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gonzaloi
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Registrado: 06 May 2008
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que condiciones se tienen que cumplir para que dos bases distintas pertenezcan a un mismo espacio vectorial ??
o sea que B y B' sean bases de V
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Hans
Nivel 5
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Carrera: No especificada
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Para pertenecer a V, los vectores de la base tienen que generar dicho espacio. Esto significa que con los vectores de dicha base podés generar cualquier vector perteneciente al espacio en cuestión. Para que los vectores formen una base y no solo un conjunto de generadores, tienen que ser linealmente independientes. Esto significa que la única manera de conseguir el 0 del espacio como combinación lineal de los vectores de la base, es que los coeficientes sean si o sí el 0 escalar.
Aunque supongo que no se habla de una base que pertenece a un espacio, creo que se dice una base que genera algo (espacio vectorial, subespacio vectorial)
Edit: Corrección.
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Última edición por Hans el Sab Jun 07, 2008 6:48 pm, editado 1 vez
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fuckin_gordito
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por definicion de base, sus elementos tienen q ser LI entre ellos (para averiguar esto, iguala una combinacion lineal de los vectores al vector nulo y verificas si los escalares son todos 0) y la dimension de la base debe ser igual q la dimension del espacio al cual pertenece.
de lo anterior deducis (te lo generalizo a Rn):
b y b` son bases del mismo espacio vectorial Rn si
. b y b` tienen n vectores LI y los n vectores pertenecen a Rn
. dim B = dim B`= dim Rn = n
creo q era eso lo q querias preguntar, no se si entendi bien tu pregunta.cualquier otra cosita pregunta
(necesito con urgencia aprender latex)
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All'alba vincerò!
vincerò, vincerò!
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Crimson King
Nivel 7
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Carrera: Industrial
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| las dos bases deberían generar V y los vectores que las componen deberian ser linealmente independientes. Aparte, cualquier vector que pertenezca a V se tienen que poder escribir como combinacion lineal de B1 y de B2, ya que las dos son bases de ese espacio (La diferencia es que las coordenadas de ese vector en B1 son distintas a las coordenadas en B1). Ademas, las dos bases tienen que tener la misma dimension, ya que las dos generan V.
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gonzaloi
Nivel 7
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| clarisimo ... miles de gracias !!
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gonzaloi
Nivel 7
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| otra duda ... cuando hablamos de dimension de una matriz, nos referimos a la dimension m filas X n columnas ... o a la base q la matriz genera una vez resuelta ???
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Crimson King
Nivel 7
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Carrera: Industrial
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| gonzaloi escribió:
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otra duda ... cuando hablamos de dimension de una matriz, nos referimos a la dimension m filas X n columnas ... o a la base q la matriz genera una vez resuelta ???
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te referis al rango de la matriz? osea, el rango seria la cantidad de filas/colmnas LI que tenga.
pd: sino te referias a eso decime.
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McFly
Nivel 8
Registrado: 27 Dic 2007
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| gonzaloi escribió:
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otra duda ... cuando hablamos de dimension de una matriz, nos referimos a la dimension m filas X n columnas ... o a la base q la matriz genera una vez resuelta ???
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Se dice que una matriz es de dimensión ![[tex]\mathbf R^{\mbox{m}\times\mbox{n}}[/tex]](images/latex/3d845fdb922de1c1600b20c841e6f69fe4895f35_0.png "[tex]\mathbf R^{\mbox{m}\times\mbox{n}}[/tex]") cuando tiene m cantidad de filas y n cantidad de columnas.
