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Lukillas
Nivel 2
Edad: 35
Registrado: 11 Abr 2007
Mensajes: 10
Ubicación: Merlo
Carrera: Informática
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Hola chicos, ante todo me presento, me llamo Lucas y estoy cursando el CBC para Ing. Inf.
Así es que este Miércoles tengo parcial de Análisis y me estoy rompiendo la cabeza con unos ejercicios que nos dieron para practicar, lo que me gustaría es ver si alguien me puede ir dando una manito con las dudas que pueda ir posteando, no es cuestión de resolverlo sino de decir "si, mirá, tenés que ver tal cosa o tal otra"... en fin, yendo al grano, tengo el siguiente problema:
La recta ![[tex]y=2x+6[/tex]](images/latex/bcb1798d138582a501b9f3ae135fd1bb230c47d5_0.png "[tex]y=2x+6[/tex]") es tangente al gráfico de ![[tex]f[/tex]](images/latex/228663427166fa0dd8911ea5e0d4c3ddfd5ded79_0.png "[tex]f[/tex]") en el punto de abscisa ![[tex]x=5[/tex]](images/latex/271f1383df8e12045cb09add16305fefd4d5fe79_0.png "[tex]x=5[/tex]") , y la recta ![[tex]y=7x+8[/tex]](images/latex/2a935d4c32bc9efcf96d799d64eba4c98df15309_0.png "[tex]y=7x+8[/tex]") es tangente al gráfico de ![[tex]g[/tex]](images/latex/ec5d8a9a3f42318688bd76c52018a51b90659195_0.png "[tex]g[/tex]") en el punto de abscisa ![[tex]x=4[/tex]](images/latex/7ebf6f0f51dcc30f282968af4ea323e9ccb2f14e_0.png "[tex]x=4[/tex]") . Hallar la ecuación de la recta tangente a ![[tex]h(x)=[(g o f)(x)]^\frac12[/tex]](images/latex/97328638d81990ac824dc6465cd6af9869213545_0.png "[tex]h(x)=[(g o f)(x)]^\frac12[/tex]") en .
Bueno, el tema es que resolviéndola hago los siguientes pasos...
- De la recta tg. a en obtengo: ![[tex]f(5)=16, f^{'}(5)=2[/tex]](images/latex/095bb824a7218cf4d96bb32177c3ce78a7dd9b4d_0.png "[tex]f(5)=16, f^{'}(5)=2[/tex]") .
- De la recta tg. a en obtengo: ![[tex]g(4)=36, g^{'}(4)=7[/tex]](images/latex/16f178348465ab188597e55bb40780755339b9fe_0.png "[tex]g(4)=36, g^{'}(4)=7[/tex]")
- Acá se me arma el kilombo. Voy a ![[tex]h[/tex]](images/latex/dba6f75029d64b60539dea1182c5717c286e8d54_0.png "[tex]h[/tex]") y hago los siguientes pasos:
![[tex]h(x)=[g_{(f(x))}]^\frac12[/tex]](images/latex/e11318106149c59c111be05b37825b35353aeafe_0.png "[tex]h(x)=[g_{(f(x))}]^\frac12[/tex]")
![[tex]h(5)=[g_{(f(5))}]^\frac12 \Rightarrow h(5)=[g_{(16)}]^\frac12[/tex]](images/latex/f429e623d20225c01ca188add61e282c04986113_0.png "[tex]h(5)=[g_{(f(5))}]^\frac12 \Rightarrow h(5)=[g_{(16)}]^\frac12[/tex]")
Y ahí me quedé, no sé que hacer con ![[tex]g(16)[/tex]](images/latex/9e3fc00406d2b53f49201c5fe0569fb5eaf07114_0.png "[tex]g(16)[/tex]")
Si me estoy olvidando de algo, o si está mal el procedimiento, agradecería que me lo recordaran o hagan saber!
Nos vemos!
\MOD (sebasgm): Muevo y cambio título para que no quede redundante...
