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leandrob_90
Nivel 9


Edad: 32
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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MensajePublicado: Sab Oct 12, 2013 7:21 pm  Asunto:  Consulta Newton-Raphson Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Buenas, estaba viendo algunos parciales viejos de numérico y me topé con el siguiente problema:

Dado un numero positivo [tex]a>=2[/tex] y la función [tex]f(x)=e^x-a[/tex]


Me pide que determine el intervalo de convergencia y la cantidad de iteraciones para que el error absoluto sea [tex]10^{-4}[/tex] para el método NR

Cómo se determinan esas dos cosas? hay alguna forma? algún método? porque por lo que estuve viendo, el intervalo se saca a pulmón, y la cantidad de iteraciones la única formula que vi fue para el método de bisección (dudo que valga acá también)

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leandrob_90

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Sebastian Santisi
Administrador Técnico


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Registrado: 23 Ago 2005
Mensajes: 17450


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MensajePublicado: Sab Oct 12, 2013 7:26 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

¿A qué te referís con lo de "a pulmón"?, digamos, NR te propone resolver el problema como un problema de punto fijo, las hipótesis que tenés que cumplir son las de PF y podés sacarlas analíticamente.

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4WD
Administrador


Edad: 38
Registrado: 07 Sep 2006
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MensajePublicado: Sab Oct 12, 2013 10:13 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Para el intervalo, sí, tenés que encontrar "a mano" un intervalo que cumpla las condiciones del teorema de punto fijo, o hay algunas condiciones más restrictivas pero fáciles para NR.

Para estimar la cantidad de iteraciones, podés estimarlas sabiendo que NR converge cuadráticamente (casi siempre), en base al primer error que obtengas con iterar usando NR. Para esto necesitás saber la definición de orden de convergencia, que relaciona los errores en iteraciones sucesivas.

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leandrob_90
Nivel 9


Edad: 32
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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MensajePublicado: Sab Oct 12, 2013 10:48 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Sí, con "a pulmón" me refería a "a mano"... Entonces, no hay forma de hallar el intervalo que no sea probando hasta que los valores den.


El orden de convergencia, para n "grandes" lo calculo como [tex]\alpha \approx \frac{ \log \left( |e_{n+2}|/|e_{n+1}| \right) }{ \log \left( |e_{n+1}|/|e_{n}| \right) }[/tex] al menos así lo vi para bisección y regula falsi, acá aplica también?

No entiendo qué tengo que hacer ahora... :S

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leandrob_90
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MensajePublicado: Dom Oct 13, 2013 7:40 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Acá encontré algo, con la fórmula para acotar el error:

[tex]|x_n-p| \leq \frac{ K^n }{|1-K|} |x_1-x_0|<\varepsilon[/tex]

usando el término del medio y la derecha despejo la cantidad de iteraciones n, siendo K la cota de la derivada de g en el intervalo

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4WD
Administrador


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MensajePublicado: Dom Oct 13, 2013 11:06 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Correcto!

Lo primero que pusiste no te sirve mucho: ya sabés que NR converge con orden 2 (excepto casos particulares), no hace falta estimarlo.

Yo había pensado en algo más burdo y aproximado:
[tex]\left|x_{n+1} - r\right| \leq c \cdot \left|x_n - r\right|^2[/tex]
Es decir, cada iteración te eleva al cuadrado el error (que es menor que 1).

Pero la expresión que pusiste es mejor, y la correcta para hacer lo que te piden.

Recordar que [tex]g[/tex] es la función de punto fijo (la función de NR en este caso) y no la función a resolver.

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