Por ejemplo, una matriz de 3 filas por 3 columas se dice que es de dimensión ![[tex]\mathbf R^{3\times3}[/tex]](images/latex/727906d611785224bc125d54185690fe914883cd_0.png "[tex]\mathbf R^{3\times3}[/tex]") . Pero si, por ejemplo, una de esas tres filas es ![[tex] \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\\end{array}\right)[/tex]](images/latex/10eb607853af96a709bb18745a6345e9edd156e9_0.png "[tex] \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\\end{array}\right)[/tex]") u otra que sea combinación lineal de las anteriores, entonces esa no cuenta y, en este ejemplo, sería una matriz de dimensión ![[tex]\mathbf R^{2\times3}[/tex]](images/latex/041b29826151780beaf432a07393ba2ea91917b3_0.png "[tex]\mathbf R^{2\times3}[/tex]") . Nunca consideres una matriz antes de haberla triangulado.
Pero no debés confundir esto con el concepto de dimensión de una base. Una base está formada por un conjunto finito de vectores (entendiéndose vector como un elemento de un espacio vectorial, que podemos llamar simplemente elemento), que pueden ser también matrices y la dimensión de la base va a ser igual a la cantidad de vectores (o elementos) de la misma.
Por ejemplo: ![[tex]B= \left\{ \left(\begin{array}{lr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right) \right\}[/tex]](images/latex/42bd2a07b659776d94d1672c452270ae83d6db15_0.png "[tex]B= \left\{ \left(\begin{array}{lr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right) \right\}[/tex]") es una base de un espacio vectorial ![[tex]\mathbf V[/tex]](images/latex/130cdbe4be201305018b07def21ee9a663b32f42_0.png "[tex]\mathbf V[/tex]") formada por cuatro matrices ![[tex]\mathbf \Longleftrightarrow[/tex]](images/latex/de355b162f20a242707144187c05f4d15d516be6_0.png "[tex]\mathbf \Longleftrightarrow[/tex]") generan y son linealmente independientes. La dimensión de cada una de las matrices es de ![[tex]\mathbf R^{2\times2}[/tex]](images/latex/69f607f657e3e1369e0fdf61511da9ee093e070a_0.png "[tex]\mathbf R^{2\times2}[/tex]") y la dimensión de la base es ![[tex]dim B=4[/tex]](images/latex/afc27e25cf0dd68006d1bc87e7c17244178b84f8_0.png "[tex]dim B=4[/tex]") que es la cantidad de elementos de la base, en este caso matrices.
No sé si a eso era a lo que apuntaba tu duda; sino volvé a preguntar.
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Última edición por McFly el Lun Jun 09, 2008 1:45 am, editado 1 vez
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gonzaloi
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| si tal cual... muchas gracias,muy claro....mucho mas que mi profe,jejeje, lejossss ... y para tringular esa base expresamos la matriz ampliada escribiendo cada elemento de esa base como vectores de R^4 ....o me equivoco ?
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McFly
Nivel 8
Registrado: 27 Dic 2007
Mensajes: 892
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| gonzaloi escribió:
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si tal cual... muchas gracias,muy claro....mucho mas que mi profe,jejeje, lejossss ... y para tringular esa base expresamos la matriz ampliada escribiendo cada elemento de esa base como vectores de R^4 ....o me equivoco ?
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Sea ![[tex]\mathbf B[/tex]](images/latex/1dfa4efb0441dd42061d5228036e71fcc4e6bf24_0.png "[tex]\mathbf B[/tex]") un conjunto formado por cuatro matrices ![[tex]\in \mathbf {R}^{\mbox{m}\times\mbox{n}}[/tex]](images/latex/341c5bfee0b6f4467c67aa5d6d2854b960fca1f8_0.png "[tex]\in \mathbf {R}^{\mbox{m}\times\mbox{n}}[/tex]") , tal que:
para determinar si es una base del espacio vectorial hay que verificar que las matrices sean linealmente independientes entre sí y que generen .