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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Bienvenido a FF! (¿Conocés el Wiki?)
Así como está obviamente no da... 
Pero apostaría que está mal el enunciado. La recta tangente de la haría: ![[tex]y=2x-6[/tex]](images/latex/635ba21a56bb884795724e7036a6ba6ec33807b8_0.png "[tex]y=2x-6[/tex]") , con lo cual te queda que ![[tex]f(5) = 4[/tex]](images/latex/1992f099a1ca9e87edd2b985a2e35fd5903bc6f4_0.png "[tex]f(5) = 4[/tex]") y listo! 
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Fhran
Administrador
Edad: 39
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Ubicación: En la rama de un árbol... entre locos.
Carrera: Electrónica y Informática
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¡Bienvenido Lucas! Si no me equivoco, sos el primer usuario que ya en su primer post usa LaTeX. 
(para la raíz cuadrada podés usar \sqrt{x}: ![[tex]\sqrt{x}[/tex]](images/latex/bc869ad0da45c4a31d1e698a9024941d774d314f_0.png "[tex]\sqrt{x}[/tex]") )
Lo estuve mirando y tampoco llegué a nada. Es probable que esté mal el enunciado y que el error sea el que sugirió 4WD.
Fijate que después, para obtener la pendiente de ![[tex]h(x)[/tex]](images/latex/c896f816359ca1c3a97286317c0b10d2e63796d6_0.png "[tex]h(x)[/tex]") , vas a tener que derivarla y ahí aparecerá ![[tex]g'(f(x))[/tex]](images/latex/c0e3714b1cf7e07cc6270e3622264db5e01b5f87_0.png "[tex]g'(f(x))[/tex]") nuevamente evaluada en 5.
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El horóscopo del ingeniero es un poco más amplio. Se compone de Amor, Dinero, Salud, Simetría y Linealidad Causa-Efecto.
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
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Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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Me juego todas las fichas a cambiar el enunciado... seguramente es así... o por lo menos así lo vas a poder calcular...
¡Recordá usar la regla de la cadena al derivar la función compuesta!
Suerte en el examen, y cualquier cosa consultá...
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Lukillas
Nivel 2
Edad: 35
Registrado: 11 Abr 2007
Mensajes: 10
Ubicación: Merlo
Carrera: Informática
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Holas de nuevo! Gracias a todos por tan cálida bienvenida y las respuestas.
Sí, jeje, me rompí la cabeza con lo de LaTeX, pero no es tan difícil de manejar, al principio algunas cositas no me salían hasta que las descubría, pero es mucho más cómodo leer una ecuación así que en formato de texto normal.
Volviendo al tema, yo al ejercicio lo tenía así copiado.. por ahí me mandé una cagadita y lo copié mal  Porque si la recta tg. a es se puede resolver perfectamente. Gracias chicos! Resulta sorprendente ver como tremenda "boludez" te hace trabar ... desde el mediodía que estaba pensando como sacar este ejercicio. ¡Cada vez me gusta más Análisis!
En unas horas o quizás mañana los molesto con sucesiones Nos vemos.
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- = DIEGO = -
Nivel 5
Edad: 39
Registrado: 09 Jul 2006
Mensajes: 197
Ubicación: San Telmo!!
Carrera: Informática
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jajaja
Anotate en analisis matematico 3 cuando entres!
Esa si q te va a gustar!!
Bienvenido sr, espero q tengamos la suerte de recibirlo en la facu pronto
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"Pienso, luego existo", pese a una frase célebre del gran Sirne: "Usted no piense, si piensa se equivoca"
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Lukillas
Nivel 2
Edad: 35
Registrado: 11 Abr 2007
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Ubicación: Merlo
Carrera: Informática
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Gracias Diego, si Dios quiere el año que viene estoy allá
Bueno, resolví algunos ejercicios similares al primero que postié, y eso ya masomenos lo tengo bien claro!
Ahora pasé a otros, por ej. éste que tampoco me sale ... 
