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dario_phoenix
Nivel 3
Registrado: 01 Jun 2007
Mensajes: 48
Carrera: Informática
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Tengo dudas respecto a este dibujo, que es el típicamente usado por Anaya para explicar espacios vectoriales de dimensión infinita... ¿Cada uno de los ejes es un subespacio del espacio vectorial:
![[tex] V = gen \{ \phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_N, \phi_{N+1}, \phi_{N+2} \} [/tex]](images/latex/e955419a18668da3e4a6119c6aaf1c682a1774ca_0.png "[tex] V = gen \{ \phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_N, \phi_{N+1}, \phi_{N+2} \} [/tex]")
..., donde V sería el espacio representado por ese "sistema de coordenadas" dibujado? Pongo ![[tex] \phi_{N+1} [/tex]](images/latex/045145589ace125d5855485d7b768f91dfdea131_0.png "[tex] \phi_{N+1} [/tex]") y ![[tex] \phi_{N+2} [/tex]](images/latex/f7d5587d81a1bc4854bd22d2317b75b6008b05a9_0.png "[tex] \phi_{N+2} [/tex]") porque interpreto que los otros dos ejes son subespacios de una dimensión (generados por un sólo vector).
Otra cosa que no me cierra: Si la cosa es como dije arriba, ¿Por qué hay un eje rotulado ![[tex] \phi_1 [/tex]](images/latex/61ecc93ff3c8339bc436e11ef1835ac5a730c159_0.png "[tex] \phi_1 [/tex]") ? Si se supone que los ejes deben ser ortogonales entre sí, y está incluido en ![[tex] \phi_N [/tex]](images/latex/f7cc33818b9e544e9a05fc29a4898a0cf45fbad8_0.png "[tex] \phi_N [/tex]") , porque me faltó decir que ![[tex] \{ \phi_1, \ldots, \phi_N \} [/tex]](images/latex/3b1a4b127193a00af8a85fab2c2f0cf5c58e8281_0.png "[tex] \{ \phi_1, \ldots, \phi_N \} [/tex]") es una base ortogonal del subespacio . Si eso es así, esos dos ejes no serían ortogonales... ¿No deberían llamarse y los otros dos ejes?
Realmente esto me quema la cabeza... =P
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Monty
Nivel 5
Edad: 37
Registrado: 24 Jul 2007
Mensajes: 168
Ubicación: cap fed
Carrera: Electrónica
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a mi criterio me parece que lo de ese dibujito es cualquiera.
un EV de dim infinita es un EV tal que no existe base de Hamel finita... las definiciones de dependencia e independencia lineal son inmediatas a partir de la def:
v es combinacion lineal de v1, ... vn sii existen a1, ..., an tq v=a1.v1 + ... + an.vn (notar son finitos).
No entendi muy bien la pregunta, podrias aclarar un poco mas??
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dario_phoenix
Nivel 3
Registrado: 01 Jun 2007
Mensajes: 48
Carrera: Informática
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Después de hacer egiptología con mis apuntes, creo que la idea del dibujo es preparar el terreno para deducir la desigualdad de Bessel: por eso la idea de la proyección. Esto es lo que creo haber entendido:
Dado el SEV:
![[tex] \Phi_N = gen \{ \phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_N \} [/tex]](images/latex/b9187cddc31b15a2afb6a8411006fa1067966249_0.png "[tex] \Phi_N = gen \{ \phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_N \} [/tex]")
La proyección de un vector v sobre el SEV ![[tex] \Phi_N [/tex]](images/latex/e57d1d621af2fe1de246657ba6a939640804c247_0.png "[tex] \Phi_N [/tex]") se puede obtener calculando sus coordenadas en una BOG del SEV (la de arriba lo es) y haciendo:
![[tex] P_{ \Phi_N } (v) = \sum^{N}_{n=1} \frac{(\phi_N,v)}{(\phi_N,\phi_N)} \phi_N [/tex]](images/latex/06e7b656aea999e4272c0b62d2c1348b853abb42_0.png "[tex] P_{ \Phi_N } (v) = \sum^{N}_{n=1} \frac{(\phi_N,v)}{(\phi_N,\phi_N)} \phi_N [/tex]")
Hasta acá creo que lo entiendo, y las cuentas que siguen hasta la desigualdad de Bessel también... Pero la duda que me queda es: ¿El vector v, pertenece a un espacio vectorial de dimensión infinita que tiene a como subespacio? Si eso fuera así, el dibujo me cerraría.
