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PabloFederico
Nivel 1
Registrado: 29 Dic 2008
Mensajes: 3
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| Gente una pregunta existencial de Formas Cuadraticas, si tengo un par de formas cuadraticas o 2 matrices , para hallar los valores maximos y minimos de las formas cuadraticas es haciendo: B a la menos 1 por A y ahi sacar los autovalores y esos son los maximos y minimos, esto es el cociente de RayLeigth?? Siempre sirve hacer esto? Cuando no son simetricas que se hace? A ver si alguien me aclara un poco...Se lo agradeceria muchas gracias.
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daezmo
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 20 Jun 2008
Mensajes: 147
Carrera: Electrónica
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| Lo único que tenés que asegurarte es que B sea definida positiva...
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sosey
Nivel 5
Registrado: 01 Abr 2007
Mensajes: 141
Ubicación: Chaco ;)
Carrera: Informática
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hola, lo que te dice el teorema es lo siguiente
LandaMin(A) <= x^t A x / || x ||^2 <= LandaMax(A)
y que el minimo se alcanza en el autovector asociado al autovalor minimo, y el maximo con el autovector asociado al autovalor maximo.
la condicion de que A sea simetrica, es para demostrar que es un producto interno, en este caso, A debe hermitica y todos sus autovalores deben ser mayores a cero. Si no son simetricas, lo que podes hacer es desarrollar el producto matricial para un vector x general, agrupando todo y armando de nuevo la matriz. En caso de que la matriz sea anti simetrica, osea que A = - A^t, podes reemplar a la matriz por la matriz B, donde B = 1/2(A+A^t).
espero que te haya servido.
Suerte
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y de nada nos sirvió aprender...
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kinchochan
Nivel 8
Edad: 38
Registrado: 14 Nov 2006
Mensajes: 503
Ubicación: Casi nunca.
Carrera: Electrónica
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Sid Bernard
Nivel 9
Edad: 35
Registrado: 20 Jul 2008
Mensajes: 1287
Ubicación: Al lado del Sub Esp. $ = <(TT,0,2+3i)(3,18,4)(0,0,e)>
Carrera: Electrónica y Informática
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![[tex]\lambda Min(A) \leq \frac{x^T A x }{||x||^2} \leq \lambda Max(A)[/tex]](images/latex/74c280b94ea335995aaf3338b09ce6695e23c9a2_0.png "[tex]\lambda Min(A) \leq \frac{x^T A x }{||x||^2} \leq \lambda Max(A)[/tex]")
Paso a [tex]\LaTeX[/tex] lo q puso sosey asi se puede entender un poco mas saludos 
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![[tex]\ll[/tex]](images/latex/18b0ee03b28e763622221fda561df49104e1b3e8_0.png "[tex]\ll[/tex]") ![[tex]${\Large \definecolor{forestgreen}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{forestgreen} [S]iD [B]eRnArD!}$ [/tex]](images/latex/6c26715c673b69707083d47474a370e7efaea3c0_0.png "[tex]${\Large \definecolor{forestgreen}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{forestgreen} [S]iD [B]eRnArD!}$ [/tex]") ![[tex]\gg[/tex]](images/latex/0e111618adc71d5c5a3da3b35e41887d8078d70d_0.png "[tex]\gg[/tex]") ![[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]](images/latex/3ab0ca99025a1273576a70bba37de38367369007_0.png "[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]") ![[tex]\color{blue} "\mathbf{\mathit{The\, Music\, Rules\, The\, World}}" [/tex]](images/latex/977817249ec7b4599126eef9d7046fe801e615ed_0.png "[tex]\color{blue} \"\mathbf{\mathit{The\, Music\, Rules\, The\, World}}\" [/tex]")
SOY ACERISTA Y QUE!!!!!
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PabloFederico
Nivel 1
Registrado: 29 Dic 2008
Mensajes: 3
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Bueno muchisimas gracias, creo que ya me saque las dudas con este tema cualquier cosa pregunto lo que me falta...