Para ello a la primera matriz la llamo ![[tex]\mathbf A_{1}[/tex]](images/latex/4f5d1d8fa30d6166f129b49cb1460144f398175f_0.png "[tex]\mathbf A_{1}[/tex]") , a la segunda ![[tex]\mathbf A_{2}[/tex]](images/latex/848e20a421f597ba567f2926f040adaeaf6fab3b_0.png "[tex]\mathbf A_{2}[/tex]") , a la tercera ![[tex]\mathbf A_{3}[/tex]](images/latex/7d7940885f441032b8cea18e4d0c3878b2389cf7_0.png "[tex]\mathbf A_{3}[/tex]") y a la cuarta ![[tex]\mathbf A_{4}[/tex]](images/latex/cb6840d54053cf92051bda0856b1166010cc8b2a_0.png "[tex]\mathbf A_{4}[/tex]") y planteo la siguiente ecuación:
Esto es un sistema lineal homogéneo que se resuelve de la siguiente manera:
en donde cada una de las cuatro columnas representa a cada una de las matrices, colocadas cada una de sus filas de manera vertical desde la primera hasta la última. Y la columna de la solución es simplemente la matriz nula compuesta por todos ceros.
Tenés que triangular esta matriz y, para que sea linealmente independiente, te tiene que dar que el sistema sea compatible determinado [/tex]](images/latex/cd30e4740aa975939eef71b98eee8e167d97fb97_0.png "[tex](SCD)[/tex]") , es decir que
En el caso de que el sistema te resulte compatible indeterminado [/tex]](images/latex/a74a38494bcfc2acb7def2d9750794765f5f6097_0.png "[tex](SCI)[/tex]") , significa que una de las matrices es combinación lineal de alguna(s) de las anteriores. Tenés que eliminar una de esas matrices*, es decir, eliminar una de las columnas del sistema, de manera arbitraria y volver a triangular el sistema para que te dé compatible determinado y por lo tanto sean linealmente independientes.
Por ejemplo, si consideramos un conjunto ![[tex]\mathbf C[/tex]](images/latex/abc154205bd77f5bf7260bf0c028cf7807d2d522_0.png "[tex]\mathbf C[/tex]") de cuatro matrices ![[tex]\in \mathbf R^{2\times2}[/tex]](images/latex/37f87cbaf41b168b807311ce11c29e84e900aee4_0.png "[tex]\in \mathbf R^{2\times2}[/tex]") , tal que:
para verificar si es linealmente independiente, lo que hacemos simplemente es plantear la matriz del sistema homogeneizado, en el que cada una de sus columnas son cada una de las matrices del conjunto puestas sus filas de manera vertical:
Triangulás el sistema y verificás que sea compatible determinado y entonces el conjunto sea linealmente independiente y, si además son generadores de , por lo tanto resulta ser una base del espacio vectorial .
Si resulta ![[tex]SCI[/tex]](images/latex/f687233443d7db69aed81bf7b0e4865d4f2940ce_0.png "[tex]SCI[/tex]") , eliminás una matriz* y volvés a triangular hasta que te dé un ![[tex]SCD[/tex]](images/latex/e70cf8299757294ad575466802fab3c5c6c3ff4e_0.png "[tex]SCD[/tex]") .
* El criterio para eliminar la matriz que esté de sobra si el sistema resulta compatible indeterminado es arbitrario, podés sacar cualquiera y probar. Pero el tema es que pudiste haber eliminado una incorrecta y entonces no te va a dar y tenés que volver a empezar eliminando otra, hasta que elimines la más apropiada.
No hay un método certero para "adivinar" cuál es la que está de más, es cuestión de prueba y error, pero, con un poco de práctica, después de hacer varios ejercicios, se puede llegar a intuir a ojo cuál extraer.
