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Sebastian Santisi
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Sebastian Santisi
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Matrices
Veremos en este capítulo el uso de matrices y vectores en ![[tex] $\LaTeX$ [/tex]](images/latex/c63687fd06b0fa9e0c9cfa7448f22c8d52637481_0.png "[tex] $\LaTeX$ [/tex]") ; esta herramienta, además de permitirnos escribir vectores, matrices y determinantes, nos permitirá manejar con precisión los espacios y alineaciones en nuestras ecuaciones.
Las matrices se definen entre \begin{array} y \end{array}; además se debe especificar la alineación de las diferentes columnas: c es alineación al centro, l es alineación a la izquierda y r es alineación a la derecha. Por ejemplo, para definir una matriz de 2 columnas alineando la primera a la izquierda y la segunda a la derecha escribiremos
| Código:
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\begin{array}{lr} ... \end{array}
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Los elementos de las matrices se definen en orden, de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo; las columnas se separan con el indicador & y las filas con el indicador \\; por ejemplo
| Código:
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[tex]\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}[/tex]
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se ve como
![[tex]\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}[/tex]](images/latex/18527ee668fe59c1263e4447c6a285cb6646159f_0.png "[tex]\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}[/tex]")
Para dibujar matrices al estilo matemático, debemos utilizar los delimitadores ya explicados en capítulos anteriores; por ejemplo
| Código:
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[tex]I^{n \times n} =
\left( \begin{array}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{array} \right)[/tex]
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se ve como
![[tex]I^{n \times n} =\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{array} \right)[/tex]](images/latex/1a320f56c9be217fdfe9db22e2f35ee09c94a97a_0.png "[tex]I^{n \times n} =\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{array} \right)[/tex]")
Con esta estrategia podemos escribir todo tipo de vectores, matrices y determinantes; si quisiéramos omitir un elemento simplemente debemos dejarlo vacío.
Es importante hacer notar que las fórmulas dentro de una matriz se renderizan con estilo de texto, para forzar el estilo de fórmula independiente debemos usar \displaystyle como ya hemos visto en capítulos anteriores; por ejemplo
| Código:
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[tex]\mathcal{M}(a,b,c) =
\left[ \begin{array}{cc}
\frac{a}{b} & \\
& \displaystyle \frac{b}{c}
\end{array} \right][/tex]
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se ve
![[tex]\mathcal{M}(a,b,c) =\left[ \begin{array}{cc} \frac{a}{b} & \\ & \displaystyle \frac{b}{c}\end{array} \right][/tex]](images/latex/a4cfc54d7bfc059b06f2cb2f5b530e13ae0e0c82_0.png "[tex]\mathcal{M}(a,b,c) =\left[ \begin{array}{cc} \frac{a}{b} & \\ & \displaystyle \frac{b}{c}\end{array} \right][/tex]")
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Última edición por Sebastian Santisi el Mar Feb 07, 2006 12:16 am, editado 2 veces
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Sebastian Santisi
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Otros usos para las matrices
Como dijimos en el capítulo anterior el objeto array también sirve para poder presentar nuestro texto, en este capítulo veremos ejemplos y herramientas para lograrlo; por ejemplo
| Código:
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[tex]\delta [n] =
\left\{ \begin{array}{ll}
1 & \mbox{para } n = 0, \\
0 & \forall \ n \not= 0.
