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Mensaje |
fluorita
Nivel 3
Edad: 31
Registrado: 08 May 2013
Mensajes: 20
Carrera: Química
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Comprobar que si ![[tex]U_{n}=(0,\frac{n+1}{n})\subset\mathbf R[/tex]](images/latex/2bd5ec3ce89375f032fece03aa93e951f4780293_0.png "[tex]U_{n}=(0,\frac{n+1}{n})\subset\mathbf R[/tex]")
entonces ![[tex]\cap_{n}U_{n}=(0,1][/tex]](images/latex/7d5b30ee5a18dcf2eae89f66ea18693e926738a7_0.png "[tex]\cap_{n}U_{n}=(0,1][/tex]") , que no es abierto
La verdad cero ideas. Necesito ayuda!
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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Un número real x pertenece a ![[tex]\bigcap _{n = 1} ^\infty U_n[/tex]](images/latex/bfcb4abec9a188c1fce4ba61ee7802c380e62548_0.png "[tex]\bigcap _{n = 1} ^\infty U_n[/tex]") si pertenece a todos los ![[tex]U_n[/tex]](images/latex/f3b0a7b7de8284c5468d33e5bd8bfe451b55c5fe_0.png "[tex]U_n[/tex]") . Para todo ![[tex]n \in \mathbf{N}[/tex]](images/latex/593281f4af0b4ad22e756a27b6cc9d8701f7dd69_0.png "[tex]n \in \mathbf{N}[/tex]") :
Eso es para todo n, así que  . ¿Cómo se interpreta eso? La intersección de los tiene que estar incluida en el intervalo (0, 2) (o sea ![[tex]U_1[/tex]](images/latex/b35bc18cec6c3159e11607bb579592b6549e49bc_0.png "[tex]U_1[/tex]") ), porque todos los lo están, así que los reales menores o iguales a 0, o mayores o iguales a 2, no pueden estar en la intersección. Y los reales positivos menores o iguales que 1 están seguro en la intersección, porque están seguro en todos los . Quedan por analizar los reales mayores que 1 y menores que 2.
Para eso, se sabe también que ![[tex]\frac{n+1}{n} \to 1[/tex]](images/latex/f32bdd38fb73fd34c1727defb27e62a47b7af9a5_0.png "[tex]\frac{n+1}{n} \to 1[/tex]") para ![[tex]n \to \infty[/tex]](images/latex/4b76f3f1c5b389fb8b57c32b461fde5072607a5c_0.png "[tex]n \to \infty[/tex]") . Eso significa, recordando la definición de límite, que si ![[tex]x \in \mathbf{R}[/tex]](images/latex/5681aacc51fe44d52cb68ece9fb5b9b0f4ce3182_0.png "[tex]x \in \mathbf{R}[/tex]") y 1 < x < 2, para índices n suficientemente grandes, ![[tex]\frac{n+1}{n}[/tex]](images/latex/e2221048f2a0eeee7617d64b6e908f4752612727_0.png "[tex]\frac{n+1}{n}[/tex]") va a estar tan cerca de 1 que va a ser menor que ese x, y por lo tanto ![[tex]x \not\in U_n[/tex]](images/latex/d2d9800d9ad9342f1c6b7da15001e42f4bf6ea9b_0.png "[tex]x \not\in U_n[/tex]") . Y si hay intervalos en los que x no está, tampoco puede estar en la intersección. Y así se termina concluyendo que ![[tex]\bigcap _{n = 1} ^\infty U_n = (0, 1][/tex]](images/latex/beac410c10acbcec7e2deddd556b41d80dbcff68_0.png "[tex]\bigcap _{n = 1} ^\infty U_n = (0, 1][/tex]") .
Más formalmente: para significa que para cada real positivo ![[tex]\varepsilon[/tex]](images/latex/4e36e4cc31c525ad4e2bd7eb0d72884866641126_0.png "[tex]\varepsilon[/tex]") existe un natural ![[tex]K(\varepsilon)[/tex]](images/latex/cf8a6c3ca1b26e8d7e12d8ce436a6d925cb4a3c4_0.png "[tex]K(\varepsilon)[/tex]") tal que si ![[tex]n > K(\epsilon)[/tex]](images/latex/281394cfc4224c1c89a948b29205a5899a055158_0.png "[tex]n > K(\epsilon)[/tex]") :
El módulo se puede sacar poque, como está dicho más arriba, para todos los n: ![[tex]\frac{n+1}{n} > 1 \Rightarrow \frac{n+1}{n} - 1 > 0[/tex]](images/latex/3bf863611a39fafbbb1e2451ed98f9b2384fa780_0.png "[tex]\frac{n+1}{n} > 1 \Rightarrow \frac{n+1}{n} - 1 > 0[/tex]") . Si 1 < x < 2, entonces x - 1 es real y positivo, así que existe un natural K(x - 1) tal que si n > K(x - 1):
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Granada
Nivel 9
Edad: 31
Registrado: 16 Ago 2011
Mensajes: 1325
Carrera: Química
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| Cuando sea grande quiero ser como Huey 7. Para mi es Chorny posteando, no me jodan (?)
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| koreano escribió:
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Una de las mentiras mas grandes: "si pasás el CBC, el resto es barranca abajo".
Después es "cuando aprobás AlgebraII/AnalisisII es barranca abajo".
Después es "después de FísicaII es cuestión de tiempo nomás".
No te dejes engañar, ES UNA PAJA ESTO Y CADA VEZ PEOR
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![[tex]\mathit{Noventa}\ \mathit{y}\ \mathit{dos}\ \mathit{coma}\ \mathit{nueve}\ \mathit{}\ \mathit{}[/tex]](images/latex/13b8d7c5145650bf52e1ab2f2b452a407c64bb37_0.png "[tex]\mathit{Noventa}\ \mathit{y}\ \mathit{dos}\ \mathit{coma}\ \mathit{nueve}\ \mathit{}\ \mathit{}[/tex]")
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![[tex]0 < 1 < \frac{n+1}{n} \leq 2 \Rightarrow(0, 1] \subseteq U_n \subseteq U_1 = (0, 2)[/tex]](images/latex/4c0273c162b622f36fea0224fa9a7b7cbc19423e_0.png "[tex]0 < 1 < \frac{n+1}{n} \leq 2 \Rightarrow(0, 1] \subseteq U_n \subseteq U_1 = (0, 2)[/tex]")
![[tex]\left | \frac{n+1}{n} - 1 \right | = \frac{n+1}{n} - 1 < \varepsilon[/tex]](images/latex/2f55aa9bddd77d7007b0df94337fbe6ffe9ffd0c_0.png "[tex]\left | \frac{n+1}{n} - 1 \right | = \frac{n+1}{n} - 1 < \varepsilon[/tex]")
![[tex]\frac{n+1}{n} - 1 < x - 1 \Rightarrow \frac{n+1}{n} < x \Rightarrow x \not\in U_n[/tex]](images/latex/98a1885e613fc21177beb7aeb6cf1cc75be8107e_0.png "[tex]\frac{n+1}{n} - 1 < x - 1 \Rightarrow \frac{n+1}{n} < x \Rightarrow x \not\in U_n[/tex]")