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Última edición por McFly el Dom Jun 08, 2008 8:45 pm, editado 1 vez
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gonzaloi
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| claro ... yo hago lo mismo nada mas que las ubico en filas ( no en columnas ) o sea, escribo cada elemento( R^2x2)( por ejemplo ) de la base ''como si fueran vectores de R^4(para este ejemplo)'' ... y ahi triangulo ... en fin es lo mismo que explicastes pero en filas ... y se puede decir q es lo mismo porque se puede triangular operando filas o columnas segun la definicion del teorema de gauus
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McFly
Nivel 8
Registrado: 27 Dic 2007
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| gonzaloi escribió:
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claro ... yo hago lo mismo nada mas que las ubico en filas ( no en columnas ) o sea, escribo cada elemento( R^2x2)( por ejemplo ) de la base ''como si fueran vectores de R^4(para este ejemplo)'' ... y ahi triangulo ... en fin es lo mismo que explicastes pero en filas ... y se puede decir q es lo mismo porque se puede triangular operando filas o columnas segun la definicion del teorema de gauus
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What? No es lo mismo que "estires" la matriz en filas que en columnas:
| Alejandro Sanz escribió:
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No eeeeeeees lo miiiiiiismoooooo
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Tiene que ser sí o sí en columnas como lo puse más arriba, sino te da cualquier cosa.
Talvez a vos te dió porque justo habrás agarrado un ejemplo en el que las matrices eran simétricas y ahí sí es lo mismo, ¡pero sino no!
Se utiliza como regla memotécnica el hecho de "estirar" la matriz así poniendo las filas en columnas una abajo de la otra pero porque eso sale de plantear el sistema de ecuaciones para ver la independencia lineal como lo demostré en la primera parte de mi post anterior.
Te lo demuestro:
Si tenemos un conjunto , como el anterior, de cuatro matrices , tal que:
Para ver si es linealmente independiente, en realidad lo que se hace es plantear un sistema homogéneo con cada matriz multiplicada por un escalar ![[tex]k[/tex]](images/latex/de61dde472a066a5b90a2ff0be7a2f756110011b_0.png "[tex]k[/tex]") y se lo resuelve, como expliqué en el caso genérico al principio (no lo puse para este ejemplo porque pensé que había quedado claro):
Entonces multiplico cada uno de los escalares por cada uno de los componentes de la matriz correspondiente a cada uno e igualo componente a componente con la matriz nula que está del otro lado del igual.
Y nos queda un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:
Para resolverlo lo pasamos a la forma matricial y nos queda así:
y procedemos a triangular la matriz hasta resolver el sistema, es decir hallar los ![[tex]k_{1};k_{2};k_{3};k_{4} \in \mathbf R[/tex]](images/latex/95ebdb77f03a0f2b835b75e91eb690de9927ba4a_0.png "[tex]k_{1};k_{2};k_{3};k_{4} \in \mathbf R[/tex]") que sean solución de ese sistema.
Pero en realidad no hace falta llegar tan lejos. A nosotros nos chupa un huevo saber cuáles son los valores de esos escalares. Lo único que nos interesa es que esos escalares sean únicos para que así resulte un .
Pero ahora bien, si nos ponemos a analizar esta última matriz, ¡oh casualidad!, ¡cada una de las columnas resultó ser cada una de las matrices originales del conjunto !.
Entonces por eso es que podemos poner directamente esta matriz sin tener que plantear las ecuaciones anteriores, porque siempre te van a quedar las matrices originales puestas sus filas en columnas.
Sí es cierto que, para este caso, la ecuación con los escalares multiplicando a cada matriz y todo homogeneizado es el equivalente a lo mismo, pero en lugar de matrices de , ponemos vectores de ![[tex]\mathbf R^{4}[/tex]](images/latex/323381decec337d2ae3c6021208ebc30262bab62_0.png "[tex]\mathbf R^{4}[/tex]") con las dos filas una al lado de la otra, así:
y después planteando las ecuaciones correspondientes te queda la misma matriz que antes, que sería poniendo estos vectores en columnas así:
No entiendo por qué decís que es lo mismo poner las filas. Si la transponés te da una cosa totalmente distinta.
Después, cuando triangules por Gauss, hacé como más te sea cómodo, pero la matriz la tenés que plantear así.