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xaperez
Nivel 9
Edad: 39
Registrado: 25 Oct 2005
Mensajes: 3999
Ubicación: La Capital de un Imperio que no existe
Carrera: Electricista y Electrónica
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En el primer post te faltan los puntos suspensivos después de ![[tex]\phi_{N+2}[/tex]](images/latex/f6cb47aa105f91ed34ff2b24da449fef7c82a1c6_0.png "[tex]\phi_{N+2}[/tex]")
Es decir, el espacio ![[tex]V[/tex]](images/latex/7876671d1a34e42c976a8c88802554c9b286ae2a_0.png "[tex]V[/tex]") está generado por una sucesión infinita de vectores (supongamos ortogonales) ![[tex]\phi_i[/tex]](images/latex/ffc112a211636ad83e29ee29651aebdf2ccfd431_0.png "[tex]\phi_i[/tex]")
El (los) espacio(s) ![[tex]\Phi_N[/tex]](images/latex/38452cac4abb7b8855fe3c0987b0bbbf99fe8614_0.png "[tex]\Phi_N[/tex]") es (son) generado(s) por los primeros N vectores de la sucesión, con lo que, claramente, es (son) un subespacio(s) de
Además, la última ecuación, los terminos de adentro de la sumatoria son los ![[tex]\phi_n[/tex]](images/latex/c95af8cbc3ffb1b40f03017776054ce6b67cbe11_0.png "[tex]\phi_n[/tex]") y no los ![[tex]\phi_N[/tex]](images/latex/63c01043570cdb6f6c802e28e43cb1859a97350e_0.png "[tex]\phi_N[/tex]") . La idea es que la suma de las proyecciones sobre cada vector generador te da la proyección sobre el subespacio generado (
En toda esta charla, que te quede claro que N es un numero fijo a los efectos de esta explicación (es decir, podés elegir cualquier N, pero una vez que elegiste, te quedás con ese hasta el final).
Entonces queda:
![[tex]P_{\Phi_N}(v)=\sum_{n=1}^N \frac{(\phi_n , v)}{(\phi_n , \phi_n)} \phi_n[/tex]](images/latex/a3b06839a81741a0de0d02bb3a231297b27cfd50_0.png "[tex]P_{\Phi_N}(v)=\sum_{n=1}^N \frac{(\phi_n , v)}{(\phi_n , \phi_n)} \phi_n[/tex]")
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xaperez
Nivel 9
Edad: 39
Registrado: 25 Oct 2005
Mensajes: 3999
Ubicación: La Capital de un Imperio que no existe
Carrera: Electricista y Electrónica
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Perdón, otro error en el primer post:
![[tex]\{\phi_1 ... \phi_N\}[/tex]](images/latex/79a15afc7aee7622cfdad025948f0d4cf4d75b85_0.png "[tex]\{\phi_1 ... \phi_N\}[/tex]") es una base ortogonal de , no de . Entonces ![[tex]\phi_1 \notin \phi_N[/tex]](images/latex/9187380ab9db04fe0f7b9c9ec2fdc59ed1a4ad1e_0.png "[tex]\phi_1 \notin \phi_N[/tex]") , aunque ![[tex]\{\phi_1 , \phi_N\} \in \Phi_N[/tex]](images/latex/fcba025efe0fb3a8eea7f20bad54eec8fd87fa07_0.png "[tex]\{\phi_1 , \phi_N\} \in \Phi_N[/tex]")
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Monty
Nivel 5
Edad: 37
Registrado: 24 Jul 2007
Mensajes: 168
Ubicación: cap fed
Carrera: Electrónica
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| claro en realidad hay que demostrar que el sistema de en general funciones {fi 1, ..., fi n, ......} (el cual podemos notar) {fi n} neN es total. Asi, vale decir que si {fi n}neN es una BOG de V entonces la descomposicion ortogonal es unica... En el capitulo II del Balanzat esta el tema muy bien
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dario_phoenix
Nivel 3
Registrado: 01 Jun 2007
Mensajes: 48
Carrera: Informática
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| Creo que ya entiendo algo... Igual voy a ver el Balanzat. ¡Gracias xaperez, gracias Monty!
