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-Pablo-
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 31 May 2007
Mensajes: 347
Ubicación: Stos. Lugares, Bs.As.
Carrera: Electrónica
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Si lo que querés decir es que su intersección está generada por v3, sí.
También podrías expresar S usando v3 como uno de sus generadores así es más evidente que eso es S intersección T.
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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Es correcto lo que dice -Pablo-. De hecho, podés decir algo más: ![[tex]T \subset S[/tex]](images/latex/ce22d8317d9c1cab41f272bbe4f0a6b7167101f8_0.png "[tex]T \subset S[/tex]") . 
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gonzaloi
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 398
Carrera: No especificada
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Buenas tarde gente !! ... ak sigo con las dudas ,jejeje , esta vez conceptual...el tema es asi ;
Si me piden el complemento ortogonal de un espacio vectorial S ,perteneciente a R^4 de dimension mayor a 1 ( supongamos 2 ) ... ok busco 2 vectores ortogonales a los de S y estos ortogonales entre si ... pero mi duda es ... tengo que expresar a S (el espacio vectorial que me dan) como base ortogonal si o si o no es necesario que (en este caso) los dos vecotores sean ortogonales ???
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gonzaloi
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 398
Carrera: No especificada
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| me respondo solo , jejeje .... si no tuviera una base S formada por vectores ortogonales seria imposible buscar su complemento , ya que los vectores pertenecientes al complemento tienen que ser perpendiculares a todos los de S a la vez !! ... ( uno solo podria ser, 2 ya no )
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sebasgm
Moderador
Edad: 38
Registrado: 07 Jul 2006
Mensajes: 2434
Ubicación: Parque Chacabuco
Carrera: Electrónica
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| gonzaloi escribió:
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Buenas tarde gente !! ... ak sigo con las dudas ,jejeje , esta vez conceptual...el tema es asi ;
Si me piden el complemento ortogonal de un espacio vectorial S ,perteneciente a R^4 de dimension mayor a 1 ( supongamos 2 ) ... ok busco 2 vectores ortogonales a los de S y estos ortogonales entre si ... pero mi duda es ... tengo que expresar a S (el espacio vectorial que me dan) como base ortogonal si o si o no es necesario que (en este caso) los dos vecotores sean ortogonales ???
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No, estás equivocado con esto y con lo que concluiste después...
Si a vos te piden el complemento ortogonal, no te estan pidiendo que los elementos del conjunto obtenido sean ortogonales entre sí, te están pidiendo solo el complemento ortogonal.
En otras palabras:
Si tengo ![[tex]\mathcal{S}[/tex]](images/latex/bb61d4897bf8566a98c13d6b56731c242d14ccc9_0.png "[tex]\mathcal{S}[/tex]") su complemento ![[tex]\mathcal{S^{\perp}}[/tex]](images/latex/1b8884495ee8b8e4f6f99d91d8a5e9140e015bca_0.png "[tex]\mathcal{S^{\perp}}[/tex]") No implica Conjunto ortogonal de elementos
Entonces, si te piden el complemento ortogonal de un subespacio, no tenés que buscar otra cosa que el complemento ortogonal. No tenés que ortogonalizar, ni buscar nada con el original, y mucho menos escribir a este último como un conjunto ortogonalizado...
| gonzaloi escribió:
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me respondo solo , jejeje .... si no tuviera una base S formada por vectores ortogonales seria imposible buscar su complemento , ya que los vectores pertenecientes al complemento tienen que ser perpendiculares a todos los de S a la vez !! ... ( uno solo podria ser, 2 ya no )
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De vuelta, NO. Pero como no estoy seguro de que con lo anterior se haya entendido este punto, lo aclaro a parte:
Tengas o no tengas una base ortogonal de , podés encontrar el conjunto de vectores de , incluso no necesitás los generadores.