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gonzaloi
Nivel 7
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| supongamos que tu matriz es linealmente dependiente y que se le anula la ultima fila ... se te estaria anulando ''una letra'' de cada matriz R^2x2 ( o sea la d del primer elemento, la h del segundo, la l del tercero y la o del ultimo)... entonces como expresas la base ??
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McFly
Nivel 8
Registrado: 27 Dic 2007
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| gonzaloi escribió:
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supongamos que tu matriz es linealmente dependiente y que se le anula la ultima fila ... se te estaria anulando ''una letra'' de cada matriz R^2x2 ( o sea la d del primer elemento, la h del segundo, la l del tercero y la o del ultimo)... entonces como expresas la base ??
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Si el sistema te resulta compatible indeterminado y por lo tanto linealmente dependiente, entonces quiere decir que hay, por lo menos una matriz que es combinación lineal de una o varias de las otras.
Esa matriz está de más y la tenés que eliminar del conjunto.
O sea, vos triangulaste y te dio un , entonces volvés a la matriz del sistema original:
y a esa le sacás arbitrariamente una de las columnas y volvés a triangular y te fijás que te dé linealmente independiente. Si otra vez te da linealmente dependiente quiere decir que no eliminaste la matriz apropiada entonces tenés que volver y eliminar otra columna, y así sucesivamente hasta que te dé linealmente independiente.
Entonces la base queda expresada como las tres matrices linealmente independientes del conjunto ![[tex]C[/tex]](images/latex/f080822e4599409bd2523af830d42a915043dcd8_0.png "[tex]C[/tex]") .
Fijate que lo expliqué más arriba:
| McFly escribió:
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En el caso de que el sistema te resulte compatible indeterminado , significa que una de las matrices es combinación lineal de alguna(s) de las anteriores. Tenés que eliminar una de esas matrices*, es decir, eliminar una de las columnas del sistema, de manera arbitraria y volver a triangular el sistema para que te dé compatible determinado y por lo tanto sean linealmente independientes.
* El criterio para eliminar la matriz que esté de sobra si el sistema resulta compatible indeterminado es arbitrario, podés sacar cualquiera y probar. Pero el tema es que pudiste haber eliminado una incorrecta y entonces no te va a dar y tenés que volver a empezar eliminando otra, hasta que elimines la más apropiada.
No hay un método certero para "adivinar" cuál es la que está de más, es cuestión de prueba y error, pero, con un poco de práctica, después de hacer varios ejercicios, se puede llegar a intuir a ojo cuál extraer.
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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McFly, sí hay un método para determinar qué eliminar para que el conjunto quede l.i. Lo explico lo mejor que pueda con un ejemplo.
Supongamos que tenemos las cuatro matrices de la explicación de McFly
![[tex]C= \left\{ \left(\begin{array}{lr} a & b \\ c & d \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} e & f \\ g & h \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} i & j \\ k & l \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} m & n \\ \mbox{\~n} & o \\\end{array}\right) \right\}[/tex]](images/latex/8bc14fdb08317d00d756abd6ee44555eb741f2d7_0.png "[tex]C= \left\{ \left(\begin{array}{lr} a & b \\ c & d \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} e & f \\ g & h \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} i & j \\ k & l \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} m & n \\ \mbox{\~n} & o \\\end{array}\right) \right\}[/tex]")
Entonces luego de plantear la combinación lineal igualada a cero llegamos al sistema lineal homogéneo con matriz de coeficientes (no hace falta escribir la columna de ceros en este caso):
Como bien dijo McFly si es SCD entonces son li y si es SCI son ld. Ahora bien, para determinar que tipo de sistema es hay que aplicar eliminación gaussiana, supongamos que luego de hacerlo queda
Eso significa que el conjunto formado por la primera y la tercera matriz es l.i y que el formado por las primeras tres y las cuatro es l.d.