\end{array} \right.[/tex]
|
se ve como
![[tex]\delta [n] =\left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{para } n = 0, \\ 0 & \forall \ n \not= 0.\end{array} \right.[/tex]](images/latex/cc4c828dd49c48c267aef1da7a41b91a878b5294_0.png "[tex]\delta [n] =\left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{para } n = 0, \\ 0 & \forall \ n \not= 0.\end{array} \right.[/tex]")
Cuando queramos presentar texto en nuestras ecuaciones usaremos matrices; por ejemplo
| Código:
|
[tex]\begin{array}{ccccc}
\underbrace{f(x)} & = &
\underbrace{\sum_{n = 0}^N \left(
\frac{f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n}{n!} \right) } & + &
\underbrace{\mathcal R_{\mathcal T_N}} \\
\mbox{función} & &
\mbox{polinomio de Taylor (}\mathcal T_N \mbox{)} & &
\mbox{resto}
\end{array}[/tex]
|
se compila
![[tex]\begin{array}{ccccc} \underbrace{f(x)} & = & \underbrace{\sum_{n = 0}^N \left( \frac{f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n}{n!} \right) } & + & \underbrace{\mathcal R_{\mathcal T_N}} \\ \mbox{función} & & \mbox{polinomio de Taylor (}\mathcal T_N \mbox{)} & & \mbox{resto}\end{array}[/tex]](images/latex/0b118591c0d0809c64aa4aca785ee199a4eb1fdd_0.png "[tex]\begin{array}{ccccc} \underbrace{f(x)} & = & \underbrace{\sum_{n = 0}^N \left( \frac{f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n}{n!} \right) } & + & \underbrace{\mathcal R_{\mathcal T_N}} \\ \mbox{función} & & \mbox{polinomio de Taylor (}\mathcal T_N \mbox{)} & & \mbox{resto}\end{array}[/tex]")
Notar que se podría haber tenido un resultado parecido usando subíndices en los \underbraces, como vimos en capítulos anteriores.
Un ejemplo un poco más complejo en ecuaciones multilineas, con una alineación crítica, podría ser
| Código:
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[tex]\begin{array}{cccccccccccc}
\displaystyle \sum_{i = 1}^N i & = & & 1 & + & 2 & + & \cdots & + & (N-1) & + & N \\
& = & & N & + & (N-1) & + & \cdots & + & 2 & + & 1 \\
& = & \displaystyle \frac12 & [ (N+1) & + & (N+1) & + & \cdots & + & (N+1) & + & (N+1) ]
\end{array}[/tex]
|
el cual se ve como
![[tex]\begin{array}{cccccccccccc} \displaystyle \sum_{i = 1}^N i & = & & 1 & + & 2 & + & \cdots & + & (N-1) & + & N \\ & = & & N & + & (N-1) & + & \cdots & + & 2 & + & 1 \\ & = & \displaystyle \frac12 & [ (N+1) & + & (N+1) & + & \cdots & + & (N+1) & + & (N+1) ]\end{array}[/tex]](images/latex/9fb2c8f7a98e7f916db77433b04b7eb09caab1bc_0.png "[tex]\begin{array}{cccccccccccc} \displaystyle \sum_{i = 1}^N i & = & & 1 & + & 2 & + & \cdots & + & (N-1) & + & N \\ & = & & N & + & (N-1) & + & \cdots & + & 2 & + & 1 \\ & = & \displaystyle \frac12 & [ (N+1) & + & (N+1) & + & \cdots & + & (N+1) & + & (N+1) ]\end{array}[/tex]")
Las matrices también nos sirven para escribir tablas, además de c, l, r en la alineación se puede usar | (pipe) para indicar lineas verticales entre las columnas; se puede utilizar \hline para dibujar lineas horizontales entre filas; por ejemplo el código
| Código:
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[tex]\begin{array}{||c|r|r||}
\hline \hline
\mathbf n & \mathbf{2^n} & \mathbf{n!} \\
\hline
1 & 2 & 1 \\
2 & 4 & 2 \\
3 & 8 & 6 \\
4 & 16 & 24 \\
5 & 32 & 120 \\
6 & 64 & 720 \\
7 & 128 & 5040 \\
\hline \hline
\end{array}[/tex]
|
genera la siguiente tabla
