3cf689c69e9f82274970c_0.png "[tex]\mathbf{r _{CM}}(t)=\frac{(-6;25) \, m}{7}+\frac{(1;1)\,m}{7\,s^2}t^2[/tex]") .
Entonces para ![[tex]t=2\,s[/tex]](images/latex/db3ffb8444033191076d728e1f643bc2c3f45ca5_0.png "[tex]t=2\,s[/tex]") (inciso ![[tex]b[/tex]](images/latex/d9743ceabd07de72ebffcaa9730cfbe1226c541e_0.png "[tex]b[/tex]") ):
![[tex]\mathbf{r _{CM}}(t)=\frac{(-6;25) \, m}{7}+\frac{(1;1)\,m}{7\,s^2}(2\,s)^2=\frac{(-6;25) \, m}{7}+\frac{(2;2)\,m}{7}=\frac{(-4;27)\,m}{7}[/tex]](images/latex/7df9c2df4c03cae8d19beb0538f60b2c497b5f0b_0.png "[tex]\mathbf{r _{CM}}(t)=\frac{(-6;25) \, m}{7}+\frac{(1;1)\,m}{7\,s^2}(2\,s)^2=\frac{(-6;25) \, m}{7}+\frac{(2;2)\,m}{7}=\frac{(-4;27)\,m}{7}[/tex]")
Bueno, espero haber eliminado dudas. Cualquier error avisen.
Saludos
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ignis
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bakaloca
Nivel 4
Edad: 38
Registrado: 25 Ene 2007
Mensajes: 84
Ubicación: Martinez
Carrera: Industrial
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ignis, excelente resolucion.. pero al final te olvidaste de poner los 2 segundos al cuadrado.. multiplicaste (1;1)x 2s(al cuadrado) en vez de (1;1) x (2s)(al cuadrado) = (1;1) x 4s(cuad) = (4;4)
el resultado quedaria (-2;29)m/7.. pero es un detalle
Saludos
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viktoriadelarosa
Nivel 2
Edad: 37
Registrado: 27 Dic 2007
Mensajes: 6
Ubicación: sudaca
Carrera: Alimentos y Informática
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![[tex]$\fontfamily{ppl}\selectfont%¿I'm gonna hire \emph{you} as my \LaTeX\ salesman?\par%I don't think so.$ [/tex]](images/latex/ec6596fd6cd160201e27ffed9b09f00e905378fc_0.png "[tex]$\fontfamily{ppl}\selectfont%¿I'm gonna hire \emph{you} as my \LaTeX\ salesman?\par%I don't think so.$ [/tex]")