La razón es la siguiente:
Si el conjunto a analizar es el formado por la primera y la tercera matriz, el sistema lineal que hay que estudiar es el que se obtiene suprimiendo la segunda y tercera columnas del sistema lineal que correspondía a las cuatro matrices, es decir es el sistema de matriz
Para resolverlo podemos usar exactamente las mismas operaciones que efectuamos con la matriz que tenía cuatro columnas, ya que lo que sucede en una columna no afecta a lo que pasa en otra, entonces el resultado final sería la matriz
con la segunda y cuarta columnas suprimidas, es decir
que es SCD y por lo tanto las matrices forman un conjunto l.i.
Si consideramos el conjunto formado por las tres primeras matrices, el sistema sería
que después de gauss quedaría (se suprime la cuarta columna del sistema original)
que es SCI, y por lo tanto las tres matrices son ld.
Con la misma idea se ve que también resulta l.d. el sistema formado por la primera, tercera y cuarta matriz.
En conclusión, eliminando la segunda y cuarta matriz se obtiene la base buscada.
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![[tex]B= \left\{ \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{array} \right);\left( \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}\end{array} \right);\left( \begin{array}{cccc} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mn}\end{array} \right);\left( \begin{array}{cccc} d_{11} & d_{12} & \cdots & d_{1n} \\ d_{21} & d_{22} & \cdots & d_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{m1} & d_{m2} & \cdots & d_{mn}\end{array} \right) \right\}[/tex]](images/latex/5e4ed1b244d96098a16500b9e963a30c9e31a568_0.png "[tex]B= \left\{ \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{array} \right);\left( \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}\end{array} \right);\left( \begin{array}{cccc} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mn}\end{array} \right);\left( \begin{array}{cccc} d_{11} & d_{12} & \cdots & d_{1n} \\ d_{21} & d_{22} & \cdots & d_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{m1} & d_{m2} & \cdots & d_{mn}\end{array} \right) \right\}[/tex]")
![[tex]k_{1}.A_{1}+k_{2}.A_{2}+k_{3}.A_{3}+k_{4}.A_{4}=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0\end{array} \right); \ \forall \ k _{1};k _{2};k _{3};k _{4} \in \mathbf R [/tex]](images/latex/89d9bbf006395c146527695a9ce3e933dfe2f946_0.png "[tex]k_{1}.A_{1}+k_{2}.A_{2}+k_{3}.A_{3}+k_{4}.A_{4}=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0\end{array} \right); \ \forall \ k _{1};k _{2};k _{3};k _{4} \in \mathbf R [/tex]")
![[tex]\left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & b_{11} & c_{11} & d_{11} & 0 \\ a_{12} & b_{12} & c_{12} & d_{12} & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{1n} & b_{1n} & c_{1n} & d_{1n} & \vdots \\ a_{21} & b_{21} & c_{21} & d_{21} & \vdots \\ a_{22} & b_{22} & c_{22} & d_{22} & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{2n} & b_{2n} & c_{2n} & d_{2n} & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & b_{m1} & c_{m1} & d_{m1} & \vdots \\ a_{m2} & b_{m2} & c_{m2} & d_{m2} & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{mn} & b_{mn} & c_{mn} & d_{mn} & 0 \\ \end{array} \right)[/tex]](images/latex/13593d0fd5f476cb7f6982f80bac2e041477b4ab_0.png "[tex]\left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & b_{11} & c_{11} & d_{11} & 0 \\ a_{12} & b_{12} & c_{12} & d_{12} & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{1n} & b_{1n} & c_{1n} & d_{1n} & \vdots \\ a_{21} & b_{21} & c_{21} & d_{21} & \vdots \\ a_{22} & b_{22} & c_{22} & d_{22} & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{2n} & b_{2n} & c_{2n} & d_{2n} & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & b_{m1} & c_{m1} & d_{m1} & \vdots \\ a_{m2} & b_{m2} & c_{m2} & d_{m2} & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{mn} & b_{mn} & c_{mn} & d_{mn} & 0 \\ \end{array} \right)[/tex]")
![[tex]\exists ! \ k _{1};k _{2};k _{3};k _{4} \in \mathbf R \ \slash \ k_{1}.A_{1}+k_{2}.A_{2}+k_{3}.A_{3}+k_{4}.A_{4}=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0\end{array} \right)[/tex]](images/latex/4825fc3942c296eab5bb5acc12069e913de0999b_0.png "[tex]\exists ! \ k _{1};k _{2};k _{3};k _{4} \in \mathbf R \ \slash \ k_{1}.A_{1}+k_{2}.A_{2}+k_{3}.A_{3}+k_{4}.A_{4}=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0\end{array} \right)[/tex]")
![[tex]C= \left\{ \left(\begin{array}{lr} a & b \\ c & d \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} e & f \\ g & h \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} i & j \\ k & l \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} m & n \\ \mbox{\~n} & o \\\end{array}\right) \right\}[/tex]](images/latex/aa5a5b8ebe52a882f1c5d02c93378bb219359289_0.png "[tex]C= \left\{ \left(\begin{array}{lr} a & b \\ c & d \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} e & f \\ g & h \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} i & j \\ k & l \\\end{array}\right);\left(\begin{array}{lr} m & n \\ \mbox{\~n} & o \\\end{array}\right) \right\}[/tex]")
![[tex]\left( \begin{array}{cccc|c} a & e & i & m & 0 \\ b & f & j & n & 0 \\ c & g & k & \mbox{\~n} & 0 \\ d & h & l & o & 0 \\\end{array} \right)[/tex]](images/latex/c5ef313f28afe01893d49c42cdc98da301b9d7c5_0.png "[tex]\left( \begin{array}{cccc|c} a & e & i & m & 0 \\ b & f & j & n & 0 \\ c & g & k & \mbox{\~n} & 0 \\ d & h & l & o & 0 \\\end{array} \right)[/tex]")
![[tex]k_{1}.\left(\begin{array}{lr} a & b \\ c & d \\\end{array}\right)+k_{2}.\left(\begin{array}{lr} e & f \\ g & h \\\end{array}\right)+k_{3}.\left(\begin{array}{lr} i & j \\ k & l \\\end{array}\right)+k_{4}.\left(\begin{array}{lr} m & n \\ \mbox{\~n} & o \\\end{array}\right)= \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{array} \right); \ \forall \ k_{1};k_{2};k_{3};k_{4} \in[/tex]](images/latex/efdb938002129a7c3d8cd3d1110ee820e79ebba8_0.png "[tex]k_{1}.\left(\begin{array}{lr} a & b \\ c & d \\\end{array}\right)+k_{2}.\left(\begin{array}{lr} e & f \\ g & h \\\end{array}\right)+k_{3}.\left(\begin{array}{lr} i & j \\ k & l \\\end{array}\right)+k_{4}.\left(\begin{array}{lr} m & n \\ \mbox{\~n} & o \\\end{array}\right)= \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{array} \right); \ \forall \ k_{1};k_{2};k_{3};k_{4} \in[/tex]")
