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Mensaje |
Bimba
Nivel 8
Edad: 35
Registrado: 13 Sep 2007
Mensajes: 587
Carrera: Química
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Enunciado:
Sea ![[tex]S[/tex]](images/latex/3d152214fba74c1f8a12f3d44452016018239bbf_0.png "[tex]S[/tex]") la porción de superficie parametrizada por: \to(2u+2;u\ cos(v);2u\ sen(v))\ \ \ 1<u<3\ ;\ 0<v<\pi[/tex]](images/latex/358dccfa7dfa9da7a90732846359c977d387e89e_0.png "[tex](u;v)\to(2u+2;u\ cos(v);2u\ sen(v))\ \ \ 1<u<3\ ;\ 0<v<\pi[/tex]")
Hallar un punto ![[tex]P[/tex]](images/latex/ec491f5a13233236733b485a8534dbcf6b01ea7c_0.png "[tex]P[/tex]") en tal que el plano tangente a en contenga a la recta que pasa por [/tex]](images/latex/3bff087b61ea852f9bf4869432d22b60508b2435_0.png "[tex](2;1;0)[/tex]") y [/tex]](images/latex/a1cecd8b68e89bdb3805f9db4780f663e2b0ae46_0.png "[tex](2;2;0)[/tex]")
Lo que yo hice fue:
![[tex]S:\ f(u;v)=(2u+2;u\ cos(v);2u\ sen(v))\ \ \ 1<u<3\ ;\ 0<v<\pi[/tex]](images/latex/7df1eaae787130f6d552760ee3f4cde9be1db4c8_0.png "[tex]S:\ f(u;v)=(2u+2;u\ cos(v);2u\ sen(v))\ \ \ 1<u<3\ ;\ 0<v<\pi[/tex]")
![[tex]\frac{\partial f}{\partial u}{(u_0;v_0)}=(2;cos(v_0);2sen(v_0))[/tex]](images/latex/46701173c71a5254ea5a3bb1fd06dec01476dd7a_0.png "[tex]\frac{\partial f}{\partial u}{(u_0;v_0)}=(2;cos(v_0);2sen(v_0))[/tex]") y
![[tex]\frac{\partial f}{\partial v}{(u_0;v_0)}=(0;-u_0\ sen(v_0);2u_0\ cos(v_0))[/tex]](images/latex/8fbdfc160e4167deb909f0f732aba9b258c032de_0.png "[tex]\frac{\partial f}{\partial v}{(u_0;v_0)}=(0;-u_0\ sen(v_0);2u_0\ cos(v_0))[/tex]")
Normal del plano tangente a en ![[tex]P=f(u_0;v_0)[/tex]](images/latex/c15828c92138d87030783ead6f361871525a8b6d_0.png "[tex]P=f(u_0;v_0)[/tex]") :
![[tex]\vec N_0=\frac{\partial f}{\partial u}{(u_0;v_0)}\times \frac{\partial f}{\partial v}{(u_0;v_0)}=(2u_0;-4u_0\ cos(v_0);-2u_0\ sen(v_0))[/tex]](images/latex/02dfd32ba0dae9b7db54d83728cce692fb453792_0.png "[tex]\vec N_0=\frac{\partial f}{\partial u}{(u_0;v_0)}\times \frac{\partial f}{\partial v}{(u_0;v_0)}=(2u_0;-4u_0\ cos(v_0);-2u_0\ sen(v_0))[/tex]")
Después digo, la recta contenida en el plano tangente es:
![[tex]L: \vec X=\lambda\cdot (2;1;0)+(2;2;0)[/tex]](images/latex/50fc6967b32ec5fef39c6e3c40e0ef01bfc836d4_0.png "[tex]L: \vec X=\lambda\cdot (2;1;0)+(2;2;0)[/tex]")
![[tex]L\subset \pi_{tg}\Rightarrow \vec d_L \perp \vec N_0\ \ \ (\vec d_L:\ vector\ director\ de\ la\ recta\ L)[/tex]](images/latex/2682360c7b6258d61b691e4759c8da4620c370ad_0.png "[tex]L\subset \pi_{tg}\Rightarrow \vec d_L \perp \vec N_0\ \ \ (\vec d_L:\ vector\ director\ de\ la\ recta\ L)[/tex]")
![[tex]\Rightarrow (2;1;0)\cdot (2u_0;-4u_0\ cos(v_0);-2u_0\ sen(v_0))=0[/tex]](images/latex/d13e8e3da9711a1c9fd40755cb4a8deed2580228_0.png "[tex]\Rightarrow (2;1;0)\cdot (2u_0;-4u_0\ cos(v_0);-2u_0\ sen(v_0))=0[/tex]")
![[tex]\Rightarrow 4u_0\cdot (1-cos(v_0))=0[/tex]](images/latex/135b6a53dcdccd4bd041e43c67b032c38c17fadc_0.png "[tex]\Rightarrow 4u_0\cdot (1-cos(v_0))=0[/tex]")
![[tex]\Rightarrow u_0=0\ \ \ o\ \ \ cos(v_0)=1\Rightarrow v_0=0[/tex]](images/latex/36c37a1e818b240b014cf00ffe61f4ccc08895af_0.png "[tex]\Rightarrow u_0=0\ \ \ o\ \ \ cos(v_0)=1\Rightarrow v_0=0[/tex]")
Bueno ninguna de esas posibilidades pueden ser, porque no son "u" y "v" correspondientes a la parametrización dada. Evidentemente hay algo que estoy haciendo mal, ó no estoy considerando.