Dada ![[tex]f_{(x)}=\frac{e^x}{x^2}[/tex]](images/latex/3a1a8ad88253a12485a33e22fe95c794b39d7b86_0.png "[tex]f_{(x)}=\frac{e^x}{x^2}[/tex]") , demostrar que si ![[tex]x \epsilon (1;4)[/tex]](images/latex/a03372a1a912c6d56ca3dbc10aa4a51ab441fbc7_0.png "[tex]x \epsilon (1;4)[/tex]") , se cumple que ![[tex]\frac{e^2}{4} \leq f_{(x)} \leq \frac{e^4}{16}[/tex]](images/latex/1a310fddf425bba8ab28a664a75d2a7dc0ea0655_0.png "[tex]\frac{e^2}{4} \leq f_{(x)} \leq \frac{e^4}{16}[/tex]")
No tengo idea de cómo sacarla, porque tengo un ejercicio similar, pero a este no lo pude sacar!  Si alguien me tira un cable de cómo resolver esta, le estaría más que agradecido. Estoy a full con el parcial!
Nos vemos.
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sebasgm
Moderador
Edad: 38
Registrado: 07 Jul 2006
Mensajes: 2434
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| Lukillas escribió:
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Gracias Diego, si Dios quiere el año que viene estoy allá
Bueno, resolví algunos ejercicios similares al primero que postié, y eso ya masomenos lo tengo bien claro!
Ahora pasé a otros, por ej. éste que tampoco me sale ...
Dada , demostrar que si , se cumple que
No tengo idea de cómo sacarla, porque tengo un ejercicio similar, pero a este no lo pude sacar! Si alguien me tira un cable de cómo resolver esta, le estaría más que agradecido. Estoy a full con el parcial!
Nos vemos.
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Me parece que la idea es argumentar que ![[tex]\frac{e^x}{x^2}[/tex]](images/latex/f353e613a2c2de8b2c987c2dd11e404b34b6a444_0.png "[tex]\frac{e^x}{x^2}[/tex]") es en realidad la composición de dos funciones continuas y crecientes y que por lo tanto ![[tex]f_{(x)}[/tex]](images/latex/e54ac6ea97d7e543fc213ad86dcfb25a5b37f1b7_0.png "[tex]f_{(x)}[/tex]") es también continua. Por último, en es intervalo se cumple la condición simplemente porque el intervalo es precisamente creciente.
Creo que si no viniera por ahí ni siuiqera tenría mucho sentido por como está planteado, digo, parecería trivial...
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"Por un foro más ordenado" "Cómo buscar en el Foro" "Información para ingresantes" "El wiki te espera"
Última edición por sebasgm el Dom May 20, 2007 6:58 pm, editado 1 vez
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Fhran
Administrador
Edad: 39
Registrado: 25 Ago 2005
Mensajes: 3123
Ubicación: En la rama de un árbol... entre locos.
Carrera: Electrónica y Informática
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Te dejo un gráfico para verlo mejor:
Y ya que te gustan estas cosas, te recomiendo que bajes y aprendas a usar Gnuplot, el programa que usé para hacer ese gráfico. Debería estar en la cartera de toda dama y bolsillo de todo caballero que curse Análisis Matemático.
Estoy viendo el problema... si encuentro algo vuelvo.
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4WD
Administrador
Edad: 39
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Mensajes: 2430
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Carrera: Mecánica
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Problema de extremos:
Continuidad asegurada porque la exponencial es continua y en [1, 4] el denominador (x) no se anula.
Derivando la función f queda ![[tex]f'(x) = \frac{{e^x \left( {x - 2} \right)}}{{x^3 }}[/tex]](images/latex/141143543fa44c62741c89fe7ac422aad6114b34_0.png "[tex]f'(x) = \frac{{e^x \left( {x - 2} \right)}}{{x^3 }}[/tex]") , que también es continua en ese intervalo.
