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scigo
Nivel 3
Edad: 35
Registrado: 28 Feb 2008
Mensajes: 24
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Buenas gente, estuve buscando, pero encuentro versiones distintas...
Quiero parametrizar una esfera, ejemplo x^2+y^2+z^2=4, en coordenadas esféricas, veamos:
x=r.cos(thita)sen(w)
y=r.sen(thita)sen(w)
z=r.cos(w)
0<=thita<=2pi
0<=w<=pi
0<=r<=2
Mi pregunta es: ¿Es lo mismo usar los siguientes límites de integración?
0<=thita<=pi
0<=w<=2pi
0<=r<=2
Hay dos opciones:
1. Alguno de los dos límites está mal (no encuentro el por qué)
2. Los dos están bien (me dan resultados distintos, capaz estoy errándole en algún número)
Perdón por no usar Latex =(
Gracias 
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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El w parece el azimuth, que debería ir entre ![[tex]-\frac{\pi}{2}[/tex]](images/latex/3ac1a6566f079932217f706f9181bad089bd995b_0.png "[tex]-\frac{\pi}{2}[/tex]") y ![[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]](images/latex/099837c8b41b61b95e1af79a9a70edec6d66bbd8_0.png "[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]") , ¿o no?
Ahora que lo comparo con la Wikipedia, ¿estás seguro que esa parametrización está bien? Están cambiados los ángulos parece...
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fchouza
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 18 Sep 2007
Mensajes: 4253
Carrera: No especificada
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x=r.cos(thita)sen(w)
y=r.sen(thita)sen(w)
z=r.cos(w)
0<=thita<=2pi
0<=w<=pi
0<=r<=2
Esta es la que está bien. La otra es un cambio de variable que también se usa, pero para que te de bien tenés que cambiar la parametrización y por lo tanto, el jacobiano.
EDIT: Podés chequearlo fácil...hacés la cuenta con la integral y depsués hacés 4/3*pi*r^3
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"Quien se arrodilla ante el hecho consumado, es incapaz de enfrentar el porvenir" L.T.
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scigo
Nivel 3
Edad: 35
Registrado: 28 Feb 2008
Mensajes: 24
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Sí, cuando me fijé en Wikipedia encontré lo mismo...
El tema es que yo lo pienso así:
thita le hago dar 1 vuelta entera (0 a 2pi) con rho 0<=r=<2, entonces me queda un disco de radio 2 y centro en el (0,0), sobre el plano XY. Y después, lo que tengo que hacer para tener una esfera no hueca, es "girar el eje Z" media vuelta (0 a pi) y ya tengo la esfera. No sé si me explico bien...
No entiendo por qué ahí hacen que el dominio de w sea 0 a 2pi...
Pero si decís que está bien usaré eso ^^.
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scigo
Nivel 3
Edad: 35
Registrado: 28 Feb 2008
Mensajes: 24
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| fchouza escribió:
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x=r.cos(thita)sen(w)
y=r.sen(thita)sen(w)
z=r.cos(w)
0<=thita<=2pi
0<=w<=pi
0<=r<=2
Esta es la que está bien. La otra es un cambio de variable que también se usa, pero para que te de bien tenés que cambiar la parametrización y por lo tanto, el jacobiano.
EDIT: Podés chequearlo fácil...hacés la cuenta con la integral y depsués hacés 4/3*pi*r^3
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Gracias por la explicación, al igual que a 4WD =)
Esa parametrización no es la que yo postée? o no quisiste poner eso?
PD: No encuentro el botón para editar ja.
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fchouza
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 18 Sep 2007
Mensajes: 4253
Carrera: No especificada
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| scigo escribió:
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| fchouza escribió:
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x=r.cos(thita)sen(w)
y=r.sen(thita)sen(w)
z=r.cos(w)
0<=thita<=2pi
0<=w<=pi
0<=r<=2
Esta es la que está bien. La otra es un cambio de variable que también se usa, pero para que te de bien tenés que cambiar la parametrización y por lo tanto, el jacobiano.
EDIT: Podés chequearlo fácil...hacés la cuenta con la integral y depsués hacés 4/3*pi*r^3
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Gracias por la explicación, al igual que a 4WD =)
Esa parametrización no es la que yo postée? o no quisiste poner eso?
PD: No encuentro el botón para editar ja.
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Si, es la que posteaste vos y es la que esta bien, la otra está mal.
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"Quien se arrodilla ante el hecho consumado, es incapaz de enfrentar el porvenir" L.T.
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scigo
Nivel 3
Edad: 35
Registrado: 28 Feb 2008
Mensajes: 24
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| Okey, gracias a ambos por responder !
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zlatan
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 02 Feb 2009
Mensajes: 1180
Carrera: No especificada
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| UNO DE LOS ANGULOS, EL QUE SE MIDE DESDE EL EJE VERTICAL, ES SOLIDO, ES DECIR QUE CUBRE TODO EL DOMINIO VARIANDO DE 0 A PI..
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Pablon
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 16 Feb 2010
Mensajes: 168
Ubicación: Banfield
Carrera: Informática
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Aprovecho este topic asi no creo un tema nuevo.