Muchas graciass a todos, me sirve muchoo 
un abrazo
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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Hay una generalización del cociente de Rayleigh que dice lo siguiente:
Si ![[tex] A \in R^{n \times n} [/tex]](images/latex/78f5134bc53a6e576930e595ecdc65b178e0d23e_0.png "[tex] A \in R^{n \times n} [/tex]") es simétrica y ![[tex] B \in R^{n \times n} [/tex]](images/latex/ab1bdfccb58b2796543787fdd7e31ddaacdd26f3_0.png "[tex] B \in R^{n \times n} [/tex]") es simétrica y definida positiva, entonces
![[tex] \lambda_m(A,B) \le \frac{x^TAx}{x^TBx} \le \lambda_M(A,B), [/tex]](images/latex/6bdc70be9c68cdd3d013dce77261d6a4f3b48ae9_0.png "[tex] \lambda_m(A,B) \le \frac{x^TAx}{x^TBx} \le \lambda_M(A,B), [/tex]")
siendo ![[tex] \lambda_m(A,B) [/tex]](images/latex/9c2e6b6d7ed963c6e508cf4a9b4a6211f21277bd_0.png "[tex] \lambda_m(A,B) [/tex]") y ![[tex] \lambda_M(A,B) [/tex]](images/latex/f02fc7c2ef576fad4615c8042693403903553100_0.png "[tex] \lambda_M(A,B) [/tex]") el mínimo y el máximo autovalor de ![[tex] B^{-1}A, [/tex]](images/latex/ba2c952e00ed9dca7339d443ab3b8ed510a5a26b_0.png "[tex] B^{-1}A, [/tex]") respectivamente.
Se puede demostrar también que los autovalores de ![[tex] B^{-1}A [/tex]](images/latex/2df6a07e5bc7043b7dcc401b9a21d4c28e06d6e2_0.png "[tex] B^{-1}A [/tex]") son las raíces de la ecuación
![[tex] \det(A-\lambda B) =0 [/tex]](images/latex/ca6cda1cab61addc1c8945d3e0d785d97c0f23e2_0.png "[tex] \det(A-\lambda B) =0 [/tex]")
lo que te evita de invertir ![[tex] B [/tex]](images/latex/dc4eee050120e76592532b69bdc7e14368ea0fcc_0.png "[tex] B [/tex]") .
De lo anterior sale que
![[tex] \min_{x^TBx=1} x^TAx=\lambda_m(A,B) [/tex]](images/latex/f06c237c9659bcb3f28ac4d8de7c2c485e3df1fb_0.png "[tex] \min_{x^TBx=1} x^TAx=\lambda_m(A,B) [/tex]") y que ![[tex] \max_{x^TBx=1} x^TAx=\lambda_M(A,B). [/tex]](images/latex/8a1c7b0d0d5aaf5c9848c969e1bfc101ad9e75a6_0.png "[tex] \max_{x^TBx=1} x^TAx=\lambda_M(A,B). [/tex]")
Además se tiene que los extremos se alcanzan en los correspondientes autovectores de que satisfacen la restricción ![[tex] x^TBx=1[/tex]](images/latex/f436b689239ddcbdaa92aaf8dfbac3945969b43f_0.png "[tex] x^TBx=1[/tex]") .
Esos autovectores también se pueden calcular sin invertir ![[tex] B[/tex]](images/latex/3b1db7f4384005c79e078436764e92af1729f749_0.png "[tex] B[/tex]") porque es fácil ver que ![[tex] B^{-1}Av=\lambda v [/tex]](images/latex/a6f4caaf876b7ae33d3bd062a3d98adc7bf2ffbf_0.png "[tex] B^{-1}Av=\lambda v [/tex]") si y solo si ![[tex] Av=\lambda B v [/tex]](images/latex/329f24738ccee3476d48116c1b4bec6605e1e926_0.png "[tex] Av=\lambda B v [/tex]") .
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PabloFederico
Nivel 1
Registrado: 29 Dic 2008
Mensajes: 3
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A ver gente si me corrigeen, a ver si estoy entendiendo el tema:
Para buscar los maximos y minimos de una forma cuadratica:
1) Si tengo una forma cuadratica a la que le llamo fa (x) , y la restriccion ( que tmb es otra forma cuadratica que la puedo llamar fb (x) ) es MODULO X^2 entonces esto se soluciona hallando los Avalores de la matriz de fa(x), ya que la matriz de fb(x) seria la identidad y entonces B^-1 * A = A .
2) Si tengo una fa(x) y la restriccion no es la de modulo de X al cuadrado, llamando fb(x) a la restriccion, entonces diagonalizo la matriz de fb(x) y uso esta matriz Diagonal para hacer el calcaulo B^-1 * A.?
Bueno, a ver si me pueden contestar eso mas que nada. Gracias 
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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Yo tengo una pregunta en cuanto a esto, sabemos que el cociente es
![[tex]\lambda Min(A) \leq \frac{Q(x)}{||x||^2} \leq \lambda Max(A)[/tex]](images/latex/527745b0c7f143335584584a5fb71818dbe80e5e_0.png "[tex]\lambda Min(A) \leq \frac{Q(x)}{||x||^2} \leq \lambda Max(A)[/tex]")
pero vi un ejercicio que lo invierte(![[tex]\frac{1}{ \lambda Max (A)} \leq \frac{||x||^2}{Q(x)} \leq \frac{1}{ \lambda Min(A)}[/tex]](images/latex/4106bc917593b4f680fa4b3c0b74c7c4c4bfe3af_0.png "[tex]\frac{1}{ \lambda Max (A)} \leq \frac{||x||^2}{Q(x)} \leq \frac{1}{ \lambda Min(A)}[/tex]") ) en la resolución y no entendí porque, no es la primera vez que lo veo, y quisiera saber cuando se lo invierte y porque es o no necesario.