Buscando ceros, es obvio que resulta cero en 2.
Por lo tanto los puntos críticos de la función en el intervalo son los correspondientes a x=2, x=1 y x=4 (estos dos últimos por ser extremo de intervalo).
Lo que falta es hacer f(1), f(2) y f(4) y comparar (con calculadora su aproximación decimal).
Resulta que como está en el gráfico que hizo Fhran, el mínimo es para x=2 y el máximo para x=4 por lo que podés hacer la acotación pedida y listo!
PD: Me encanta análisis... ¿se nota? Pero cero ganas de aprender GNUPlot...
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Lukillas
Nivel 2
Edad: 35
Registrado: 11 Abr 2007
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Hola de vuelta chicos, antes que nada nuevamente gracias x la ayuda! En cuanto tenga un tiempito me bajaré el GNUplot. (escuché que había algo similar, graficador de funciones, pero para Linux también, me suena mucho el nombre!)
Ah, y otro comentario de paso, leyendo y leyendo, este y otros foros, me compré el libro "Elementos de cálculo diferencial e integral" de Sadosky-Guber, hoy me llegó y lo estuve hojeando...está bárbaro! Y encima, dice casi-exactamente lo mismo que las explicaciones de mis profes de Análisis
En fin, me voy yendo ahora, más a la nochecita posteo nuevas dudas.
Saludos!
Lucas.
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Lukillas
Nivel 2
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Hola gente, volví Pero ahora terminando con problemas de optimización y empezando un poco con sucesiones, que no la tengo tan clara que digamos...
Tengo uno que dice así:
Sea ![[tex]a_n=\frac{x^{2n}}{9^nn^5}[/tex]](images/latex/5776b8e243dcb77e57eb6f0ed44f6fe75ad2f323_0.png "[tex]a_n=\frac{x^{2n}}{9^nn^5}[/tex]") Encuentre todos los ![[tex]x > 0[/tex]](images/latex/e215c764787270b893715e6dfbc1f8768a5b1e44_0.png "[tex]x > 0[/tex]") para los cuales ![[tex]a_n[/tex]](images/latex/84c73ddd07414ee9575e3dded97158a88d3881d0_0.png "[tex]a_n[/tex]") es convergente. Para los valores hallados, calcule el ![[tex]\lim_{n \to \infty}(a_n - \frac{4}{a_n})[/tex]](images/latex/f86e99cdb72c1b14c42cf9aef6e1c3242f50c035_0.png "[tex]\lim_{n \to \infty}(a_n - \frac{4}{a_n})[/tex]")
Estoy medio en el horno con eso, no me queda muy claro como encararla para obtener la X.
En fin, si me pueden dar una manito, se los estaré agradeciendo.
P.D.: Me queda una laaaarga noche por delante.
Saludos!
Lucas.
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ignis
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 02 Dic 2006
Mensajes: 488
Ubicación: down the telegraph road
Carrera: Civil
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Este ejercicio sale tanto con la raíz enésima de Augustin Louis Cauchy como con el cociente de Jean le Rond D'Alembert. En el primero planteás
![[tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{x^{2n}}{9^n n^5} } = \lim_{n \to \infty} \frac {x^2}{9 \sqrt[n]{n^5} } [/tex]](images/latex/966cfb1b9e252ae2eae52cee8181e7d2eb02bbc4_0.png "[tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{x^{2n}}{9^n n^5} } = \lim_{n \to \infty} \frac {x^2}{9 \sqrt[n]{n^5} } [/tex]")
Y como ![[tex]\sqrt[n]{n}[/tex]](images/latex/e0c50243fddc47f20dd62f37bd0bad0f37592860_0.png "[tex]\sqrt[n]{n}[/tex]") tiende a 1 cuando n tiende a infinito, (o, en este caso, ![[tex]n^5[/tex]](images/latex/f3c338278f9181c0514c425ae84d5e0f3b7da879_0.png "[tex]n^5[/tex]") , pero es lo mismo, porque sería como ^5[/tex]](images/latex/36968df3a5905514eaa914a21f5960ddb1ee60af_0.png "[tex](\sqrt[n]{n})^5[/tex]") ), te queda que el límite da ![[tex]\frac{x^2}{9}[/tex]](images/latex/bc7752158aacfb588dbe37f1158d24e3c6c8bc3d_0.png "[tex]\frac{x^2}{9}[/tex]") . Y como ![[tex]0 < \frac {x^2}{9} < 1 [/tex]](images/latex/ed5332091587197b49351c934fac5ad207b1eeec_0.png "[tex]0 < \frac {x^2}{9} < 1 [/tex]") para que sea convergente (según el criterio de Cauchy), ![[tex]0 < x < 3 [/tex]](images/latex/71ffb01e29f6a8938143f8fec83568ff1ce3f6c1_0.png "[tex]0 < x < 3 [/tex]") .
