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Mensaje |
frandagostino
Nivel 3
Edad: 36
Registrado: 27 Jun 2008
Mensajes: 56
Ubicación: Quilmes
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Hola gente, alguno se le ocurre alguna idea como resolve este ejercicio, es del tema 1 del segundo recuperatorio del primer cuatri del 2008:
Hallar una curva plana que pase el punto ![[tex]P=(0,0,3)[/tex]](images/latex/cab1260f708b2084639d43a454863e61d2e987fe_0.png "[tex]P=(0,0,3)[/tex]") que esté contenida en la superficie ![[tex] S: z = x^{2}y + 2x^{2} + 3 [/tex]](images/latex/5da76d89d2dfdd5eb0eb1e49a07bb5f8fa640d20_0.png "[tex] S: z = x^{2}y + 2x^{2} + 3 [/tex]") y cuya tangente en el punto ![[tex]P[/tex]](images/latex/ec491f5a13233236733b485a8534dbcf6b01ea7c_0.png "[tex]P[/tex]") sea paralela al vector [/tex]](images/latex/6ebc04e2f15a3b5c3e3523e8339a2a26a1286bbe_0.png "[tex](2,2,0)[/tex]")
Muchas Gracias,
Fran
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Bimba
Nivel 8
Edad: 35
Registrado: 13 Sep 2007
Mensajes: 587
Carrera: Química
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Creo que podría pensarse como que cortás la superficie con un plano y te queda la curva contenida en la superficie. Dicho plano puede pasar por el punto [/tex]](images/latex/2d06f8f2600d3c0e74b70e99690222bcfae743bc_0.png "[tex](0;0;3)[/tex]") , y para que la tangente de la curva en ese punto sea paralela al [/tex]](images/latex/a1cecd8b68e89bdb3805f9db4780f663e2b0ae46_0.png "[tex](2;2;0)[/tex]") , la normal al plano con el cortás la superficie debe ser perpendicular a ese vector (si no lo estoy viendo mal, la normal del plano siempre va a ser perpendicular a la tangente de la curva que "se forma"). Entonces la normal queda:
\cdot (N_1;N_2;N_3)=0\ \ \Rightarrow \vec N= (2;-2;0)[/tex]](images/latex/f5914d474df40ca3fd064dc06d39949b6c561ccc_0.png "[tex](2;2;0)\cdot (N_1;N_2;N_3)=0\ \ \Rightarrow \vec N= (2;-2;0)[/tex]")
La ecuación del plano sería: ![[tex]\Pi: (2;-2;0)\cdot (0;0;3)=(2;-2;0)\cdot (x;y;z)[/tex]](images/latex/3622fca2a803d168331f27805b7403a1f92bcf4a_0.png "[tex]\Pi: (2;-2;0)\cdot (0;0;3)=(2;-2;0)\cdot (x;y;z)[/tex]")
![[tex]\Rightarrow \Pi : x=y[/tex]](images/latex/6b1cb8c5774061f1eee19c486381a4fe8f74a9c6_0.png "[tex]\Rightarrow \Pi : x=y[/tex]")
Luego la curva quedaría descrita por las ecuaciones:
![[tex]z=x^2y+2x^2+3[/tex]](images/latex/ace0adeb9a1561bdb644ef39e1a3c27a9f84dbac_0.png "[tex]z=x^2y+2x^2+3[/tex]")
![[tex]x=y[/tex]](images/latex/8e315369706424579d42c4f23ab6f5f2bcd7cbec_0.png "[tex]x=y[/tex]")
Creo que eso es todo lo que pide porque la curva puede quedar expresada como ese sistema de ecuaciones, y si no me fijé mal verifica todo lo que pide. Igual por las dudas fijate.
Saludos
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okami
Nivel 4
Edad: 35
Registrado: 27 Ago 2007
Mensajes: 66
Ubicación: Capital Federal (Saavedra)
Carrera: Electrónica
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| bien pensado lo del plano =P no se me había ocurrido jajaja.
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![[tex] \frac{\mbox{ok} \lambda \mbox{mi}}{ \mbox{*o*} } [/tex]](images/latex/cac0d8e4cbf2aef871d8d9a83ce98f9efaf3cbaf_0.png "[tex] \frac{\mbox{ok} \lambda \mbox{mi}}{ \mbox{*o*} } [/tex]")
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emmet
Nivel 5
Edad: 35
Registrado: 12 Oct 2008
Mensajes: 162
Carrera: Sistemas
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sfunahuel
Nivel 8
Edad: 34
Registrado: 30 Ago 2008
Mensajes: 652
Ubicación: Temperley
Carrera: Química
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lo que no se de esa es... la normal no podría ser cualquier otr? (1, -1, 0), e incluso N3 puede ser cualquier número, porque multiplicado por cero da cero.
O como dice "una curva" no hay problema?
Porque a mi se me había ocurrido hacer el gradiente de F(x,y,z)=x^2y+2x^2+3-z = (2xy+4x,x^2,-1), pero si lo evalúo en (0,0,3), me dá (0,0,-1) que multiplicado escalarmente con el (2,2,0) me da siempre cero...
Como sea, la respuesta de bimba esta bien =P
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