Gracias.
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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lo invertís cuando lo que tenés que calular es el max/min de la norma del vector restringido (¿se escribe así?) a una forma cuadrática constante:
![[tex]\mathrm{max/min} \{||x||:Q(x)=k \}[/tex]](images/latex/d3342f9df2c68a742d7655d8493a7ca91a60866d_0.png "[tex]\mathrm{max/min} \{||x||:Q(x)=k \}[/tex]")
edit: si la matriz no es def.positiva, no existe máximo de la norma del vector restringido a Q=k
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leandrob_90
Revivamos el Chat-FIUBA
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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| leandrob_90 escribió:
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lo invertís cuando lo que tenés que calular es el max/min de la norma del vector restringido (¿se escribe así?) a una forma cuadrática constante:
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Estuve leyendo un poco y te corrijo algo, no es que la forma cuadratica constante restringe a un vector, sino q a otra forma cuadratica.
En el caso de la norma de un vector, se da que ![[tex]max/min ||x||=max/min||x||^{2} =x^{t}Ix[/tex]](images/latex/cfb3970e49e1f9e4e95aef4c5657ee9bc80b4fa4_0.png "[tex]max/min ||x||=max/min||x||^{2} =x^{t}Ix[/tex]") .
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Marinchun
Nivel 8
Registrado: 07 Feb 2010
Mensajes: 525
Carrera: Mecánica y Naval
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| Jorge Pérez escribió:
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Hay una generalización del cociente de Rayleigh que dice lo siguiente:
Si es simétrica y es simétrica y definida positiva, entonces
siendo y el mínimo y el máximo autovalor de respectivamente.
Se puede demostrar también que los autovalores de son las raíces de la ecuación
lo que te evita de invertir .
De lo anterior sale que
y que
Además se tiene que los extremos se alcanzan en los correspondientes autovectores de que satisfacen la restricción .
Esos autovectores también se pueden calcular sin invertir porque es fácil ver que si y solo si .
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Otra manera de calcular los autovectores, es decir, la forma que yo utilizo, es calculando el NUL (A - lambda*B), ya sea para lambda máximo ó mínimo. Por ejemplo, NUL (A - lambda*B)=gen {v}
Como la restricción es R(x)=1 y x=alfa*v, entonces
R(x) = R(alfa*v) = (alfa)^2*R(v) = 1
Entonces, /alfa/ = 1*[R(v)^-1/2] (léase como módulo de alfa igual a la inversa de la raíz cuadrada de R(v) )
Entonces por cada lambda, tengo dos soluciones.
La cuestión es la siguiente, este cálculo sale muy fácil porque la dim NUL(A - lambda*B) =1. Ahora, ¿cómo hago si me pasa que la dim NUL(A - lambda*B) es mayor a 1? (Situación que aún no se me presentó pero quién sabe  )
Si no me equivoco, esto pasaría si lambda es AVA de multiplicidad algebraica mayor a 1 (AVA doble, triple, etc).
Por lo cual, los x en los cuales se alcanza el lamba (máximo o mínimo) son de la forma:
x = alfa*v + beta*u
Siguiendo el razonamiento anterior, me quedaría
(alfa)^2 + (beta)^2 = 1 (?)
Esto está bien???????????
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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Gente, tengo una duda con el siguiente ejercicio:
Coloquio 17 de diciembre de 2008
Mi problema es que no se cuál es cuál, o sea, cuál sería la forma cuadrática ![[tex]Q(x)[/tex]](images/latex/1f7f305b111ce3100d0d10d6ab55dcc04784e97b_0.png "[tex]Q(x)[/tex]") y cuál sería la "norma del vector" ![[tex]||x||^2[/tex]](images/latex/4dd69fcc8cb9053633b521d683c39d6c9372788a_0.png "[tex]||x||^2[/tex]")
Quise usar lo que dice más arriba, en el post de Jorge Pérez con:
Forma cuadrática: ![[tex]A=A[/tex]](images/latex/2d1ac08fb75b6c5f4159cf5ef253770d7f464bba_0.png "[tex]A=A[/tex]")
Norma del vector: ![[tex]B=P^2=P[/tex]](images/latex/74a4b4de20c70342e5a1345fd8c0ddb31c67d2b6_0.png "[tex]B=P^2=P[/tex]")
Pero según la generalización de Rayleigh, B tiene que ser definida postiviva y los autovalores de P, por ser matriz de proyección son 0 y 1, no es definida postivia.