Te comento que haciéndolo por D'Alembert también se puede hacer, y por supuesto da lo mismo. Lo tenés que laburar un poco con eso de que ![[tex]\lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^n =e[/tex]](images/latex/d7c492148443cb951813b8e65f281be5fb3c2a01_0.png "[tex]\lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^n =e[/tex]") , pero sale sin problema. Perdoname que no lo hago ahora pero ¡mañana rindo física y me tengo que ir a dormir! jeje
Ah, y sobre la segunda parte... bueno. La verdad tanto Cauchy como D'Alembert (alias: el matafactoriales) te decían si era convergente o no (si el límite te daba distinto de 1), pero no me acuerdo cómo se reemplazaba cuando n tiende a infinito en la segunda expresión que te dan. Y eso que me maté estudiando análisis el año pasado... qué se va a hacer...
Bueno, espero que te haya ayudado con mi post. ¡Que te sea leve la noche y ¡Suerte en el parcial!!
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ignis
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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Hola!
Está bien lo que te contestó Ignis. Así como D'Alembert es el "mata factoriales", Cauchy es el "mata potencias".
Como dijo la respuesta por ahora es 0 < x < 3.
Sin embargo, el ejercicio no termina ahí. Cuando Cauchy o D'Alembert te dan 1 no pueden asegurar nada. Hay que probarlo a mano para esos casos. Es decir, tenés que probar qué pasa cuando x = 3. Fijate que reemplazando resulta ![[tex]a_n = 1/n^5[/tex]](images/latex/a014a9920c5fc136ed77cb21b87ebbc471854c5d_0.png "[tex]a_n = 1/n^5[/tex]") (claramente convergente, por comparación o criterio del límite con ![[tex]1/n^2[/tex]](images/latex/4dc52daa2cc4412ecffd28098e31aca397dd2140_0.png "[tex]1/n^2[/tex]") ). Por lo tanto la respuesta es que es convergente para ![[tex]0 < x \leq 3[/tex]](images/latex/d2614f4f55b4b85205744b3e689abe3267d24a9b_0.png "[tex]0 < x \leq 3[/tex]") .
Este tipo de sucesiones convergen a 0 (nada más claro que D'Alembert para ver que el término siguiente se hace más pequeño en módulo cada vez). Así que ![[tex]\mathop{\lim_{n \to \infty}}a_n = 0[/tex]](images/latex/16156572a7f8264ebf31de123e6d50cc86f64f39_0.png "[tex]\mathop{\lim_{n \to \infty}}a_n = 0[/tex]") . Con este dato se puede calcular lo que te piden, que es que esa cuenta tiende a infinito (diverge) porque la sucesión tiende a cero y está dividiendo. Eso creo.
¡Suerte en el examen!
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Lukillas
Nivel 2
Edad: 35
Registrado: 11 Abr 2007
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Ubicación: Merlo
Carrera: Informática
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| Gracias chicos, ya me estoy yendo a rendir, estoy medio cagado pero bien preparado Después comento y sigo posteando. Nos vemos.
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