![[tex]\begin{array}{||c|r|r||} \hline \hline \mathbf n & \mathbf{2^n} & \mathbf{n!} \\ \hline 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 8 & 6 \\ 4 & 16 & 24 \\ 5 & 32 & 120 \\ 6 & 64 & 720 \\ 7 & 128 & 5040 \\ \hline \hline\end{array}[/tex]](images/latex/160a8aab38a03e8d29dc70d14cf9dc2b6e0cc6e3_0.png "[tex]\begin{array}{||c|r|r||} \hline \hline \mathbf n & \mathbf{2^n} & \mathbf{n!} \\ \hline 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 8 & 6 \\ 4 & 16 & 24 \\ 5 & 32 & 120 \\ 6 & 64 & 720 \\ 7 & 128 & 5040 \\ \hline \hline\end{array}[/tex]")
Además se puede usar \cline{d-h} para indicar una linea horizontal desde la columna d hasta la columna h; por ejemplo, volviendo a ecuaciones matemáticas
| Código:
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[tex]\begin{array}{cccc}
& \displaystyle \sum_{i = 1}^n x^i & = & x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{n-1} + x^n \\
\displaystyle - & & \\
& \displaystyle x \sum_{i = 1}^n x^i & = & x^2 + x^3 + x^4 + \cdots + x^n + x^{n+1} \\
\cline{2-4}
& \displaystyle (1-x) \sum_{i = 1}^n x^i & = & x - x^{n+1}
\end{array}[/tex]
|
genera
![[tex]\begin{array}{cccc} & \displaystyle \sum_{i = 1}^n x^i & = & x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{n-1} + x^n \\ \displaystyle - & & \\ & \displaystyle x \sum_{i = 1}^n x^i & = & x^2 + x^3 + x^4 + \cdots + x^n + x^{n+1} \\ \cline{2-4} & \displaystyle (1-x) \sum_{i = 1}^n x^i & = & x - x^{n+1}\end{array}[/tex]](images/latex/c6bae565d5857f1070414b721298c287378e038b_0.png "[tex]\begin{array}{cccc} & \displaystyle \sum_{i = 1}^n x^i & = & x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{n-1} + x^n \\ \displaystyle - & & \\ & \displaystyle x \sum_{i = 1}^n x^i & = & x^2 + x^3 + x^4 + \cdots + x^n + x^{n+1} \\ \cline{2-4} & \displaystyle (1-x) \sum_{i = 1}^n x^i & = & x - x^{n+1}\end{array}[/tex]")
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Última edición por Sebastian Santisi el Mar Feb 07, 2006 12:14 am, editado 1 vez
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Sebastian Santisi
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Ecuaciones multilineas
El modo para escribir ecuaciones multilineas, es definiendo una matriz de tres columnas donde la primera alinea a derecha, la segunda al centro y la tercera a la izquierda.
Por ejemplo
| Código:
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[tex]\begin{array}{rcl}
\displaystyle \frac1{t - z} & = & \displaystyle \frac1{t - a - (z - a)} \\
& = & \displaystyle \frac1{t - a}
\left( \frac1{1 - \frac{z - a}{t - a}} \right) \\
& = & \displaystyle \frac1{t - a}
\left[ \sum_{i=0}^n \left( \frac{z - a}{t - a} \right)^n
+ \frac{\left( \frac{z - a}{t - a} \right)^{n+1}}
{1 + \frac{z - a}{t - a}} \right]
\end{array} [/tex]
|
se ve
![[tex]\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac1{t - z} & = & \displaystyle \frac1{t - a - (z - a)} \\ & = & \displaystyle \frac1{t - a} \left( \frac1{1 - \frac{z - a}{t - a}} \right) \\ & = & \displaystyle \frac1{t - a} \left[ \sum_{i=0}^n \left( \frac{z - a}{t - a} \right)^n + \frac{\left( \frac{z - a}{t - a} \right)^{n+1}} {1 + \frac{z - a}{t - a}} \right]\end{array} [/tex]](images/latex/d14a826c2f09083df9a1d12b7555a3c9375e0d2b_0.png "[tex]\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac1{t - z} & = & \displaystyle \frac1{t - a - (z - a)} \\ & = & \displaystyle \frac1{t - a} \left( \frac1{1 - \frac{z - a}{t - a}} \right) \\ & = & \displaystyle \frac1{t - a} \left[ \sum_{i=0}^n \left( \frac{z - a}{t - a} \right)^n + \frac{\left( \frac{z - a}{t - a} \right)^{n+1}} {1 + \frac{z - a}{t - a}} \right]\end{array} [/tex]")
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