El ejercicio está pseudoresuelto (en lapicera y medio inentendible) en la fotocopia que tengo, pero no entiendo que hace. Saca un vector como si correspondiera a la recta,que no sé de dónde sale; y supone un "u" y que se yo. No entiendo lo que hace.
Gracias por la ayuda desde ya.
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Josep
Nivel 5
Edad: 41
Registrado: 28 Sep 2008
Mensajes: 136
Ubicación: Almagro
Carrera: Informática
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Te señalo un error que noté: vos considerás que la recta contenida en el plano tangente es: ![[tex]L:\vec X=\lambda\cdot(2,1,0)+(2,2,0)[/tex]](images/latex/0881880ec5c1d138bf04c78a20aa13e8501855ba_0.png "[tex]L:\vec X=\lambda\cdot(2,1,0)+(2,2,0)[/tex]") ; esto es incorrecto ya que como dato te dicen que la recta pasa por los puntos [/tex]](images/latex/205f6675d59e445900861e058a559e1331db6b6f_0.png "[tex](2,1,0)[/tex]") y [/tex]](images/latex/6ebc04e2f15a3b5c3e3523e8339a2a26a1286bbe_0.png "[tex](2,2,0)[/tex]") , por lo tanto un vector director de tu recta ![[tex]L[/tex]](images/latex/bf1e3168ff93ce6ae8adc13c43870dcee9c0b2e6_0.png "[tex]L[/tex]") es -(2,1,0)=(0,1,0)[/tex]](images/latex/08a237c18d543052a1e36fefeb85f4f316fb930e_0.png "[tex](2,2,0)-(2,1,0)=(0,1,0)[/tex]") , así que te quedaría ![[tex]L:\vec X=\lambda\cdot(0,1,0)+(2,2,0)[/tex]](images/latex/43d0050a63fcfc3c7b75e7acc9354a9d324568a1_0.png "[tex]L:\vec X=\lambda\cdot(0,1,0)+(2,2,0)[/tex]") .
Luego lo resolví igual que vos y me dio ![[tex]u=0\ \ \ o\ \ \ v=\frac{3\pi}{2}\ \ \ o\ \ \ v=\frac{\pi}{2}[/tex]](images/latex/cd0833e016b63018fde8027de0fed4de19de1552_0.png "[tex]u=0\ \ \ o\ \ \ v=\frac{3\pi}{2}\ \ \ o\ \ \ v=\frac{\pi}{2}[/tex]") de los cuales sólo me quedo con el último porque los otros dos están fuera del dominio de .
Entonces el punto pedido es cualquier [/tex]](images/latex/57570dc42d122d469c735d8940f54c6d3c7af374_0.png "[tex](2u+2;0;0)[/tex]") con ![[tex]1 < u < 3[/tex]](images/latex/6025b612e01bc2c9efa00c641fbdbf1fb3820c11_0.png "[tex]1 < u < 3[/tex]") , por ejemplo [/tex]](images/latex/5305baa7534d76f89461cff8840716da5081738c_0.png "[tex](4;0;0)[/tex]") .