Hagamos un ejemplo en ![[tex]\mathbf{R^{3}}[/tex]](images/latex/319939ca40da9e3b81ec0fee601c7ee91f31283a_0.png "[tex]\mathbf{R^{3}}[/tex]") :
Si tenes ![[tex]\mathcal{S}=\{ X \epsilon \mathbf{R^{3}}: x_1+x_3=0 \}[/tex]](images/latex/8f3ed15e5c63e3927ec16b161ee24a6c4ebeead8_0.png "[tex]\mathcal{S}=\{ X \epsilon \mathbf{R^{3}}: x_1+x_3=0 \}[/tex]")
Tenés una ecuación (que es LI porque no tiene a nadie con quien ser LD). Y estás en un espacio de dimensión 3, por lo tanto es de dimensión 2.
Luego tenemos que su complemento ortogonal, genera a todos los elementos complementarios del espacio vectorial ( ) que NO pueden ser generados a partir de . Entonces la dimensión de debe ser 1.
Luego el vector que genera a es el que resulta de tomar los coeficientes que acompañan a la ecuación de . y usarlos como componentes del vector:
Esto sería ![[tex]\mathcal{S^{\perp}}=gen\{ (1,0,1) \}[/tex]](images/latex/bbde0b97af2de6cd8841f222081c3a91a74cd86f_0.png "[tex]\mathcal{S^{\perp}}=gen\{ (1,0,1) \}[/tex]")
Y no necesitaste contar con una base originalmente ortogonal, para poder saber quienes eran los elementos de su complemento.
Si no te queda claro de donde sale lo que dije, fijate que tiene que viene de que pedir que un vector determinado sea perpendicular a un conjunto de elementos de determinada forma:
 \cdot (x_{1},x_{2}, x_{3})=0[/tex]](images/latex/1cc1a9bc808772e7afa8f5d15fe5c301d3fae253_0.png "[tex](1,0,1) \cdot (x_{1},x_{2}, x_{3})=0[/tex]") Con esto pido ortogonalidad entre esos elementos, y si te fijás con eso estoy recuperando la ecuación de .
Por otro lado, si lo que te dan son los generadores (sin importar que NO sean un conjunto ortogonal), de un subespacio , lo que podés obtener en principio, son las ecuaciones de , y de ahí buscás sus generadores como siempre.
Si tuvieras una base ortogonalizada, podrías hacer exactamente lo mismo, de hecho es otra base del subespacio en cuestión, sea cual sea el subespacio, así como es lo mismo trabajar con cualquier base de un subespacio; el complemento ortogonal no cambia porque la base, sea cual sea, no deja de ser un conjunto de elementos que describen a EL MISMO subespacio.
Si hice mucho quilombo y no entendés algo volvé a preguntarlo, pero creo que un poco te tuve que haber aclarado.
Es muy dificil que tomen ortogonalizar algo en un parcial, yo nunca vi ninguno así e hice muchos parciales, recursé la materia y ayudé a varias personas a rendirla. Por lo general ortogonalizar suele ser muy engorro para más de . En cambio el complemento ortogonal es algo que se pide todo el tiempo.
Saludos.
Seba.
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gonzaloi
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 398
Carrera: No especificada
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ahaaaammm ... entonces ... el complemento ortogonal esta formado por vectores que son ortogonales a los de S ( sin importar que sus generadores sean o no ortogonales entre si) , no ???
pero... si tengo S de dimension 2 ( supongamos que estamos en R^4) el complemento ortogonal estaria formado por otros dos vectores li con los de S y ademas perpendiculares ( u ortogonales) ... mi duda seria: cada vector del complemento ortogonal tiene que ser perpendicualar a la misma vez de los 2 de S ??? o con que sea orogonal a 1 solo de S alcanza ???
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gonzaloi
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 398
Carrera: No especificada
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Ahora si creo q estoy en lo correcto,veamos ... resumiendo ...