Lo único que se me ocurre es cambiar las matrices:
Forma cuadrática: ![[tex]A=P[/tex]](images/latex/7fcd1efef491392d5fe101f27797e6a7f395a7ab_0.png "[tex]A=P[/tex]")
Norma del vector: ![[tex]B=A[/tex]](images/latex/f09d615c153da5dd871d4e270bf0ac76fcf710fc_0.png "[tex]B=A[/tex]")
pero no se si está bien. A ver si alguien me puede tirar un centro porque la verdad estoy medio perdido.
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leandrob_90
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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Cuando piden ![[tex] Max/Min ( x : y ) [/tex]](images/latex/41efc7e54ad28729b8ddbdbade6b791d4b06e30f_0.png "[tex] Max/Min ( x : y ) [/tex]") la restriccion es "y", y se aplica sobre "x".
En ese caso te estan restringiendo la forma cuadratica ![[tex] ||Px||^{2}[/tex]](images/latex/67fb3a52c64dc5e428c75edef3cf5d9372ece2bd_0.png "[tex] ||Px||^{2}[/tex]") con la otra forma cuadratica ![[tex] (Ax,x)=x^{t}A^{t}x, A=A^{t} => (Ax,x)=x^{t}Ax=1 [/tex]](images/latex/b83aa00f06eeb985ca1b8b10869cd5dc1debea53_0.png "[tex] (Ax,x)=x^{t}A^{t}x, A=A^{t} => (Ax,x)=x^{t}Ax=1 [/tex]") (de esto ultimo no estoy seguro, diganme si flashee o no).
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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| Marinchun escribió:
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| Jorge Pérez escribió:
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Hay una generalización del cociente de Rayleigh que dice lo siguiente:
Si es simétrica y es simétrica y definida positiva, entonces
siendo y el mínimo y el máximo autovalor de respectivamente.
Se puede demostrar también que los autovalores de son las raíces de la ecuación
lo que te evita de invertir .
De lo anterior sale que
y que
Además se tiene que los extremos se alcanzan en los correspondientes autovectores de que satisfacen la restricción .
Esos autovectores también se pueden calcular sin invertir porque es fácil ver que si y solo si .
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Otra manera de calcular los autovectores, es decir, la forma que yo utilizo, es calculando el NUL (A - lambda*B), ya sea para lambda máximo ó mínimo. Por ejemplo, NUL (A - lambda*B)=gen {v}
Como la restricción es R(x)=1 y x=alfa*v, entonces
R(x) = R(alfa*v) = (alfa)^2*R(v) = 1
Entonces, /alfa/ = 1*[R(v)^-1/2] (léase como módulo de alfa igual a la inversa de la raíz cuadrada de R(v) )
Entonces por cada lambda, tengo dos soluciones.
La cuestión es la siguiente, este cálculo sale muy fácil porque la dim NUL(A - lambda*B) =1. Ahora, ¿cómo hago si me pasa que la dim NUL(A - lambda*B) es mayor a 1? (Situación que aún no se me presentó pero quién sabe )
Si no me equivoco, esto pasaría si lambda es AVA de multiplicidad algebraica mayor a 1 (AVA doble, triple, etc).
Por lo cual, los x en los cuales se alcanza el lamba (máximo o mínimo) son de la forma:
x = alfa*v + beta*u
Siguiendo el razonamiento anterior, me quedaría
(alfa)^2 + (beta)^2 = 1 (?)
Esto está bien???????????
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Una pregunta que se desprende de ese tipo de ejercicios, supongamos que tengo una forma cuadratica restrngida a otra a valor constante, ejemplifico asi es mas claro.
Sea ![[tex] Q(x)= x^{t}Ax, hallar Max/Min \{Q(x): R(x)=1\} con R(x)= x^{t}Bx[/tex]](images/latex/0c82e0fa9a7c0730b557a976a9ebc1ec9d025519_0.png "[tex] Q(x)= x^{t}Ax, hallar Max/Min \{Q(x): R(x)=1\} con R(x)= x^{t}Bx[/tex]") , se puede hacer un cambio de variables tal que la restriccion me quede ![[tex] ||y||=1[/tex]](images/latex/f3a70e96cbec71e2bbab4a4b0cb7a239d837a763_0.png "[tex] ||y||=1[/tex]") ? Si asi se pudiera, me resultaria mas facil por lo menos a mi.
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