Creo que está bien porque verifiqué reemplazando el valor de ![[tex]v[/tex]](images/latex/b81f3f1c5372939b80b003266b8b6059980ece93_0.png "[tex]v[/tex]") en el vector normal de (que me dio igual que a vos) y es perpendicular a la recta, pero igual revisalo por las dudas.
EDIT: para que el punto me dé usé ![[tex]u=1[/tex]](images/latex/51e23e6ced297897af8908f8fa76a78253b84c7f_0.png "[tex]u=1[/tex]") que está fuera del dominio. Usando cualquier otro valor dentro del dominio también debería verificarse, es más que nada un error conceptual.
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Bimba
Nivel 8
Edad: 35
Registrado: 13 Sep 2007
Mensajes: 587
Carrera: Química
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OK. Mil gracias! Al final era medio de álgebra mi error... (que tarada!). Gracias de nuevo!
[EDIT]Una cosa, la última coordenada del punto no es 0. Es ![[tex]2u_0[/tex]](images/latex/65f24324cc0ea156458d035d00510e108f9c63cc_0.png "[tex]2u_0[/tex]") , porque hay un seno multiplicando que queda 1 no 0.[/EDIT]
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emmet
Nivel 5
Edad: 35
Registrado: 12 Oct 2008
Mensajes: 162
Carrera: Sistemas
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duda
siempre q un plano contiene a una recta, la normal de el plano es perpedicular a la direccion de la recta??
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Bimba
Nivel 8
Edad: 35
Registrado: 13 Sep 2007
Mensajes: 587
Carrera: Química
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| emmet escribió:
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duda
siempre q un plano contiene a una recta, la normal de el plano es perpedicular a la direccion de la recta??
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Sí. La normal a un plano es perpendicular a dicho plano en todo punto, y en particular es perpendicular a cualquier recta que esté contenida en el mismo. Si la recta y la normal al plano no son perpendiculares, entonces no hay forma de que esa recta esté contenida en el plano, sino que estaría "atravesandolo" de alguna forma.
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emmet
Nivel 5
Edad: 35
Registrado: 12 Oct 2008
Mensajes: 162
Carrera: Sistemas
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es verdad, buena explicacion
gracias!
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emmet
Nivel 5
Edad: 35
Registrado: 12 Oct 2008
Mensajes: 162
Carrera: Sistemas
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por cierto,
alguien tiene ejercicios de los parciales q se tomaron este cuatri?
porq ando con ganas de practicar polares y practicamente no se tomaba en otros años, a diferencia de ahora :/
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fuckin_gordito
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 21 Jul 2006
Mensajes: 4207
Ubicación: P. Chacabuco
Carrera: Industrial
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el otro dia le dije a bimba pero como consejo capaz q le sirve
para preparar el ultimo recu de analisis leanse el flax tomo I y haganse los parciales solo de las ultimas fechas de los ultimos 5 o 6 cuatrimestres. de esa manera van a estar mucho mas preparados q si hacen parciales de cualquier fecha (teniendo en cuenta q en las primeras fechas los parciales son mucho mas faciles)
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All'alba vincerò!
vincerò, vincerò!
vincerò!
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emmet
Nivel 5
Edad: 35
Registrado: 12 Oct 2008
Mensajes: 162
Carrera: Sistemas
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si lo lei flax, el tema es q no hay nada de polares ahi 
y en el ultimo parcial tomaron dos ejercicios ...
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Kudai Kitsune
Nivel 2
Registrado: 07 Dic 2008
Mensajes: 8
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Tengo una dudita de uno de los ejercicios que tomaron en el primer recuperatorio.
En el ejercicio 2 parte b había que comprobar que la recta tangente a C estuviera contenida en un plano (que había que averiguar en el punto a).
En definitiva lo que tenía que comprobar era que la dirección de la recta fuera perpendicular a la normal del plano y que uno de los puntos de la recta cumpliera con la ecuación del plano, no?
Bueno, la cuestión es que no puedo sacar la maldita dirección de la recta tangente a c.
c = { x^2-y +2e^z = 4
yx^3+cos(z) =0
C estaba definida por esas dos ecuaciones. Cómo hago para derivar eso? Ayuda!
Gracias!
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Kudai Kitsune
Nivel 2
Registrado: 07 Dic 2008
Mensajes: 8
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| Me olvidé de aclarar que la recta tangente era en el punto (1, -1, 0)
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nikorp
Nivel 5
Registrado: 07 Ago 2007
Mensajes: 182
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| Kudai Kitsune escribió:
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Tengo una dudita de uno de los ejercicios que tomaron en el primer recuperatorio.