_Si me dan la ecuacion de un subespacio S ( tu ejemplo sebastian)
El complemento ortogonal esta forma por los coeficintes de la ecuacion...
_Si me dan los generadores de un subespacio S (supongamos de dimension 3 y perteneciente a R^4 ) multiplico cada elemento generador de la sigueinte forma
![[tex] w1 \cdot (x_{1},x_{2}, x_{3})=0[/tex]](images/latex/907aac887197277fac28759875c602f7740668f6_0.png "[tex] w1 \cdot (x_{1},x_{2}, x_{3})=0[/tex]")
![[tex] w2 \cdot (x_{1},x_{2}, x_{3})=0[/tex]](images/latex/8c1e2ae79a8819fc9f687adb84928ac4fe25c40a_0.png "[tex] w2 \cdot (x_{1},x_{2}, x_{3})=0[/tex]")
![[tex] w3 \cdot (x_{1},x_{2}, x_{3})=0[/tex]](images/latex/84cb86eee6b213528c94fad96b7843af28417360_0.png "[tex] w3 \cdot (x_{1},x_{2}, x_{3})=0[/tex]")
Quedando de esta forma un sistema, la resolucion me ''tira'' los elementos del complemento ortogonal ...
Conclusion a mi duda : siempre y todos los generadores del complemento ortogonal son perpendiculares a todos los elemento del subespacio original... estoy en lo correcto ahora ???
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Bimba
Nivel 8
Edad: 35
Registrado: 13 Sep 2007
Mensajes: 587
Carrera: Química
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Lo que enunciás y concluís en tu último post es correcto. Y creo que entonces entendés los errores de lo que habías dicho en el anterior, pero quería aclarar una cosita por las dudas:
| gonzaloi escribió:
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pero... si tengo S de dimension 2 ( supongamos que estamos en R^4) el complemento ortogonal estaria formado por otros dos vectores li con los de S y ademas perpendiculares ( u ortogonales) ...
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Eso no es del todo así, los vectores del complemento ortogonal son LI con los del subespacio original y además son ortogonales. A suvez, los elementos obtenidos, los de S ortogonal, son LI entre sí pero NO necesariamente ortogonales entre sí. Es decir, al obtener el complemento ortogonal de un subespacio cualquiera, probablemente no encuentres un conjunto que ademas de ser complemento ortogonal, esté ortogonalizado, es otra cosa, que vas a tener que hacer a parte (y que pocas veces te van a pedir).
Por lo demás como ya dije creo que lo que concluís en el último post está bien y que no hay mucho que agregar.
Saludos.
[edit] Corregí algo que pensé que no se iba a entender bien[/edit]
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Bimba
Nivel 8
Edad: 35
Registrado: 13 Sep 2007
Mensajes: 587
Carrera: Química
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Bueno, ya no edito el anterior porque va a quedar un enchastre, pero re viendo tu post puede que te haya mal interpretado. Lo que vos pusiste es enrealidad muy parecido a lo que te dije yo después... Sorry... Igual vale la afirmación.
Por otro lado, te aclaro por las dudas que todos los elementos del complemento ortogonal de un subespacio, son ortogonales a todos los elementos del subespacio original, no a uno solo. La hallarlos de la forma que te comentaba sebasgm, ya de por sí queda verificada la condición de que se cumpla lo pedido para cualquier vector que verifique la ecuación.
Saludos.
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gonzaloi
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 398
Carrera: No especificada
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buenasss a todos ... tiro otra dudita conceptual a ver si alguien tiene idea y puede ayudarme ... el tema es asi ... necesito completar la base con un valor de w ...