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manuco
Nivel 4
Registrado: 22 May 2008
Mensajes: 84
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Es posible dar definiciones puramente algebraicas de un ev de dimensión infinita, pero un lenguaje más rico se obtiene poniendo una topología o una métrica sobre la estructura algebraica.
Algebraicamente, un conjunto (posiblemente infinito) se dice linealmente independiente si todo subconjunto finito es linealmente independiente en el sentido estándar de álgebra lineal.
Ahí no hay problemas: todo espacio vectorial de dimensión finita es cerrado en la topología de la norma y las proyecciones están bien definidas, que es lo que uno realmente necesita.
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Don Equis
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 31 May 2009
Mensajes: 16
Carrera: No especificada
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Hola.
Amén de todo ¿por qué asumen que la base de un espacio vectorial es numerable?
Saludos.
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sabian
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 04 May 2009
Mensajes: 37
Carrera: No especificada
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Creo que un claro ejemplo de un espacio vectorial de dimensión infinita es el ![[tex]\mathbf R[/tex]](images/latex/b90ef814a6373b9cfcb918e8c691a27ad42036ac_0.png "[tex]\mathbf R[/tex]") de los polinomios con coeficientes en . Para obtener una base necesitas al menos el ![[tex] 1\ ,\ x \,\ x^2 \,\ x^3[/tex]](images/latex/ff736434d45b15b23ac2b66dccae73f61b4f9808_0.png "[tex] 1\ ,\ x \,\ x^2 \,\ x^3[/tex]") hasta infinito orden. Espero que te sirva, un abrazo.
P.D: Don Equis, ¿vos andás en psicofxp no?
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sabian
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 04 May 2009
Mensajes: 37
Carrera: No especificada
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Buo, en la vista preliminar salía con comas entre las ![[tex] x [/tex]](images/latex/478db92c8145ece9ac63aa8f5d0668de57926896_0.png "[tex] x [/tex]") y salió sin ¬_¬
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Don Equis
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 31 May 2009
Mensajes: 16
Carrera: No especificada
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Hola.
Sí, entre otros foros.
Saludos.
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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| Cita:
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Hola.
Amén de todo ¿por qué asumen que la base de un espacio vectorial es numerable?
Saludos.
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Porque con los numerables alcanza y sobra, Don X
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manuco
Nivel 4
Registrado: 22 May 2008
Mensajes: 84
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| eugenio escribió:
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| Cita:
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Hola.
Amén de todo ¿por qué asumen que la base de un espacio vectorial es numerable?
Saludos.
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Porque con los numerables alcanza y sobra, Don X
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Hola, en realidad, no.
Cuando un espacio vectorial topologico tiene una base de Schauder (en este caso, una base de HIlbert) numerable, se dice que el espacio es separable. Los espacios separables comparten muchas de las propiedades de el espacio euclideo, entre ellas, tienen un subconjunto numerable que es denso: todo punto del espacio está arbitrariamente cerca de uno de los del subconjunto denso.
Los espacios separables son más fáciles de tratar que los no-separables. Y la separabilidad es una propiedad que se explota en buena manera, por ejemplo, en los espacios de hilbert, con la posibilidad de "aproximar" elemntos del espacio.
Lo que enseñan es una version de la teoría en el caso separable. No es que se "asume". para el caso general hace falta otro tipo de herramientas.
No es dificil probar que todo espacio de hilbert separable es isométricamente isomorfo a el espacio de sucesiones reales de cuadrado sumable. o sea que estudiar un hilbert separable, en realidad es estudiar el l2, y del l2 se sabe una bocha.
Ahora bien, los hilberts no separables son toooda otra cuestion. Ejemplos de espacios no separables hay a patadas; uno de los mas sencillos es el espacio de las sucesiones acotadas; cualquier producto no numerable de espacios de banach, etc...
saludos
m.
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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Pero entonces me están dando la razón. Alcanza.
Para aproximaciones en las medidas que se ven acá los numerables están de diez. Además son los espacios a los que usualmente se enfoca. Es obvio que el espacio de las funciones C^n tiene dimensión no numerable, pero por eso mismo no sirve para nada al no ser separable.
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