![[tex]\mathbf R[/tex]](images/latex/b90ef814a6373b9cfcb918e8c691a27ad42036ac_0.png "[tex]\mathbf R[/tex]")
![[tex]\left\{ \begin{gathered} k_{1}.a+k_{2}.e+k_{3}.i+k_{4}.m=0 \hfill \\ k_{1}.b+k_{2}.f+k_{3}.j+k_{4}.n=0 \hfill \\ k_{1}.c+k_{2}.g+k_{3}.k+k_{4}.\mbox{\~n}=0 \hfill \\ k_{1}.d+k_{2}.h+k_{3}.l+k_{4}.o=0 \end{gathered} \right.[/tex]](images/latex/b760e9057b745ab87b519195390ee35f587c4ddb_0.png "[tex]\left\{ \begin{gathered} k_{1}.a+k_{2}.e+k_{3}.i+k_{4}.m=0 \hfill \\ k_{1}.b+k_{2}.f+k_{3}.j+k_{4}.n=0 \hfill \\ k_{1}.c+k_{2}.g+k_{3}.k+k_{4}.\mbox{\~n}=0 \hfill \\ k_{1}.d+k_{2}.h+k_{3}.l+k_{4}.o=0 \end{gathered} \right.[/tex]")
![[tex]\left( \begin{array}{cccc|c} a & e & i & m & 0 \\ b & f & j & n & 0 \\ c & g & k & \mbox{\~n} & 0 \\ d & h & l & o & 0 \\\end{array} \right)[/tex]](images/latex/77bd86ca9e597ef82e275b9960b9b11c844b5297_0.png "[tex]\left( \begin{array}{cccc|c} a & e & i & m & 0 \\ b & f & j & n & 0 \\ c & g & k & \mbox{\~n} & 0 \\ d & h & l & o & 0 \\\end{array} \right)[/tex]")
![[tex]k_{1}.(a;b;c;d)+k_{2}.(e;f;g;h)+k_{3}.(i;j;k;l)+k_{4}.(m;n;\mbox{\~n};o)=(0;0;0;0); \ \forall \ k _{1};k _{2};k _{3};k _{4} \in[/tex]](images/latex/84da3a87cb84dba21bb11acdca948a4346561485_0.png "[tex]k_{1}.(a;b;c;d)+k_{2}.(e;f;g;h)+k_{3}.(i;j;k;l)+k_{4}.(m;n;\mbox{\~n};o)=(0;0;0;0); \ \forall \ k _{1};k _{2};k _{3};k _{4} \in[/tex]")
![[tex]\left( \begin{array}{cccc} a & e & i & m \\ b & f & j & n \\ c & g & k & \mbox{\~n} \\ d & h & l & o \end{array} \right)[/tex]](images/latex/fadd9347ee058d9e9c8cf4eee25a638fe326bba4_0.png "[tex]\left( \begin{array}{cccc} a & e & i & m \\ b & f & j & n \\ c & g & k & \mbox{\~n} \\ d & h & l & o \end{array} \right)[/tex]")
![[tex]\left( \begin{array}{cccc} 1 & * & * & * \\ 0 & 0 & 1 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)[/tex]](images/latex/3f083c15fb603a2f38dede92d74346f4bbd84650_0.png "[tex]\left( \begin{array}{cccc} 1 & * & * & * \\ 0 & 0 & 1 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)[/tex]")
![[tex]\left( \begin{array}{cc} a & i \\ b & j \\ c & k \\ d & l \end{array} \right)[/tex]](images/latex/f48d31ad29cc08029d59881051525e0a9994d52e_0.png "[tex]\left( \begin{array}{cc} a & i \\ b & j \\ c & k \\ d & l \end{array} \right)[/tex]")
![[tex]\left( \begin{array}{cc} 1 & * \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)[/tex]](images/latex/a2b18df7a9f9c2b2483ebd15c93ff7bd7888febd_0.png "[tex]\left( \begin{array}{cc} 1 & * \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)[/tex]")
![[tex]\left( \begin{array}{ccc} a & e & i \\ b & f & j \\ c & g & k \\ d & h & l \end{array} \right)[/tex]](images/latex/542e26777067d7256d2ceb6f9c5c76d52edbcd60_0.png "[tex]\left( \begin{array}{ccc} a & e & i \\ b & f & j \\ c & g & k \\ d & h & l \end{array} \right)[/tex]")
![[tex]\left( \begin{array}{ccc} 1 & * & * \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)[/tex]](images/latex/2e4287d18563bc2e1aa811a9cb7a5153ccf9b3d0_0.png "[tex]\left( \begin{array}{ccc} 1 & * & * \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)[/tex]")