Si tengo una base ![[tex]\left\langle {[1,1,1],[w],[0,1,2]} \right\rangle [/tex]](images/latex/87238a0ac6f6915b84f1ba87c18a635504126e58_0.png "[tex]\left\langle {[1,1,1],[w],[0,1,2]} \right\rangle [/tex]") l.i
donde w=![[tex]\left\langle s1;s2 \right\rangle [/tex]](images/latex/7d736dc13569f45f5a74761a6a300191e00088df_0.png "[tex]\left\langle s1;s2 \right\rangle [/tex]") + [/tex]](images/latex/a33d5c4a6622f27c46d8507db96d7df8b320c8d5_0.png "[tex](x_{1},x_{2}, x_{3})[/tex]") o sea un plano que no pasa por el origen de coordenadas ...
Lei por ahi, que este plano (tanto sus dos direcciones como su punto de paso), o sea cualkiera de los 3 elementos(ya q estan contenidos dentro del plano),puede formar parte de la base, siempre que cumpla la independencia con los otros dos vectores ...
Pero no entindo como pueden formar parte de la base si no pasan por el origen... y mucho menos entiendo como tan solo el punto de paso puede formar parte de la base...
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sebasgm
Moderador
Edad: 38
Registrado: 07 Jul 2006
Mensajes: 2434
Ubicación: Parque Chacabuco
Carrera: Electrónica
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| gonzaloi escribió:
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buenasss a todos ... tiro otra dudita conceptual a ver si alguien tiene idea y puede ayudarme ... el tema es asi ... necesito completar la base con un valor de w ...
Si tengo una base l.i
donde w= + o sea un plano que no pasa por el origen de coordenadas ...
Lei por ahi, que este plano (tanto sus dos direcciones como su punto de paso), o sea cualkiera de los 3 elementos(ya q estan contenidos dentro del plano),puede formar parte de la base, siempre que cumpla la independencia con los otros dos vectores ...
Pero no entindo como pueden formar parte de la base si no pasan por el origen... y mucho menos entiendo como tan solo el punto de paso puede formar parte de la base...
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No hice el problema y me parece bastante raro pero pensa lo siguiente a ver si te ayuda:
En ![[tex]R^3[/tex]](images/latex/26322742eddcb8bec296c9ffe407d50bb2c650fb_0.png "[tex]R^3[/tex]") es sencillo dibujar la situación, asi que tratá de hacerlo. Lo que vos buscás es una base del espacio vectorial NO necesitás que los elementos de esa base describan algo que pasa por el origen porque NO estás hablando de un subespacio sino de un espacio vectorial, es decir, un subespacio está contenido en un espacio vectorial, pero en este caso la base describe todo el espacio vectorial, los elementos que pasan por el origen y los que no.
A su vez, cualquier elemento que esté en el espacio vectorial, seguramente está contenido en algun plano de ese espacio, podría sr uno que pase por el origen o no, no cambia nada, pero si está en el ese espacio podría tranquilamente estar contenido en un espacio de dimensión menor, porque no hay restricción al respecto.
por otro lado nunca olvides que esos vectores son siempre puntos respectos del origen, entonces ¿Que diferencia hay entre el punto de paso del plano y cualquier otro w, o cualquier elemento de los que forman la base? NINGUNA; los vectores de la base también son puntos referidos al origen, pero eso es solo una referencia, no tiene nada que ver con que un plano pase o no por el origen ni nada por el estilo. Todos son puntos y a la vez todos son vectores. De hecho ese punto de pasa también es un punto del plano, lo describe, te indica por donde pasa el plano, y si te indica por donde pasa, entonces pertenece al mismo...
Pensalo, ponele valores numéricos (más allá de este problema) e intentá dibujarlo y ver lo que te digo. En es fácil, porque lo podés dibujar.
Saludos.
PD: Probá verlo con un subespacio de polinomios 
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gonzaloi
Nivel 7
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Mensajes: 398
Carrera: No especificada
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jajaja ...ya me estoy poniendo a dibujar en R^4 .... jajaja ...
gracias sebas... ahora me doy cuenta ,estaba confundiendo subespacio con espacio vecotorial , medio q los trataba de sinonimos , GRACIAS !!
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sebasgm
Moderador
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