En el ejercicio 2 parte b había que comprobar que la recta tangente a C estuviera contenida en un plano (que había que averiguar en el punto a).
En definitiva lo que tenía que comprobar era que la dirección de la recta fuera perpendicular a la normal del plano y que uno de los puntos de la recta cumpliera con la ecuación del plano, no?
Bueno, la cuestión es que no puedo sacar la maldita dirección de la recta tangente a c.
c = { x^2-y +2e^z = 4
yx^3+cos(z) =0
C estaba definida por esas dos ecuaciones. Cómo hago para derivar eso? Ayuda!
Gracias!
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la recta tangente a la curva C la podes sacar haciendo el producto vectorial de los gradientes (las normales) de cada superficie
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nikorp
Nivel 5
Registrado: 07 Ago 2007
Mensajes: 182
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una consulta, como justifican ustedes q una funcion es diferenciable?
basta con poner q por ser suma/multiplicacion/resta de funciones polinomicas/exponenciales (que son las q generalmente te dan) la funcion es diferenciable o hay q poner algo mas? como justifican ustedes?
muchas gracias
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Kudai Kitsune
Nivel 2
Registrado: 07 Dic 2008
Mensajes: 8
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| nikorp escribió:
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una consulta, como justifican ustedes q una funcion es diferenciable?
basta con poner q por ser suma/multiplicacion/resta de funciones polinomicas/exponenciales (que son las q generalmente te dan) la funcion es diferenciable o hay q poner algo mas? como justifican ustedes?
muchas gracias
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Tengo entendido que tenés que poner que la función es continua y derivable y sus derivadas son continuas.
Hay profesores que dicen que basta con poner que es diferenciable porque tiene plano tangente (en el caso que sepas con seguridad que lo tiene), pero hay otros profesores que no te lo aceptan como justificación.
Bueno, seguramente alguien que sepa más que yo te va a poder contestar con más seguridad.
Gracias nikorp por la respuesta! Yo me la estaba complicando y era tan fácil!
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sebasgm
Moderador
Edad: 38
Registrado: 07 Jul 2006
Mensajes: 2434
Ubicación: Parque Chacabuco
Carrera: Electrónica
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| Kudai Kitsune escribió:
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| nikorp escribió:
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una consulta, como justifican ustedes q una funcion es diferenciable?
basta con poner q por ser suma/multiplicacion/resta de funciones polinomicas/exponenciales (que son las q generalmente te dan) la funcion es diferenciable o hay q poner algo mas? como justifican ustedes?
muchas gracias
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Tengo entendido que tenés que poner que la función es continua y derivable y sus derivadas son continuas.
Hay profesores que dicen que basta con poner que es diferenciable porque tiene plano tangente (en el caso que sepas con seguridad que lo tiene), pero hay otros profesores que no te lo aceptan como justificación.
Bueno, seguramente alguien que sepa más que yo te va a poder contestar con más seguridad.
Gracias nikorp por la respuesta! Yo me la estaba complicando y era tan fácil!
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Odio esta materia y desde que la di (hace un rato ya), solo recuerdo los conceptos que te sirven para despues, pero voy a intentar hacer un aporte que seguramente alguien podrá mejorar, pero en fin...
Lo que dijeron más arriba, en otro post, sobre ser suma, mult, división, y blablabla, no te sirve para decir que es diferenciable, o por lo menos eso entiendo yo. Solo te sirve para hablar de la continuidad de la función resultante.
Que una función sea diferenciable es que tiene derivadas parciales continuas, y por ende podés tener un plano tangente. No se olviden que la diferenciabilidad es algo inherente a un PUNTO*, no puede hablar de diferenciabilidad en un entorno. Entonces, si la función tiene plano tangente en un punto, esa función es diferenciable en el punto, que eso para algunos no sea justificación suficiente, escapa a lo que pueda explicar yo.
El contra ejemplo sería por un cono, en la punta. La punta de un cono NO tiene plano tangente porque allí las derivadas no son continuas, de la misma forma que no había derivada en cero, de la función módulo.
Espero haber ayudado, saludos.
* En el campo complejo eso deja de ser así, existe el concepto de "holomorfía" que implica diferenciabilidad en un entorno de un punto. Pero eso solo para los elegidos que hagan AM3, jeje.
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