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Federico12455
Nivel 3
Edad: 32
Registrado: 24 Feb 2011
Mensajes: 28
Carrera: Informática
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Problema 1
El método de Taylor de Orden n para resolver el PVI es (interpretación a cargo del alumno):
con
y un término residual de la forma
Para el caso
se pide:
a) Plantear el método numérico para n = 2.
b) Plantear el método numérico para n = 4.
c) Utilizando h = 0.2 calcular la solución numérica con ambos métodos (n = 2 y n = 4).
d) Sabiendo que la solución analítica del PVI planteado es verificar experimentalmente el cociente del error de truncamiento entre ambos métodos calculados en el punto c). correspondiente al valor de y(1).
Problema 2
Dado el siguiente problema diferencial:
con
a) Discretizar el problema anterior utilizando un esquema en diferencias finitas de orden 2.
b) Para el caso , encontrar la solución utilizando métodos numéricos adecuados en cada etapa de cálculo.
c) Explicar los problemas numéricos presentes en este problema, de acuerdo a la discretización elegida.
Ayuda: evalúe la conveniencia de un cambio de variables de a).
///////////////////////////////////
Acá hicieron una aclaración en el pizarrón para que podamos despejar la ecuacion diferencial esa, escribieron:
///////////////////////////////////
Pregunta 1
¿Cual es el método de Taylor de Orden 1 en el Problema 1? ¿ Es implícito o explícito ? ¿ Cómo se debe proceder para garantizar la estabilidad ?
Pregunta 2
¿Cómo procedería para determinar numéricamente con una mayor precisión que la obtenida al resolver el Problema 1?
Resolución
Problema 1
a) Para n=2 tenemos:
Reemplazando en la formula de arriba queda:
Sabiendo que la ecuacion diferencial es y que busco .
Derivo
Reemplazo con la ecuación original
Reemplazo en el método:
b)
Para n=4 tenemos:
Reemplazando en la formula de arriba queda:
Busco las derivadas de de la misma forma mostrada antes:
Derivo
Reemplazo con la ecuación original
Derivo
Reemplazo con la ecuación original
Derivo
Reemplazo con la ecuación original
Reemplazo en el método:
c) y d)
Acá es nomas reemplazar en el método acordándose de la condición inicial .
Calculando el error según el término residual llegamos a:
Comparando con el error obtenido experimentalmente es comparable.
Calculando el error según el término residual llegamos a:
Comparando con el error obtenido experimentalmente ( ) también es comparable.
Problema 2
Reemplazo con
Multiplico ambos miembros por
Hago el cambio de variables para que me quede un sistema lineal.
Y lo paso a una notacion con la que estamos más acostumbrados:
a)
Discretizo:
b)
Voy a definir:
Dato
Dato
Acordarse que por el cambio de variables hay que transformar los datos según:
y
Reemplazo en la ecuación discretizada:
Despejo en función de los datos:
Planteo una matriz para obtener las incógnitas.
Lo resuelvo y queda:
Y acordándonos del cambio de variables:
y
c)
Acá le hable un poco de las ventajas de upwinding con su primer derivada no centrada que ayudaba a reducir las oscilaciones iniciales en problemas de capa limite y demás, pero en este caso no hay ninguna derivada primera, así que no supe bien en concreto que decir con respecto al problema.
Pregunta 1
¿Cual es el método de Taylor de Orden 1 en el Problema 1? ¿ Es implícito o explícito ? ¿ Cómo se debe proceder para garantizar la estabilidad ?
El enunciado del primer ejercicio dice "El método de Taylor de orden n ..." pero en el término residual aparece , asi que segun el enunciado el orden 1 corresponderia a asi que lo ignore y supuse n = 0 para que el término residual me quede
Con n=0 tenemos:
Es Euler explicito.
Para el analisis de estabilidad es lo de siempre.
Para hacerlo con una generica uso Taylor:
Se puede despreciar ya que consideramos que es chico.
Reemplazo en la formula original.
Resto la formula original:
Para que sea estable pedimos que:
Pregunta 2
¿Cómo procedería para determinar numéricamente con una mayor precisión que la obtenida al resolver el Problema 1?
Esta pregunta me pareció muy general y ya no tenia ganas de ir a preguntarle a los flacos que buscaban que respondiera.
Directamente le puse que si querés más precisión podes usar otro método, usar ese mismo con una mayor o (que creo que es a lo que se referían) usar el mismo método con distintos pasos de calculo y después aplicar Richardson.
Bueno, si encuentran algún error avisen y después lo subo a la wiki.
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Última edición por Federico12455 el Mar Jul 31, 2012 11:26 pm, editado 3 veces
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Leandroumaru
Nivel 3
Registrado: 25 May 2009
Mensajes: 51
Ubicación: Congreso
Carrera: Mecánica
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¿Alguien sabe cuándo dan las notas? ¿Y las fechas de oral de Tarela, en caso de aprobar?
¡Gracias por la resolución del coloquio!
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