Como fijo los limites del radio en la integral triple para sacar el volumen, pero en una esfera que esta desplazada en uno de sus ejes.
Es decir, el tema ahora cuando la ecuación es por ejemplo
![[tex]{(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 4 [/tex]](images/latex/e5b416cbf1695f403a9501845f7d1326f5dacda1_0.png "[tex]{(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 4 [/tex]")
Desde ya muchas gracias.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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En este caso lo que menos te conviene usar es esféricas. Yo que vos lo plantearía en cilíndricas, proyectando en el plano yz. Así:
![[tex]Vol(R) = \int_{0}^{2\pi}{ d\theta \int_{0}^{2}{r \,\, dr \int_{-\sqrt{4-r^{2}} + 1}^{ \sqrt{4-r^{2}} }{ dx } } }[/tex]](images/latex/de61f481c007ec0dab526ce5768e40e3865a71e3_0.png "[tex]Vol(R) = \int_{0}^{2\pi}{ d\theta \int_{0}^{2}{r \,\, dr \int_{-\sqrt{4-r^{2}} + 1}^{ \sqrt{4-r^{2}} }{ dx } } }[/tex]")
Si es para ver como quedan los límites está bien que preguntes. Si es para calcular el volúmen de la esfera, usas la formulita y listo 
Saludos
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Me parece que lo más lógico sería hacer
![[tex]x = R cos (\theta) sen (\phi) +1[/tex]](images/latex/a60b52cb0696e15841d53f0e956404144ff61790_0.png "[tex]x = R cos (\theta) sen (\phi) +1[/tex]")
![[tex]y = R sen (\theta) sen (\phi)[/tex]](images/latex/eca6d1bd5579594ff865787baecb0f73444ec774_0.png "[tex]y = R sen (\theta) sen (\phi)[/tex]")
![[tex]z = R cos (\phi) [/tex]](images/latex/d64b4bb331a1b37c734026698eefa8f6432ba9c9_0.png "[tex]z = R cos (\phi) [/tex]")
Y una vez más
![[tex]0 \leq \theta \leq 2\pi [/tex]](images/latex/b8e2a211c6fc0b7613740f54d8e85afcbb60eaba_0.png "[tex]0 \leq \theta \leq 2\pi [/tex]")
![[tex]0 \leq \phi \leq pi [/tex]](images/latex/b5b5a586642ad760a7af65d050b67f0f0cb5b83f_0.png "[tex]0 \leq \phi \leq pi [/tex]")
![[tex]0 \leq R \leq 2 [/tex]](images/latex/56334fc0b7d2c0846433c92e2d1c80e5fd3d3cf4_0.png "[tex]0 \leq R \leq 2 [/tex]")
Eso sería la parametrización en esféricas de eso, que creo fue lo que preguntaste.
Personalmente, correría la esfera al origen, total al volumen la traslación no le va a cambiar nada (distinto si tuvieras una función escalar distinta de una constante a integrar).
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Matts
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 18 May 2009
Mensajes: 1054
Carrera: Industrial y Química
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Por que un angulo va llega hasta Pi y el otro hasta 2Pi ???
No deberian llegar los dos hasta 2Pi ???
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Snajdan
Nivel 5
Registrado: 21 Oct 2009
Mensajes: 191
Ubicación: Banfield.
Carrera: Química
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Depende de como uses las coordenadas,
en ese caso si usas x=1+ro cos (thita) sen (w) los limites son los mismos.. de 2 a 0.
sin correr x, supongo que te quedaría algo feo.
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SNAJ.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| sabian_reloaded escribió:
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Me parece que lo más lógico sería hacer
Y una vez más
Eso sería la parametrización en esféricas de eso, que creo fue lo que preguntaste.
Personalmente, correría la esfera al origen, total al volumen la traslación no le va a cambiar nada (distinto si tuvieras una función escalar distinta de una constante a integrar).
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El problema con este cambio de coordenadas, es que el Jacobiano no queda tan amigable como uno cree...
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| Jackson666 escribió:
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| sabian_reloaded escribió:
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Me parece que lo más lógico sería hacer
Y una vez más
Eso sería la parametrización en esféricas de eso, que creo fue lo que preguntaste.
Personalmente, correría la esfera al origen, total al volumen la traslación no le va a cambiar nada (distinto si tuvieras una función escalar distinta de una constante a integrar).
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El problema con este cambio de coordenadas, es que el Jacobiano no queda tan amigable como uno cree...
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El Jacobiano no depende solo de las derivadas? Sumar constantes no tendría que afectar a las derivadas.
Edit: Matts: Si ambos angulos van hasta 2pi, estaría poniendo 2 veces cada punto, pues el angulo phi lo unico que hace es levantarlos del eje z, de 0 a pi/2 los levanta hacia arriba (en si, en phi = 0 estan en el eje z, a medida que te acercás a pi/2 vas quedando en el plano x,y) y después de pi/2 a pi los vas bajando hasta alcanzar z- en pi. Si a phi lo haces ir de 0 a 2pi, estas levantando y bajando dos veces cada punto.
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Última edición por sabian_reloaded el Sab Jul 17, 2010 4:53 pm, editado 4 veces
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